2022届高考物理二轮专题学案：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动(三）组合场与复合场问题(word版含答案)

带电粒子在组合场与复合场中的运动模型专题
带电粒子在组合场中的运动模型
带电粒子在组合场中运动的处理方法
1.分析带电粒子在各场中的受力情况和运动情况.
(1)带电粒子在匀强电场中,若初速度与电场线平行,做匀变速直线运动；若初速度与电场线垂直,做类平抛运动.
(2)带电粒子在匀强磁场中,若速度与磁感线平行,做匀速直线运动；若速度与磁感线垂直,做匀速圆周运动.
2.画出粒子的运动轨迹图,在画图的基础上注意运用几何知识,寻找关系.
3.选择物理规律,列方程.
电场中 匀变速直线运动的求法 牛顿运动定律、运动学公式
动能定理
类平抛运动的求法 常规分解法
特殊分解法
功能关系
磁场中 匀变速直线运动的求法 运动学公式
匀速圆周运动的求法 圆周运动公式、牛顿运动定律以及几何知识
针对练习
1.如图所示,在的区域存在方向沿轴负方向的匀强电场,场强大小为；在的
区域存在方向垂直于平面向外的匀强磁场. 一个氕核和一个氘核先后从轴上点以相同的动能射出，速度方向沿轴正方向. 已知进入磁场时,速度方向与轴正方向的夹角为60°,并从坐标原点处第一次射出磁场. 的质量为,电荷量为,不计重力. 求：
(1)第一次进入磁场的位置到原点的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)第一次离开磁场的位置到原点的距离.
如图所示,在平面的区域内存在匀强电场，方向沿轴正方向，而在 的区域Ⅰ内存在匀强磁场,磁感应强度大小、方向垂直纸面向外. 区域Ⅱ处于.现有一质量为、电荷量为的带电粒子从坐标为(,)的点以速度沿方向射入平面，恰好经过坐标为(0,)的点，粒子重力忽略不计.求:
(1)匀强电电场的电场强度大小；
(2)粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标；
(3)要使粒子从区区域Ⅱ上边界离开磁场,可在区域Ⅱ内加垂直纸面向里的匀强磁场，试
确定磁感应强度的大小范围,并说明粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与轴正方向夹角的范围.
3.如图所示的坐标系中，第一象限内存在与轴成30°角斜向下的匀强电场,电场强度400N/C，第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场,轴方向宽cm,轴负方向无限大,磁感应强度.现有一比荷为的正离子(不计重力),以某一速度从点射入磁场,60°,离子通过磁场后刚好从点射出,之后进入电场.
(1)求离子进入磁场的速度的大小；
(2)离子进入电场后,经多长时间再次到达轴上；
(3)若离子进入磁场后,某时刻再加一个同方向的有
界匀强磁场使离子做完整的圆周运动,求所加磁场磁感应强度的最小值.
4.如图所示,在,区域存在方向垂直平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为.位于轴上(,)的粒子以某一速度沿轴正方向射出，粒子的质量和电荷量分别为和,不计重力,经过一段时间后,粒子恰好垂直轴进入,区域.在,区域存在沿轴正方向的匀强电场，其电场强度大小为.在,区域内有一固定的光滑圆轨道,圆心为，与轴的夹角37°，与轴平行,粒子恰好从点无碰撞进入圆轨道内侧,且又恰好可以通过点.sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)粒子在磁场中运动时速度的大小；
(2)光滑圆轨道的半径.
5.如图所示,在无限长的竖直边界和间，上、下部分分别充满方向垂直于平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为,为上、下磁场的水平分界线,质量为、带电荷量为的粒子从边界上与点相距为的点垂直于边界射入上方磁场区域，经上的点第一次进入下方磁场区域，与点的距离为，不考虑粒子重力.
(1)求粒子射入时的速度大小；
(2)要使粒子不从边界飞出,求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件；
(3)若下方区域的磁感应强度,粒子最终垂直边界飞出,求边界与间距离的可能值.
