(共67张PPT)
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人教版数学六年级下册
六年级下册—人教版—数学—第三单元
圆柱的体积（一）（例5）
学习准备
1.掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积。
2.在探索圆柱体积公式的过程中，进一步体会转化的思想方法。
学习目标
挖一口圆柱形水井，能挖出多少土呢？
情境创设
这么粗的柱子，需要多少木材呢？
V长方体=abh
V正方体=a
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
圆柱的体积
例5
V=Sh
h
h
S
S
a
b
h
a
a
a
例5
回顾圆面积公式的推导。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
例5
回顾圆面积公式的推导。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
例5
回顾圆面积公式的推导。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
例5
回顾圆面积公式的推导。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
例5
回顾圆面积公式的推导。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
例5
回顾圆面积公式的推导。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
验证：
回顾圆面积公式的推导。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
验证：
化曲为直
回顾圆面积公式的推导。
例5
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
例5
先把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再沿圆柱的高切割。
例5
例5
例5
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
把圆柱切开，再像这样拼起来，得到一个近似的长方体。
例5
同样地，把圆柱切割为32等份再拼成近似的长方体。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
例5
同样地，把圆柱切割为64等份再拼成近似的长方体。
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
例5
分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。
……
想一想：拼成的长方体和原来的圆柱有什么关系？
请你根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。
长方体的体积
底面积
圆柱的体积
高
底面积
高
=
×
=
×
h
底面积
高
V
S
=
πr
h
V
=
例5
相等
相等
相等
如果知道圆柱的底面半径r和高h，你能写出圆柱的体积公式吗？
结论：
圆柱的体积=底面积×高
猜想：
圆柱的体积=底面积×高
？
验证：
化曲为直
例5
（数学书第25页）
看书回顾
底面积
高
πr h
5cm
2cm
8cm
4cm
C=6.28cm
8cm
1.计算下面各个圆柱的体积。
①
②
③
④
S=11
6cm
练一练
1.计算下面各个圆柱的体积。
已知S、h ，求V。
V=Sh
11×6=66（cm3）
①
S=11cm2
6cm
练一练
1.计算下面各个圆柱的体积。
已知r、h ，求V。
②
5cm
2cm
练一练
=3.14×25×2
=157（cm3）
V=πr2h
=3.14×4×8
=100.48（cm3）
1.计算下面各个圆柱的体积。
已知d、h ，求V。
③
8cm
4cm
练一练
V=πr2h
1.计算下面各个圆柱的体积。
已知C、h ，求V。
底面半径： 6.28÷3.14÷2=1（cm）
C=2πr
圆柱体积： 3.14×1 ×8
=3.14×8
=25.12（cm ）
④
C=6.28cm
8cm
练一练
V=πr2h
S=11
6cm
5cm
2cm
