8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（同步练习）
1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
2.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．垂直
3.若直线a，b是异面直线，且a∥α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)
A．b α B．b∥α
C．b与α相交 D．以上都有可能
4.已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5.与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
6.下列命题中正确的个数为(　　)
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线．
②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．
A．0 B．1
C．2 D．3
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　　)
A．不存在　　　　B．有1条
C．有2条　　　　D．有无数条
8.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．
9.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________
10.已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________
①若a∥b，b α，则直线a就平行于平面α内的无数条直线；
②若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(填序号)
12.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
13.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
14.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．
15.已知a，b是两条直线，α是一个平面，a∥b，a∩α＝P.求证：b与α相交．
16.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．
参考答案：
1.D
解析：直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．
2.C
解析：根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示：
3.D
解析：首先明确空间中线、面位置关系有且只有三种：平行、相交、直线在平面内．本题中直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内，故选D.
4.A
解析：①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．
5.D
解析：如图所示：
故相交、平行、异面都有可能．
6.C
解析：在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P，Q，R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．
7.D
解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，则它们都与平面D1EF平行
8.答案：1或3
解析：以打开的书面或长方体为模型，观察可得结论．
9.答案：平行或直线在平面内
解析：首先明确空间中线、面有且只有三种位置关系：平行、相交、直线在平面内．本题中相交显然不成立，平行或直线在平面内都有可能．
10.答案：①③
解析：①中a∥b，b α，所以不管a在平面内或平面外，都有结论成立，故①正确；②中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故②错误；③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④中直线a与平面β有可能平行，故④错误．
11.答案：③④
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．
12.解：B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC平行．
13.解：平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：
∵AB与l不平行，AB α，l α，∴AB与l是相交直线．
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．
而C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
14.解：直线PQ与平面AA′B′B平行．
连接AD′，AB′，
在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，
∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，
∴PQ与平面AA′B′B平行．
15.证明：∵a∥b，∴a和b可以确定一个平面，不妨设这个平面为β.
∵a∩α＝P，∴P∈a且P∈α，∴P∈β.从而点P是平面α与平面β的一个公共点，
由此可知平面α与平面β相交于过点P的一条直线．
设α∩β＝c，则c α.在平面β内，a∥b，a∩c＝P，则b与c也相交．
设b∩c＝Q，则Q∈b，Q∈c，∴直线b与平面α有一个公共点Q.故直线b与平面α相交．
16.解：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，F，C，D1四点共面．
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.