直角三角形的边角关系复习
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直角三角形的边角关系复习
学完这一章首先要有一个宏观的认识，在直角三角形中，如果知道其中一个锐角的度数，我们就可以明确它的三角函数值，进而可以知道这个直角三角形三边的比例，如果再知道任意一条边的长度，就可以求出另外的两条边.简单一句话，直角三角形知一锐角和一边，即可全知.
分块训练
1．对锐角三角函数概念的理解.
（1） 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°， sinB=，则cosA的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
（2）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、2
2．对于特殊角的三角函数值的计算.
(3)计算
3．求已知锐角的三角函数值、或求已知三角函数值所对应的角.
(4)已知矩形的两邻边之比是，则该矩形的两条对角线所夹的锐角度数为
4．运用三角函数解直角三角形.
(5)如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝8，sinA＝，CD＝2，求∠CBD的三个三角函数值。
5．运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.
(6) 如图所示，某市景区管委会准备在郊外两个景区点A、B与该市M间修建一条笔直的公路，经测量，在A的北偏西300方向上6km的C处的四周1km范围内是一个重点文物保护区，且又位于景点B的正北方向，测得AB的长为5km，试问能否修这条笔直的公路（精确到0.1，参考数据：）？
总结通法：
1、在运用直角三角形边角关系解决问题时，应遵循三条原则：一是“知二（直角除外）求三”中至少有一个条件是边；二是尽量使用题目中的原始数据；三是尽量避免除法运算。
2、在解决实际问题时，首先要弄清题意，正确画出示意图，将实际问题转化为直角三角形的问题，进而运用三角函数的知识加以解决。
3、有些问题涉及的不是直角三角形，这就需要根据条件或图形的特点，适当的引进辅助线，以构造直角三角形，从而将问题转化为直角三角形的问题加以解决。
4、解决应用题时要注意弄清仰角、俯角、坡度（坡比）等术语的含义。
5、有关锐角三角函数的问题，综合性、技巧性、操作性都比较强，涉及到的知识和方法较多，因此，在综合复习中要体会模型化思想和数形结合等数学思想方法的应用。
变式训练：
1、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=5，AC=2，则cosA的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、直角三角形中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，则是角A的 （ ）
A 正弦 B 余弦 C 正切 D 余切
3、在△ABC中，若|sinA－|+(1－tanB)2=0，则∠C的度数是（ ）。
A.45° B.60° C.75° D.105°
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝ ，sinA＝ 。
5、计算： 3 tan30°－＋cos60°·cos45°
6、已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。
7、在锐角△ABC中，AD⊥BC于D,DE⊥AB于E，AD=2,DE=1,且 S△ABC=2,求tanC的值.
8、如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BC为90米，从甲楼顶部点D测得乙楼顶部点A的仰角为30O，测得乙楼低部点B的俯角为60O，求甲、乙两栋高楼各有多高（结果用带根号的数表示）？
9、某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)
10、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．
试求旗杆BC的高度．
11．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，CA平分∠BCD，DE//AC，交BC的延长线于点E，∠B＝2∠E
（1）求证：AB＝DC
（2）若，，求边BC的长
12、如图，瞭望台AB高20 m，从嘹望台底部B测得对面塔顶C的仰角为60o，从瞭望台顶底部A测得塔顶C的仰角为45 o．已知瞭望台与塔CD地势高低相同．求塔高CD是多少米．
13、在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于轴上，测速路段BC在轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在轴上，AO为其中的一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：)
(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离
学完这一章首先要有一个宏观的认识，在直角三角形中，如果知道其中一个锐角的度数，我们就可以明确它的三角函数值，进而可以知道这个直角三角形三边的比例，如果再知道任意一条边的长度，就可以求出另外的两条边.简单一句话，直角三角形知一锐角和一边，即可全知.
分块训练
1．对锐角三角函数概念的理解.
（1） 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°， sinB=，则cosA的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
（2）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、2
2．对于特殊角的三角函数值的计算.
(3)计算
3．求已知锐角的三角函数值、或求已知三角函数值所对应的角.
(4)已知矩形的两邻边之比是，则该矩形的两条对角线所夹的锐角度数为
4．运用三角函数解直角三角形.
(5)如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝8，sinA＝，CD＝2，求∠CBD的三个三角函数值。
5．运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.
(6) 如图所示，某市景区管委会准备在郊外两个景区点A、B与该市M间修建一条笔直的公路，经测量，在A的北偏西300方向上6km的C处的四周1km范围内是一个重点文物保护区，且又位于景点B的正北方向，测得AB的长为5km，试问能否修这条笔直的公路（精确到0.1，参考数据：）？
总结通法：
1、在运用直角三角形边角关系解决问题时，应遵循三条原则：一是“知二（直角除外）求三”中至少有一个条件是边；二是尽量使用题目中的原始数据；三是尽量避免除法运算。
2、在解决实际问题时，首先要弄清题意，正确画出示意图，将实际问题转化为直角三角形的问题，进而运用三角函数的知识加以解决。
3、有些问题涉及的不是直角三角形，这就需要根据条件或图形的特点，适当的引进辅助线，以构造直角三角形，从而将问题转化为直角三角形的问题加以解决。
4、解决应用题时要注意弄清仰角、俯角、坡度（坡比）等术语的含义。
5、有关锐角三角函数的问题，综合性、技巧性、操作性都比较强，涉及到的知识和方法较多，因此，在综合复习中要体会模型化思想和数形结合等数学思想方法的应用。
变式训练：
1、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=5，AC=2，则cosA的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、直角三角形中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，则是角A的 （ ）
A 正弦 B 余弦 C 正切 D 余切
3、在△ABC中，若|sinA－|+(1－tanB)2=0，则∠C的度数是（ ）。
A.45° B.60° C.75° D.105°
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝ ，sinA＝ 。
5、计算： 3 tan30°－＋cos60°·cos45°
6、已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。
7、在锐角△ABC中，AD⊥BC于D,DE⊥AB于E，AD=2,DE=1,且 S△ABC=2,求tanC的值.
8、如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BC为90米，从甲楼顶部点D测得乙楼顶部点A的仰角为30O，测得乙楼低部点B的俯角为60O，求甲、乙两栋高楼各有多高（结果用带根号的数表示）？
9、某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)
10、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．
试求旗杆BC的高度．
11．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，CA平分∠BCD，DE//AC，交BC的延长线于点E，∠B＝2∠E
（1）求证：AB＝DC
（2）若，，求边BC的长
12、如图，瞭望台AB高20 m，从嘹望台底部B测得对面塔顶C的仰角为60o，从瞭望台顶底部A测得塔顶C的仰角为45 o．已知瞭望台与塔CD地势高低相同．求塔高CD是多少米．
13、在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于轴上，测速路段BC在轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在轴上，AO为其中的一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：)
(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离
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