8cm
4cm
C=6.28cm
8cm
1.计算下面各个圆柱的体积。
①
②
③
④
V=Sh
练一练
r=d÷2
r=C÷3.14÷2
V=πr2h
V=πr2h
（数学书第25页“做一做”第1题）
2. 一根圆柱形木料，底面积为75，长90cm。它的体积是多少？
75×90=6750（cm3）
答：它的体积是6750cm3。
h
这里的长其实就是圆柱的高
练一练
V=Sh
（数学书第25页“做一做”第2题）
3. 李家庄挖一口圆柱形水井，地面以下的井深10m，底面直径为1m。
挖出的土有多少立方米？
答：挖出的土有7.85m3。
h
d
V
练一练
这里的井深其实就是圆柱的高
=3.14×0.25×10
=7.85（m3）
V=πr2h
（数学书第29页第9题）
4. 两个底面积相等的圆柱，一个高为4.5，体积为81。另一个
高为3dm，它的体积是多少？
81÷4.5=18（dm2）
答：它的体积是54立方分米。
号圆柱的底面积：
4.5dm
3dm
V1=81dm
h1
V2
V1
h2
①
②
想：先求
再求
18×3=54（dm3）
号圆柱的体积：
号圆柱的底面积
号圆柱的体积
V2=
练一练
①
②
①
②
V=Sh
V=abh
V=a
V=Sh
V=Sh
3
V=πr h
2
全课总结
Ch
侧
S
= +2πr
圆柱
长方体
正方体
长方体有6个面、12条棱、8个顶点；6个面都是长方形(特殊情况下有两个相对的面是正方形)；相对的4条棱的长度都相等。
正方体有6个面、12条棱、8个顶点；6个面是完全相同的正方形,它们的面积都相等；12条棱的长度都相等。
S =2(ab+ah+bh)
S =6a
名称
图形
特征
展开图
表面积
体积
表
表
2
3
S = +2S
表
2
侧
底
S
圆柱的两个底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
对比提升
表面积和体积之间有什么区别呢？
美术老师要制作一个底面半径是10cm，高30cm的红色的圆柱形石膏。需要用石膏多少立方厘米？如果给石膏表面涂上红色油漆，要漆多少平方厘米？
V
S表
表面积是指圆柱三个面的总面积，
而体积是指圆柱占空间的大小。
圆柱表面积和体积的计算方法不同。
表面积和体积的计量单位不同。
答：需要石膏9420立方厘米，要漆2512平方厘米油漆。
V=πr2h
=3.14×100×30
=9420（cm3）
=1884+628
=2512（cm2）
表面积和体积之间有什么区别呢？
美术老师要制作一个底面半径是10cm，高30cm的红色的圆柱形石膏。需要用石膏多少立方厘米？如果给石膏表面涂上红色油漆，要漆多少平方厘米？
V
S表
答：需要石膏9420立方厘米，要漆2512平方厘米油漆。
意义 计算公式 计量单位
圆柱的表面积 圆柱三个面的总面积 S表=S侧+2S底 面积单位
圆柱的体积 圆柱占空间的大小 V=Sh 体积单位
对比提升
V=πr2h
=3.14×100×30
=9420（cm3）
=1884+628
=2512（cm2）
1.回顾圆柱体积计算公式的推导过程。
2.完成数学书第28页第1题、第4题。
课后作业：
谢谢观看！
六年级下册—人教版—数学—第三单元
圆柱的体积（一）（例5）答疑
答 疑
下面4个图形的面积都是36。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）
18
2
12
3
9
4
6
6
12
3
18
2
操 作
①
②
③
④
6
6
18
2
9
4
12
3
下面4个图形的面积都是36。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）
①
②
③
④
9
4
⑤
⑥
⑦
操 作
6
6
6
6
18
2
9
4
12
3
下面4个图形的面积都是36。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）
①
②
③
⑤
⑥
⑦
④
先分别算出这7个圆柱的体积，再比较大小。
18
2
下面4个图形的面积都是36。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）
长方形的长=圆柱的底面周长
长方形的宽=圆柱的高
①号圆柱：底面周长是18dm，高是2dm。
底面半径：18÷3.14÷2≈2.87（dm）
①
可以用计算器计算哦，除不尽的保留两位小数。
想：先求
再求
圆柱的底面半径
圆柱的体积
