（人教版）八年级数学下册 17.1勾股定理 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | （人教版）八年级数学下册 17.1勾股定理 学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 333.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-05 07:54:45 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
例1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．
【答案与解析】
解：延长AD、BC相交于点E
∵ ∠B＝90°，∠A＝45°
∴ ∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2
∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DCE＝45°，
∴ CD＝DE＝1
∴ ，．
∴ ．
【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．
【答案】
解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD===3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB=AD=3，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC===．
例2、已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积．
【思路点拨】欲求Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解．
【答案与解析】
解：设这个直角三角形的两直角边长分别为，则
即
将①两边平方，得 ③
③－②，得，所以
因此这个直角三角形的面积为．
【总结升华】此题通过设间接未知数，通过变形直接得出的值，而不需要分别求出 的值．本题运用了方程思想解决问题．
例3、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．
【答案与解析】
解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．
∴x=（cm）．
答：DE的长为cm.
【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．
类型二、利用勾股定理解决实际问题
例4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30，另一只猴子从B→D→A也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．
【答案与解析】
解：设树高CD为，则BD＝－10，AD＝30－(－10)＝40－，
在Rt△ACD中，，
解得：＝15．
答：这棵树高15．
【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．
举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少 (π取3)
【答案】
解：如图②所示，由题意可得： ，
在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：
则AB＝15．
所以需要爬行的最短路程是15．
【提升练习】
一.选择题
1．如图，数轴上点A所表示的数为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
3. 如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8，BC＝10，EC的长为（ ）cm．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，长方形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）
30 B．32 C．34 D．16
5．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则AC的长是（ ）
A． B． C． D．7
6.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12则, △ABC的周长为（ ）
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
二.填空题
7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．
8. 如图，将长8，宽4的长方形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________.
9.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为
cm2．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为________．
11. 已知长方形ABCD，AB＝3，AD＝4，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.
12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是则______．
三.解答题
13.如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？
14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A；
【解析】－1所表示的点到点A的距离为，OA的距离为.
2.【答案】B；
【解析】解：如图，由题意得：
AB2=S1+S2=13，
AC2=S3+S4=18，
∴BC2=AB2+AC2=31，
∴S=BC2=31，
故选B．
3.【答案】A；
【解析】设CE＝，则DE＝(8－)．在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝6．∴ FC＝10－6＝4()．在Rt△EFC中，由勾股定理，得，即．解得．即EC的长为3．
4.【答案】A；
【解析】由题意CD＝DE＝5，BE＝4，设OE＝，AE＝AC＝，所以，，阴影部分面积为.
5.【答案】A；
【解析】如图，分别作CD⊥交于点E，作AF⊥，则可证△AFB≌△BDC，则AF＝3＝BD, BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC中，勾股定理得AC＝.
6. 【答案】C；
【解析】高在△ABC内部，第三边长为14；高在△ABC外部，第三边长为4，故选C.
二.填空题
7. 【答案】13或；
【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.
8. 【答案】；
【解析】设AE＝EC＝，EB＝，则，解得，过E点作EH⊥DC于H，EH＝4，FH＝5－3＝2，EF＝.
9. 【答案】126或66；
【解析】解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=21，
∴S△ABC==×21×12=126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，
∴S△ABC==×11×12=66cm2，
故答案为：126或66．
10.【答案】（4，0）；
【解析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC-AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
11.【答案】；
【解析】连接BE，设AE＝，BE＝DE＝，则，.
12．【答案】4；
【解析】，故.
三.解答题
13.【解析】
解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，
故BO==2.4（m），
∵梯子顶端沿墙下滑0.4m，
∴DO=2m，CD=2.5m，
∴由勾股定理得CO=1.5m，
∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m）．
答：梯子底端将向左滑动0.8m．
14.【解析】
解：如图所示：
15.【解析】
解：（1）连接DP，作DH⊥AC，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠CAB＝30°，∴BC＝１，AC＝.
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠CBP＝30°，CP＝.
在Rt△ADC中，DH＝AH＝HC＝AC＝，
∴HP＝，
DP＝.
（2）当PD＝BC＝1时，P点的位置可能有两处，分别为，，
在Rt△中，，
所以∠＝30°，∠＝30°＋45°＝75°；
同理，∠＝45°－30°＝15°.
