7.3万有引力理论的成就 教案

7.3万有引力理论的成就
【学习目标】
1.了解万有引力定律在天文学上的应用。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
【练必备知识】
一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。
2．关系式：mg＝G。
3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
二、计算天体的质量
1．太阳质量的计算
(1)依据：设m太是太阳的质量，r是行星与太阳之间的距离，质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝。
(2)结论：m太＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和它与太阳的距离r就可以计算出太阳的质量。
2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。
三、发现未知天体　预言哈雷彗星回归
1．“笔尖下发现的行星”是指海王星。
2．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
【方法与探究】
1．天体质量的计算
(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体质量为m地＝，因g、R是天体自身的参量，称“自力更生法”。
(2)“借助外援法”：借助绕中心天体(如地球)做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力G＝mr m地＝。
2．天体密度的计算
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝，将质量代入可求得密度。
(2)特殊情况
①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入得：ρ＝。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
②已知天体表面的重力加速度为g，则ρ＝＝＝。
3.天体运动规律的应用
基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万。
常用关系：(1)G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换。
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小
ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小
T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大，T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小
重要结论：
速记口诀：高轨低速周期大，低轨高速周期小。
4.双星问题
概念：两颗星体靠得很近，但与其它天体相距较远，它们绕连线上的某点做匀速圆周运动，这样的系统称为双星系统。
特点：（1）双星都绕着连线上的一点做匀速圆周运动，每一颗星各自做匀速圆周运动所需的向心力由两颗星间的万有引力提供。
对M1:
对M2:
（2）双星是同轴转动，周期相同，角速度相同。
（3）双星做圆周运动的距离关系 L=r1+r2
思考1：双星系统中两个星球间质量与半径、线速度、向心加速度之间有什么关系？
说明：质量大的星体：运动半径小、线速度小、向心加速度小；
质量小的星体：运动半径大、线速度大、向心加速度大；
思考2：若已知双星系统中两个星球的质量M1 、M2 和两星球之间的距离 L，试求两星球各自运动轨迹半径r1 、 r2 以及运动周期T？
半径关系：
质量关系: 总质量关系：
速度关系：
限时训练
1．通过测量日地距离和地球公转周期，我们能获知什么信息（　）（引力常量为已知量）
A．地球半径 B．地球质量 C．太阳半径 D．太阳质量
2．假设在遥远的太空有一个星球适合人类居住，质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，在地球上一个人能竖直跳起离地面h的高度，则在此星球以相同速度竖直向上能跳起的高度为（　　）
A．16h B． h C．8h D． h
3．据报道，中国空间站分别在2021年7月1日和10月21日进行两次机动变轨，原因是空间站受到美国星链卫星靠近的威胁，触发了空间站的“紧急避碰”的指令，改变轨道以回避正在接近的卫星。正常运行时，星链卫星的轨道高度是在到之间，而中国空间站的在轨高度是。已知地球半径为，引力常量为。下列判断正确的是（　　）
A．中国空间站的向心力大于星链卫星的向心力 B．中国空间站的运行周期小于星链卫星的运行周期
C．中国空间站如果机动变轨到更高轨道需使空间站减速 D．由题目所给数据可以计算出地球的密度
4．已知金星绕太阳公转的周期小于1年，则可判定（ ）
①金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离 ②金星的质量大于地球的质量
③金星的密度大于地球的密度 ④金星公转的向心加速度大于地球公转的向心加速度
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．如图所示，2020年11月24日，中国长征五号运载火箭搭载着要去月球挖土的嫦娥五号月球探测器在海南文昌航天发射场成功发射，这是我国首次地外天体采样任务。12月6日，嫦娥五号上升器与在环月轨道等待的轨道器返回器组合体成功交会对接，将月球样品容器安全转移至返回器中，这是我国航天器首次实现月球轨道交会对接，轨道器返回器组合体与上升器成功分离后，进入环月等待阶段，准备择机返回地球。若轨道器返回器组合体绕月球做匀速圆周运动，周期为T，离月球表面高度为h，月球半径为R，万有引力常量为G，则（　　）
轨道器返回器组合体的运行速度为 B．月球的第一宇宙速度为
C．月球的质量为
D．月球表面的重力加速度为
6．地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为则（　　）
A．vA=vB，ωA=ωB， B．vAC．vA>vB，ωA>ωB， D．vA>vB，ωA=ωB，
7．如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则（　　）
A．A的质量一定大于B的质量 B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大 D．M一定，L越大，T越小
二、多选题
8．在下列选项中，引力常量已知，说法正确的是（　　）
A．已知月球绕地球运行的周期及月、地中心间的距离，可算出月球质量
B．已知月球表面的重力加速度及月球的半径，可算月球的密度
C．近地卫星与同步卫星相比，近地卫星的线速度大，角速度大，周期大
D．第一宇宙速度是最大的环绕速度
9．地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，卫星甲、乙、丙在如图所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲和乙的运行轨道在P点相切，以下说法中正确的是（　　）
A．如果地球自转的角速度突然变为原来的倍，那么赤道上的物体将会“飘”起来
B．卫星甲、乙经过P点时的加速度大小相等
C．卫星甲的周期最小 D．三个卫星在远地点的速度可能大于第一宇宙速度
10．预计我国将在2030年前后实现航天员登月计划，航天员登上月球后进行相关的科学探测与实验.已知月球的半径为R，宇航员在月球表面高为h处静止释放一小球，经过时间t落地。万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度v；
11．如图所示，“天舟”与“天宫”对接后的组合体沿圆形轨道运行。经过时间t，组合体绕地球转过的角度为（弧度），地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。求：
（1）地球质量M；
（2）组合体运动的周期T；
（3）组合体所在圆轨道离地面高度H。
12．一个到达月球的宇航员随身携带一质量为1.0kg的物体A，在月球某处他捡起一块岩石B，然后他把A和B用轻绳连接并挂在一个定滑轮上（不计滑轮与绳的摩擦），如图所示，测量得到B下落的加速度为1.2m/s2.已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径倍，地球表面重力加速度约为10m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求：
（1）月球表面重力加速度约为多少
（2）B的质量约为多少
13．科学家于2017年首次直接探测到来自双中子星合并的引力波。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，在它们合并前的一段时间内，它们球心之间的距离为L，两中子星在相互引力的作用下，围绕二者连线上的某点O做匀速圆周运动，它们每秒钟绕O点转动n圈，已知引力常量为G。求：
（1）两颗中子星做匀速圆周运动的速率之和；
（2）两颗中子星的质量之和M
1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7.B 8．BD 9．AB 10．（1）；（2） 11．（1）（2）（3） 12．（1）1.7m/s2；（2）5.8
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试卷第4页，共4页