体积：3.14×2.87 ×2
=3.14×8.2369×2
≈ 51.73（）
2
6
6
18
2
9
4
12
3
下面4个图形的面积都是36。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）
①
②
③
⑤
⑥
⑦
④
先分别算出这7个圆柱的体积，再比较大小。
底面周长（dm） 高（dm） 体积（dm ）
（得数保留两位小数）
18 2
2 18
12 3
3 12
9 4
4 9
6 6
6
6
9
4
12
3
18
2
7个圆柱数据对比表（一）
最大
最小
51.73
5.79
34.37
8.68
25.68
11.58
17.36
侧面积（dm ） 底面周长（dm） 高（dm） 体积（dm ）
36 18 2 51.73
36 12 3 34.37
36 9 4 25.68
36 6 6 17.36
36 4 9 11.58
36 3 12 8.68
36 2 18 5.79
7个圆柱数据对比表（二）
最大
最小
侧面积相同时，底面周长越大，体积越大。
谢谢观看！“圆柱的体积（ 一）（例 5）”教学设计
教学内容：
义务教育教科书《数学》 <人教版>六年级下册第 25 页例 5 圆柱体积计算公 式的推导，及相关练习。
教材分析：
例 5 教学圆柱体积计算公式的推导。教材首先从回顾旧知（长方体、正方体 的体积计算） 入手，引出圆柱体积的计算问题。教材通过提示能否将圆柱转化成 已学过的数学思想，即把新的知识转化为已学过的问题来解决。接着通过教具演 示图说明把圆柱的底面分成若干个相等的扇形，把圆柱沿着它的高切开，拼成一 个近似的长方体。把底面等分成若干等份再拼成一个近似长方形，再通过沟通转 化前后的圆柱与长方体各部分间的对应关系，推导出圆柱的体积计算公式。
学情分析：
这部分内容是在学生已经初步理解了体积和容积的含义、掌握了长方体和正 方体的体积计算方法的基础上学习的，长方体和正方体的体积计算方法“底面积× 高”对探索圆柱的体积计算方法有正迁移作用。本节课的重点在于引导学生体会 “类比” 、“把未知问题转化为已知”等思想方法，并积累研究图形的经验。
教学目标：
1. 掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积。
2. 在探索圆柱体积公式的过程中，进一步体会转化的思想方法。
教学过程：
一、 创设情境，导入新课
情境 1：这么粗的柱子，需要多少木材呢？
情境 2：挖出一口圆柱形水井，能挖出多少土呢？
提问： 这两个问题，你会联想到什么知识 有同学从信息想到立体图形—— 圆柱。 有同学从问题想到是跟体积有关。很好！
揭示课题： 今天我们就来学习圆柱的体积。
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二、 猜想验证，探究新知
1. 观察比较，建立猜想
（1）沟通新旧知识之间的联系
①明确圆柱体积的含义
显示圆柱，提问： 什么是圆柱的体积？ 是的，圆柱的体积是圆柱所占空间的大小。
②回顾长正方体的体积相关知识
A ．出示长，正方体，提问： 我们学过哪些立体图形的体积？ 对，有长方体和正 方体。
B ．出示长正方体的体积计算公式，提问： 长方体的体积是怎样求的？ V=abh。 正方体的体积公式呢？ V=a
C ．出示 V=Sh，提问： 长方体和正方体的体积计算公式都可以写成什么乘什么？ 是的，都可以写成底面积乘高。
（2） 提出猜想
有的同学猜想圆柱的体积计算公式也等于“底面积×高”， 有了猜想我们就有了 研究的初步方向了，下面我们一起来验证一下。
2. 实验演示，验证猜想
（1） 实验演示
①回顾化曲为直的方法
还记得我们在研究圆面积时，是把圆转化为长方形，当时是怎样化曲为直的？（结 合课件演示）
②用化曲为直的方法验证
A．那么圆柱能否也用这样的方法，转化为学过的图形呢？ 学生想象一下。
B．把圆柱沿高切割为 16 等份拼成近似的长方体
课件演示： 圆柱的底面分成 16 等份，沿高切开拼成近似的长方体，但边不直， 侧面也不平。怎么可以更加接近长方体呢？
C．把圆柱沿高切割为 32 等份拼成近似的长方体
出示圆柱沿高切割为 32 等份拼成近似的长方体，提出： 根据之前的经验，可以 继续把圆柱沿高切割为 32 等份拼成近似的长方体，请你们想象一下。
D．把圆柱沿高切割为 64 等份拼成近似的长方体