所以∠PDA的度数为15°或75°.
17.1 勾股定理（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
例1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．
【答案与解析】
解：延长AD、BC相交于点E
∵ ∠B＝90°，∠A＝45°
∴ ∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2
∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DCE＝45°，
∴ CD＝DE＝1
∴ ，．
∴ ．
【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．
【答案】
解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD===3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB=AD=3，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC===．
例2、已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积．
【思路点拨】欲求Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解．
【答案与解析】
解：设这个直角三角形的两直角边长分别为，则
即
将①两边平方，得 ③
③－②，得，所以
因此这个直角三角形的面积为．
【总结升华】此题通过设间接未知数，通过变形直接得出的值，而不需要分别求出 的值．本题运用了方程思想解决问题．
例3、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．
【答案与解析】
解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．
∴x=（cm）．
答：DE的长为cm.
【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．
类型二、利用勾股定理解决实际问题
例4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30，另一只猴子从B→D→A也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．
【答案与解析】
解：设树高CD为，则BD＝－10，AD＝30－(－10)＝40－，
在Rt△ACD中，，
解得：＝15．
答：这棵树高15．
【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．
举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少 (π取3)
【答案】
解：如图②所示，由题意可得： ，
在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：
则AB＝15．
所以需要爬行的最短路程是15．
【提升练习】
一.选择题
1．如图，数轴上点A所表示的数为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
3. 如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8，BC＝10，EC的长为（ ）cm．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，长方形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）
30 B．32 C．34 D．16
5．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则AC的长是（ ）
A． B． C． D．7
6.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12则, △ABC的周长为（ ）
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
二.填空题
7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．
8. 如图，将长8，宽4的长方形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________.
9.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为
cm2．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为________．
11. 已知长方形ABCD，AB＝3，AD＝4，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.
12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是则______．
三.解答题
13.如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？
14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A；
【解析】－1所表示的点到点A的距离为，OA的距离为.
2.【答案】B；
【解析】解：如图，由题意得：
AB2=S1+S2=13，
AC2=S3+S4=18，
∴BC2=AB2+AC2=31，
∴S=BC2=31，
故选B．
3.【答案】A；
【解析】设CE＝，则DE＝(8－)．在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝6．∴ FC＝10－6＝4()．在Rt△EFC中，由勾股定理，得，即．解得．即EC的长为3．
4.【答案】A；
【解析】由题意CD＝DE＝5，BE＝4，设OE＝，AE＝AC＝，所以，，阴影部分面积为.
5.【答案】A；
【解析】如图，分别作CD⊥交于点E，作AF⊥，则可证△AFB≌△BDC，则AF＝3＝BD, BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC中，勾股定理得AC＝.
6. 【答案】C；
【解析】高在△ABC内部，第三边长为14；高在△ABC外部，第三边长为4，故选C.
二.填空题
7. 【答案】13或；
【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.
8. 【答案】；
【解析】设AE＝EC＝，EB＝，则，解得，过E点作EH⊥DC于H，EH＝4，FH＝5－3＝2，EF＝.
9. 【答案】126或66；
【解析】解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=21，
∴S△ABC==×21×12=126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，
∴S△ABC==×11×12=66cm2，
故答案为：126或66．
10.【答案】（4，0）；
【解析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC-AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
11.【答案】；
【解析】连接BE，设AE＝，BE＝DE＝，则，.
12．【答案】4；
【解析】，故.
三.解答题
13.【解析】
解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，
故BO==2.4（m），
∵梯子顶端沿墙下滑0.4m，
∴DO=2m，CD=2.5m，
∴由勾股定理得CO=1.5m，
∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m）．
答：梯子底端将向左滑动0.8m．
14.【解析】
解：如图所示：
15.【解析】
解：（1）连接DP，作DH⊥AC，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠CAB＝30°，∴BC＝１，AC＝.
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠CBP＝30°，CP＝.
在Rt△ADC中，DH＝AH＝HC＝AC＝，
∴HP＝，
DP＝.
（2）当PD＝BC＝1时，P点的位置可能有两处，分别为，，
在Rt△中，，
所以∠＝30°，∠＝30°＋45°＝75°；
同理，∠＝45°－30°＝15°.
所以∠PDA的度数为15°或75°.