6.电子对湮灭是指电子和正电子碰撞后湮灭,产生伽马射线或是其他更高能量粒子的过程,电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正子湮灭能谱学(PAS)的物理基础.如图所示，在平面直角坐标系上,点在轴上,且,点在负轴上某处.在第Ⅰ象限内有平行于轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域,与、轴分别相切于、两点,,在第IV象限内有一未知的圆形区域(图中未画出),未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里.一束速度大小为的电子束从点沿轴正方向射入磁场,经点射入电场，最后从点射出；另一束速度大小为的正电子束从点沿与轴正向成45°角的方向射入第IV象限,而后进入未知圆形磁场区域,离开磁场时正好到达点,且恰好与从点射出的电子束正碰发生湮灭,即相碰时两束粒子速度方向相反.已知正、负电子质量均为、电量均为,电子的重力不计.求:
(1)圆形区域内匀强磁场磁感应强度的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强的大小；
(2)电子从点运动到点所用的时间；
(3)点纵坐标及未知圆形磁场区域的面积.
7.如图所示,在平面直角坐标系中的第一象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直于坐标平面向里的有界矩形匀强磁场区域(图中未画出)；在第二象限内存在沿轴负方向的匀强电场. 一粒子源固定在轴上坐标为(,)的点.粒子源沿轴正方向释放出速度大小为的电子,电子通过轴上的点时速度方向与轴正方向成45°角,电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与轴正方向成15°角的射线(已知电子的质量为、电荷量为,不考虑电子的重力和电子之间的相互作用). 求:
(1)匀强电场的电场强度的大小；
(2)电子在电场和磁场中运动的总时间；
(3)矩形磁场区域的最小面积.
带电粒子在复合场中的运动模型
带电粒子在复合场中运动的处理方法
注意事项：1带电粒子在电场中运动时,电场力要对运动的带电粒子做功(除在等势面上运动外),电场力做功与路径无关,改变粒子的电势能.
2.带电粒子在重力场中运动,重力对其作用,重力做功与路径无关,改变带电粒子的重力势能.
3带电粒子在磁场中运动时,若粒子做直线运动,则必是匀速直线运动,所受合外力为零.
4.带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场组成的叠加场中运动时,若粒子做匀速圆周运动,粒子所受的重力与电场力的合力为零,即.
针对训练
1.如图所示,在无限长的竖直边界和间充满匀强电场,同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于平面向外和向内的匀强磁场,磁感应强度大小分别为和,为上下磁场的水平分界线,在和边界上,距高处分别有、两点,和间距为,质量为、带电量为的粒子从点垂直于边界射入该区域,在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为.
(1)求该电场强度的大小和方向；
(2)要使粒子不从边界飞出,求粒子入射速度的最小值；
(3)若粒子经过点从边界飞出,求粒子入射速度的所有可能值.
2.如图所示,长度为的绝缘细线将质量为、电荷量为的带正电小球悬挂于点,整个空间存在水平向右、电场强度大小为(其中为重力加速度)的匀强电场，小球可视为质点.
(1)若将小球在点由静止释放,求细线摆起的最大角度；
(2)若小球在最低点获得一水平向右速度,为使小球运动过程中细线不松弛,求该速度大小应满足的条件.
3.如图所示,左侧正方形区域有竖直方向的匀强电场和垂直纸面方向的匀强磁场，右侧正方形区域有电场，一质量为，带电量为的小球,从距点正上方高为的点静止释放进入左侧正方形区域后做匀速圆周运动,从点水平进入右侧正方形区域.已知正方形区域的边长均为，重力加速度为，求:
(1)左侧正方形区域的电场强度；
(2)左侧正方形区域匀强磁场的磁感应强度；
(3)若在右侧正方形区域内加水平向左的匀强电场，场强大小为(为正整数),试求小球飞出该区域的位置到点的距离.