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出示圆柱沿高切割为 64 等份拼成近似的长方体，提出： 我们继续细分，把圆柱 沿高切割为 64 等份拼成这样近似的长方体。
⑤小结： 如果我们将这个圆柱继续平均分，当分的份数越多，拼成的物体的形状 就会越来越接近什么图形？ 是的，长方体。
（2） 观察比较，推导公式
①布置推导公式的学习任务
提问： 拼成的长方体和原来的圆柱有什么关系？ 请你根据长方体的体积公式推导 出圆柱的体积公式。
(
学
习
单
想一想，拼成的长方体和原来的圆柱有什么关系？
长方体的体积
=
底面积
×
高
圆柱的体积
=
×
)
②推导圆柱体积计算公式
A．结合学习单，进行小结： 长方体的体积与圆柱的体积相等，长方体的底面积 等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘 高，所以圆柱的体积=底面积×高
B．介绍字母公式
a．如果用 V 表示圆柱的体积，S 表示圆柱的底面积，h 表示圆柱的高，你能用字 母表示圆柱的体积公式吗？ 显示 V=Sh
b．根据圆柱的体积公式，计算时一定要知道它的什么条件？ 如果知道圆柱的底 面半径 r 和高h，你能写出圆柱的体积公式吗？ 显示 V= πr h
3. 回应猜想，得出结论
同学们，我们刚才通过实验操作、观察比较、推导出圆柱的体积等于底面积乘高。 显示结论。
三、 看书质疑，圈画重点
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1. 看书填写推导过程
同学们，今天我们学习的是课本第 25 页的例 5，请大家翻开课本，把圆柱体积 公式的推导过程补充完整。
2. 圈画学习重点
填写好了吗？ 你认为今天的学习内容有哪些比较重要的，请你圈起来。有同学圈 起了圆柱的体积公式，这个很重要，非常好。
3. 质疑环节
对这部分的知识，同学们还有不明白的地方吗？
四、 巩固应用，拓展提升
1. 基础练习
计算下面各个圆柱的体积。
2. 巩固练习
（1）（选自数学书第 25 页“做一做”第 1 题） 一根圆柱形木料，底面积为 75cm ， 长 90cm。它的体积是多少？
分析： 这道题是已知圆柱形木料的什么信息？ 是的，已知底面积和长。这里的长 其实就是圆柱的高。现在可以计算出圆柱的体积吗？
显示答案： 75×90=6750（cm ） 答： 它的体积是 6750cm 。
（2）（选自数学书第 25 页“做一做”第 2 题）
李家庄挖一 口圆柱形水井，地面以下的井深 10m，底面直径为 1m。挖出的土 有多少立方米？
分析： 这口水井是什么形状的？ 已知这口圆柱形水井的深也就是已知圆柱的什么 信息？ 是的，是圆柱的高。那根据圆柱的高和底面直径怎样计算出体积呢？ 请你 们试试。
显示答案： 3.14×（ 1÷2） ×10
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=3.14×0.25×10
=7.85（m ）
3. 变式练习
（数学书第 29 页练习五第 9 题） 两个底面积相等的圆柱，一个高为 4.5dm，体 积为 81dm 。另一个高为 3dm，它的体积是多少？
分析： 请你仔细阅读题目，找出已知信息和问题。这题已知两个圆柱的底面积相 等，一个高为 4.5dm，体积为 81dm 。另一个高为 3dm，求另一个圆柱的体积。 我们先来画图理解一下，两个圆柱的底面积相等。第一个圆柱已知高和体积，第 二个圆柱已知高，求体积。你们认为要先求什么，再求什么？ 有同学认为先求第 一个圆柱的底面积，因为两个圆柱的底面积相等，所以第二个圆柱的底面积就等 于第一个圆柱的底面积。再根据第二个圆柱的底面积和高，求出体积。请你们算 算看。
显示答案： 第一个圆柱的底面积： 81÷4.5=18（dm ）
第二个圆柱的体积： 18×3=54（dm ）
答： 它的体积是 54dm 。
点评： 同学们真厉害，通过两个圆柱的底面积相等这个等量关系，先求出第一圆 柱的底面积，从而求出第二个圆柱的体积。这种等量代换的方法，我们在后续的 练习中也会用到。
五、全课总结
今天我们通过猜想、实验操作等方式，推导出圆柱的体积公式。这是我们学习关 于圆柱的又一个新知识，把它补充在这个整理表里。
纵向观察： 我们发现长方体、正方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高，V=Sh
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来计算。
