华东师大版九年级数学上册 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级数学上册 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 导学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 252.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-04 20:30:09 | ||
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文档简介
华东师大版九年级数学上册 第 22章 一元二次方程
班级： 姓名： 学习时间：
22.2 一元二次方程的解法
*5. 一元二次方程的根与系数的关系
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1．掌握一元二次方程的根与系数的关系．
2．会用根与系数的关系，根据已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数．
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若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________．
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1．若x＝－1是方程x2＋3x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根为( )
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝4 D．x＝－4
2．已知方程x2－6x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则2x1＋2x2＝________．
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解下列方程，设x1，x2是方程的两根，填写下表：
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
(1)
(2)
(3)
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探究一
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1，x2，你能由上表归纳x1，x2与系数之间的关系吗？
请考虑以下问题：
1．猜想x1＋x2，x1·x2与系数之间的关系．
2．由一元二次方程求根公式求出x1，x2，证明x1＋x2，x1·x2与系数之间的关系．
探究二
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，你能由探究一归纳x1，x2与系数之间的关系吗？
请考虑以下问题：
1．方程x2＋px＋q＝0与方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间有什么联系？
2．写出x1＋x2，x1·x2与系数之间的关系．
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例1 已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x－4＝0的两根，则＋＝____________________.
例2 已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x＋x＝8－3x1x2，求m的值．
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1．若一元二次方程x2－4x－3＝0的两根是m，n，则下列说法正确的是( )
A．m＋n＝－4，mn＝3
B．m＋n＝4，mn＝－3
C．m＋n＝4，mn＝3
D．m＋n＝－4，mn＝－3
2．已知关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两实数根分别为x1，x2，且＋＝x1x2－1，求实数k的值．
3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋4)x＋k2＋4k＋3＝0.
(1)求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
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1．一元二次方程的根与系数的关系是什么？
2．一元二次方程根与系数的关系的前提是什么？
3．在方程根与系数关系的研究过程中，你体会到了什么数学思想？
参考答案
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
5. 一元二次方程的根与系数的关系
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－；
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1. B 2. 12
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方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
(1) 0 2 2 0
(2) 1 －4 －3 －4
(3) 2 3 5 6
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探究一：
1．x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
2. 由一元二次方程求根公式求得方程的解
为x1＝，x2＝，
得x1＋x2＝＋＝－p，
x1·x2＝·＝q.
探究二：
1．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可转化为方程
x2＋px＋q＝0的形式，即两边同时除以a，得x2＋x＋＝0.
2．由探究一的结论得x1＋x2＝－，x1·x2＝.
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例1.－
例2. (1) 解：∵关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根，
∴Δ＝[－2(m－1)]2－4m2＝4－8m≥0，
解得m≤.
(2) 解：∵关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2，
∵x＋x＝8－3x1x2，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝8－3x1x2，
即5m2－8m－4＝0，
解得m1＝－，m2＝2(舍去)，
∴m的值为－.
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1．B
2. (1) 解：Δ＝16－4(k＋1)＝16－4k－4＝12－4k≥0，∴k≤3.
(2) 解：由题意可知x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，
∵＋＝x1x2－1，∴＝x1x2－1，
∴＝k＋1－1，
解得k＝－5或k＝4，
由(1)可知k≤3，∴k＝4舍去，∴k＝－5.
3. (1)证明：∵Δ＝[－(2k＋4)]2－4(k2＋4k＋3)＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：x2－(2k＋4)x＋k2＋4k＋3＝0，
x1＋x2＝2k＋4，x1x2＝k2＋4k＋3.
∵x1，x2是Rt△ABC两直角边的长，∴x＋x＝102，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝100，
(2k＋4)2－2(k2＋4k＋3)＝100，
解得k1＝－9(舍去)，k2＝5，∴k的值为5.
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1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足Δ＝b2－4ac≥0.
3．转化与化归思想．
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班级： 姓名： 学习时间：
22.2 一元二次方程的解法
*5. 一元二次方程的根与系数的关系
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1．掌握一元二次方程的根与系数的关系．
2．会用根与系数的关系，根据已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数．
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若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________．
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1．若x＝－1是方程x2＋3x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根为( )
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝4 D．x＝－4
2．已知方程x2－6x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则2x1＋2x2＝________．
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解下列方程，设x1，x2是方程的两根，填写下表：
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
(1)
(2)
(3)
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探究一
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1，x2，你能由上表归纳x1，x2与系数之间的关系吗？
请考虑以下问题：
1．猜想x1＋x2，x1·x2与系数之间的关系．
2．由一元二次方程求根公式求出x1，x2，证明x1＋x2，x1·x2与系数之间的关系．
探究二
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，你能由探究一归纳x1，x2与系数之间的关系吗？
请考虑以下问题：
1．方程x2＋px＋q＝0与方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间有什么联系？
2．写出x1＋x2，x1·x2与系数之间的关系．
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例1 已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x－4＝0的两根，则＋＝____________________.
例2 已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x＋x＝8－3x1x2，求m的值．
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1．若一元二次方程x2－4x－3＝0的两根是m，n，则下列说法正确的是( )
A．m＋n＝－4，mn＝3
B．m＋n＝4，mn＝－3
C．m＋n＝4，mn＝3
D．m＋n＝－4，mn＝－3
2．已知关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两实数根分别为x1，x2，且＋＝x1x2－1，求实数k的值．
3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋4)x＋k2＋4k＋3＝0.
(1)求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
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1．一元二次方程的根与系数的关系是什么？
2．一元二次方程根与系数的关系的前提是什么？
3．在方程根与系数关系的研究过程中，你体会到了什么数学思想？
参考答案
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
5. 一元二次方程的根与系数的关系
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－；
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1. B 2. 12
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方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
(1) 0 2 2 0
(2) 1 －4 －3 －4
(3) 2 3 5 6
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探究一：
1．x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
2. 由一元二次方程求根公式求得方程的解
为x1＝，x2＝，
得x1＋x2＝＋＝－p，
x1·x2＝·＝q.
探究二：
1．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可转化为方程
x2＋px＋q＝0的形式，即两边同时除以a，得x2＋x＋＝0.
2．由探究一的结论得x1＋x2＝－，x1·x2＝.
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例1.－
例2. (1) 解：∵关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根，
∴Δ＝[－2(m－1)]2－4m2＝4－8m≥0，
解得m≤.
(2) 解：∵关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2，
∵x＋x＝8－3x1x2，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝8－3x1x2，
即5m2－8m－4＝0，
解得m1＝－，m2＝2(舍去)，
∴m的值为－.
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1．B
2. (1) 解：Δ＝16－4(k＋1)＝16－4k－4＝12－4k≥0，∴k≤3.
(2) 解：由题意可知x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，
∵＋＝x1x2－1，∴＝x1x2－1，
∴＝k＋1－1，
解得k＝－5或k＝4，
由(1)可知k≤3，∴k＝4舍去，∴k＝－5.
3. (1)证明：∵Δ＝[－(2k＋4)]2－4(k2＋4k＋3)＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：x2－(2k＋4)x＋k2＋4k＋3＝0，
x1＋x2＝2k＋4，x1x2＝k2＋4k＋3.
∵x1，x2是Rt△ABC两直角边的长，∴x＋x＝102，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝100，
(2k＋4)2－2(k2＋4k＋3)＝100，
解得k1＝－9(舍去)，k2＝5，∴k的值为5.
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1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足Δ＝b2－4ac≥0.
3．转化与化归思想．
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