4.如图所示,直角坐标系处于竖直平面内，轴沿水平方向,在轴右侧存在电场强度为、水平向左的匀强电场,在轴左侧存在匀强电场和匀强磁场,电场强度为,方向竖直向上,匀强磁场的磁感应强度T,方向垂直纸面向外.在坐标为(0.4m,0.4m)的点处将一带正电小球由静止释放,小球沿直线经原点第一次穿过轴. 已知,重力加速度为，求：
(1)小球的比荷（）及小球第一次穿过轴时的速度大小；
(2)小球第二次穿过轴时的纵坐标；
(3)小球从点到第三次穿过轴所经历的时间.
答案与解析
一．组合场
1.（1） （2） （3）
解析： (1)在电场中做类平抛运动,在磁场中做匀速圆周运动,运动轨迹如图所示.设在电场中的加速度大小为,初速度大小为,它在电场中的运动时间为,第一次进入磁场的位置到原点的距离为；由运动学公式有 ① ②
由题给条件,进入磁场时速度的方向与轴正方向夹角,进入磁场时速度的分量的大小为 ③ 联立以上各式得 ④
(2)在电场中运动时,由牛顿第二定律有 ⑤； 设进入磁场时速度的大小为,由速度合成法则有，设磁感应强度大小为,在磁场中运动的圆轨道半径为,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 ⑦； 由几何关系得 ⑧ 联立以上各式得 ⑨
(3)设在电场中沿轴正方向射出的速度大小为,在电场中的加速度大小为,由题给条件得 ⑩； 由牛顿第二定律有 ；设第一次射入磁场时的速度大小为,速度的方向与轴正方向夹角为,入射点到原点的距离为,在电场中运动的时间为,由运动学公式有 ； ； 联立以上各式得, ， 设在磁场中做圆周运动的半径为,由⑦ 式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得 ; 所以出射点在原点左侧. 设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为, 由几何关系有
联立④⑧ 式得,第一次离开磁场时的位置到原点的距离为
2.（1） （2）(,) （3）
解析：(1)粒子的运动轨迹如图所示,带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，， ， 联立解得
（2）设带电粒子经点时的竖直分速度为、速度为， ， 得，
,方向与轴正向成45°斜向上； 粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动,, , 解得, 由几何关系知,离开区域Ⅰ时的位置坐标,,即(,)
(3)根据几何关系知,带电粒子从区域Ⅱ上边界离开磁场的半径满足,
, 解得； 根据夹角几何关系知,带电粒子离开磁场时速度方向与轴正方向夹角
3.（1）m/s （2）s （3）T
解析(1)由几何关系得离子在磁场中运动时的轨道半径m，离子在场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力， ； 解得m/s
(2)离子进入电场后,设经过时间再次到达轴上,离子沿垂直电场方向做速度为的匀速直线运动,位移， 离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动,设加速度为,位移为,则有， ， 由几何关系可知,
解得s
(3)由知,越小,越大. 设离子在磁场中做圆周运动的最大半径为,由几何关系得m， 由洛伦兹力提供向心力得, 解得T, 则所加磁场磁感应强度的最小值为T.
4.（1） （2）
解析：(1)设带电粒子在磁场中运动轨迹的半径为,粒子的运动轨迹如图所示,由几何关系有， 洛伦兹力提供向心力可得， 解得
(2)设粒子在点速度为,由题意可知,方向与圆轨道在点相切由几何关系有， 设带电粒子在点速度为,从点到点的过程由动能定理有:
, 在点,根据题意,由牛顿第二定律有,又, 联立以上各式解得
5.（1）
解析(1)设粒子在上方磁场区域做圆周运动半径为,粒子运动轨迹如图所示.由几何关系有， 解得， 根据洛伦兹力提供向心力可得， 解得
(2)当粒子恰好不从边界飞出时,设粒子在下方磁场区域做圆周运动的半径为,粒子运动轨迹如图所示，由几何关系得，， 所以
根据， 解得， 所以当,可知粒子不会从边界飞出.