横向观察： 我们我们已经学习圆柱的表面积和体积，它们有什么区别和联系呢？
六、对比提升
1. 解决问题
圆柱的表面积和体积有什么联系和区别呢？ 我们一起通过解决问题辨析一下。 （创编对比练习） 美术老师要制作一个底面半径是 10cm ，高 30cm 的红色的圆 柱形石膏。需要用石膏多少立方厘米？ 如果给石膏表面涂上红色油漆，要漆多少 平方厘米？
分析： 求需要用石膏多少立方厘米就是求什么？ 对的，求圆柱的体积。已知底半 径和高，可以用 V= πr h 进行计算。第二个问题，求要漆多少平方厘米也就是求
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圆柱的表面积。
体积： 3.14×10 ×30 =3.14×100×30
=9420（cm ）
表面积： 2×3.14×10 +2×3.14×10×30
=628+1884
=2512（cm ）
2. 对比分析
提问： 比较求圆柱的表面积和体积，有什么联系和区别？
小红： 表面积是指圆柱表面的面积。而体积是求这个圆柱占空间的大小。
小明： 我发现圆柱表面积和体积的计算方法不同。
小清： 表面积和体积的计量单位不同，表面积是用面积单位，如： 平方米、平方 厘米等； 体积用的是体积单位，如： 立方米、立方厘米等。
小结并整理成表： 是呀，表面积是指圆柱表面的面积，体积是指这个圆柱占空间 的大小。两者的计算方法不同，计量单位也不一样。
意义 计算公式 计量单位
圆柱的表面积 圆柱表面的面积 S 表=S 侧+2S 底 面积单位
圆柱的体积 圆柱占空间的大小 V=Sh 体积单位
七、课后作业
1. 回顾圆柱体积计算公式的推导过程。
2. 完成数学书第 28 页第 1 题、第 4 题。
答疑内容： 圆柱的体积（ 一）（例 5）
提出问题： 用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最 大？
1. 认真审题，下面这 4 个长方形怎样变成圆柱？ 请你想象一下。
2. 课件演示把长，正方形卷成圆柱。（一共 7 种卷法）
3. 下面我们比较一下哪个圆柱的体积最小，哪个圆柱的体积最大。你认为我们 要怎样做呢？ 是的，先分别算出这 7 个圆柱的体积，再进行比较大小。
4. 那怎样根据长，正方形的面积，求出卷成圆柱后，圆柱的体积呢？
（1） 先观察，第一个长方形的长 18dm 是卷成圆柱后的哪部分的长度？ 是底面 周长。
（2） 再观察，第一个长方形的宽 2dm 是卷成圆柱后的哪部分的长度？ 是圆柱 的高。
（3） 根据圆柱的周长和高，怎样求出圆柱的体积呢？ 有同学想到了，要根据圆 柱底面周长求出圆柱底面的半径，再根据圆柱底面半径和高，求出圆柱的 体积。
1 号圆柱： 底面周长是 18dm ，高是 2dm 底面半径： 18÷3.14÷2≈2.87（dm）
体积： 3.14×2.87 ×2
=3.14×8.2369×2
≈51.73（dm ）
（4） 请你们用计算器分别算一算其余 6 个圆柱的体积。（除不尽的保留整数或 一位小数）
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底面周长（dm） 高（dm） 体积（dm ） （得数保留两位小数）
18 2 51.73
2 18 5.79
12 3 34.37
3 12 8.68
9 4 25.68
4 9 11.58
6 6 17.36
5. 总结提升
（1） 请你们比较一下，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？ 同学们真 会观察，底面周长是 18dm，高是 2dm 的圆柱体积最大。底面周长是 2dm，
高是 18dm 的圆柱体积最小。
（2） 如果我们把圆柱按体积从大到小排列，你发现什么了？ 太棒了，有同学发 现圆柱底面周长越大，圆柱的体积就越大。你也发现了吗？
侧面积（dm ） 底面周长（dm） 高（dm） 体积（dm ）
36 18 2 51.73
36 12 3 34.37
36 9 4 25.68
36 6 6 17.36
36 4 9 11.58
36 3 12 8.68
36 2 18 5.79
（3） 长方形的长或者正方形的边长，就是卷成后圆柱的底面周长，当底面周长 越大，那它的底面半径就大，通过刚才计算后比较，我们就知道当圆柱的 侧面积相同时，底面半径越大，体积越大。
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