第七章复数单元测试-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word含答案）

2021-2022学年新人教A版选择性必修第二册
第七章《复数》单元测试
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1、复数的虚部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
2、已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
4、设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5、已知，则（ ）
A. B. 3 C. D.
6、若f(α)＝cosα＋isinα(i为虚数单位)，则[f(α)]2＝（ ）
A．f(α) B．f(2α) C． 2f(α) D． f(α2)
7、已知复数z＝m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B. C． D.
8、若且的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9、设复数满足(i为虚数单位)，则下列命题中正确的有（ ）．
A.
B. 复数的实部为
C. 复数的虚部为
D. 复数的在复平面内对应的点在第二象限
10、下列命题中正确的有（ ）
A、若，则是纯虚数
B、若且，则
C、若复数满足，则；
D、设、为复数，如果，那么
11、下列命题中正确的有（ ）
A. 设、为复数，如果，那么
B. 已知z∈C，则“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件
C. a＝0是复数为纯虚数的充分不必要条件
D. 复数的平方根是
12、已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、在复平面内，复数z对应的点的坐标是．则________．
14、复数的值是
15、已知，则实数的取值为______．
16、复数满足（为虚数单位），则复数模的取值范围是______
三 解答题（共6小题，共计70分）
17、（10分）已知复数z满足(z－2)i＝3(1＋i)，求复数z以及z的平方根。
18．（12分）已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
19．（12分）当实数为何值时，复数为
（Ⅰ）实数？ （Ⅱ）虚数？ （Ⅲ）纯虚数？
20、（12分）已知复数，，其中是虚数单位，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．
21、（12分）已知复数z满足|z|=，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．
（1）求复数z；
（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．
22、（12分）在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.
（1），，计算与；
（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.
参考答案
1、A 2、C 3、A 4、A 5、C 6、B 7、B 8、B
9、AD 10、BD 11、BD 12、ABC
13、 14、 15、2或-2 16、
17.（10分）设z=x+yi, x,y∈R，……1分，
(z－2)i=[(x－2)+yi]i=－y+(x－2)i=4+i，……4分
x=3，y=－4，z=3－4i……５分
设z的平方根是a+bi, a,b∈R，……6分，
则(a+bi)2=3－4i, a2－b2=3,2ab=-4，……7分
解得a=2,b=-1或a=－2,b=1 ……9分，
z的平方根是2－i或－2+ i ……10分
18、解：（Ⅰ）设复数z＝a＋bi（a，b∈R），
由题意，，∴b＋2＝0，即b＝－2．
又，∴2b＋a＝0，即a＝－2b＝4．
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
∵
对应的点在复平面的第一象限，
∴解得a的取值范围为．
19、（Ⅰ）当，即时，复数是实数；……………………… 4分
（Ⅱ）当，即且时，复数是虚数；……………… 8分
（Ⅲ）当，即时，复数是纯虚数；……………… 12分
20、(1)，……………………2分
因为为纯虚数，所以
所以. …………………5分
(2)， ……………………7分
由已知 ……………………9分
解得，
所以b的取值范围为. ……………………12分
21．解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则z2=x2﹣y2+2xyi，
由|z|=，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限，
得
∴z=﹣1+i；
（2）由（1）知：复数z=﹣1+i，
∴复数ω满足|ω﹣1|≤，由复数的几何意义得：
ω在复平面内对应的点的集合构成图形是以（1，0）为圆心，为半径的圆面，
∴其面积为．
22．解：（1）
，
所以
（2）证明：，
，
所以
当时取“=”，此时.