(3)当时,粒子在OF下方的运动半径为，由于,可知粒子不会从边飞出,粒子运动轨迹如过程如图所示,设粒子最终垂直边界飞出时的位置为,根据几何关系可知与的连线一定与平行,根据几何关系知，所以若粒子最终垂直边界飞出,边界与间的距离为(1,2,3……)
6.（1）， （2） （3），
解析：（1）运动图象如图所示，,由题意可得电子在磁场中运动的半径得, 电子在电场中做类平抛运动,得 ,, , 可得
(2)电子在电场中运动时间， 电子在磁场中运动的周期， 电子在磁场中运动了四分之一圆周的时间，故电子从到的时间
(3)正电子在磁场中运动半径,故点纵坐标
未知圆形磁场区域的直径,故未知圆形磁场区域的面积
7.（1） （2） （3）
解析(1)对电子在电场中的运动应用动能定理得，其中
解得匀强电场的电场强度
(2)电子在电场中做类平抛运动,沿电场方向有，其中
由数学知识知电子在磁场中的速度偏向角等于圆心角， 电子在磁场中的运动时间, 其中, 电子在电场和磁场中运动的总时间
解得电子在电场和磁场中运动的总时间
(3)电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,则有
最小矩形磁场区域如图所示,由数学知识得，
解得最小矩形磁场区域面积
二、复合场
1.（1） （2） （3）或或
解析：(1)设电场强度大小为，由题意有,得,方向竖直向上.
(2)如图所示,设粒子不从边飞出的入射速度最小值为,对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为和,圆心的连线与的夹角为，由，有，，由几何知识得， ， 解得
(3)如图所示,设粒子入射速度为,粒子在上、下方区域的运动半径分别为和,粒子第一次通过时距离点为，由题意有(1,2,3,…)， ， ， 解得，
即时,；时,； 时，
2.（1）120° （2）或
解析:(1)设将小球在点静止释放,细线摆起的最大角度为,此过程由动能定理得
， 解得， 所以120°
(2)小球所受重力和电场力的合力大小为,与水平方向的夹角为30°，如果小球获得水平速度后刚好能做完整的圆周运动,如图1所示，在速度最小的位置点满足 ，小球从点运动到点,由动能定理得：
联立解得
如果小球获得水平速度后来回摆动,如图2所示,则小球刚好能到达点和点,则小球从点运动到点,由动能定理得:
(或小球从点运动到点,由动能定理得：
联立解得， 综上可得当或时,细线均不会松弛
3.（1），方向竖直向上 （2）,方向垂直纸面向里 （3）
解析(1)小球在左侧正方形区域做匀速圆周运动,则竖直方向上重力和电场力等大反向,满足，解得，方向竖直向上
(2)小球从到做自由落体运动,到达A点时的速度设为,由运动学公式有
解得,对小球有洛伦兹力提供向心力，由几何关系
解得,方向垂直纸面向里.
(3)小球在右侧正方形区域,水平方向做匀减速直线运动有，解得
速度减至零时,用时为， 由，故(),之后水平方向返回
竖直方向:小球做自由落体运动,竖直位移
小球从边飞出时距点为
4.（1）； 4m/s （2）m （3）s
解析(1)由题可知,小球受到的合力方向由点指向点，则
解得 ，设小球第一次穿过轴的速度为,从运动到点的过程中,由动能定理得， 解得m/s
(2)小球在轴左侧时有，故小球做匀速圆周运动,其轨迹如图所示，设小球做圆周运动的半径为,根据洛伦兹力提供向心力有, 解得0.3m, 由几何关系可知,第二次穿过轴时的纵坐标为m
(3)设小球第一次在轴左侧运动的时间为，由几何关系和运动规律可知s
小球第二次穿过轴后,在第一象限做类平抛运动,如图所示,由几何关系知,此过程小球沿速度方向的位移和垂直方向的位移大小相等,设为,运动时间为,则，， 由，可得
解得s，小球从点到第三次穿过轴所经历的时间s