（人教版）八年级数学下册17.2勾股定理逆定理 能力提升 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | （人教版）八年级数学下册17.2勾股定理逆定理 能力提升 学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 246.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-05 07:55:58 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理逆定理（能力提升）
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：
当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：
（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、原命题与逆命题
例1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）如果，那么；
（3）等腰三角形两底角相等；
（4）全等三角形的对应角相等．
（5）对顶角相等．
（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．
【答案与解析】
解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．
（2）逆命题是：如果，那么，它是假命题．
（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．
（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．
（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．
（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．
【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．
举一反三：
【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B；
提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足（为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若，与不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．
类型二、勾股定理逆定理的应用
例2、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
在Rt△ABD中，．
∴ BD＝4，
∴ ，可知∠ADB＝30°，
在△BDC中，，，
∴ ，∴ ∠BDC＝90°，
∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．
【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．
举一反三：
【变式1】△ABC三边满足，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【答案】D；
提示：由题意，，
因为，所以△ABC为直角三角形.
【变式2】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
【答案】
解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，
∴ △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．
∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACP＝∠BCD．
∵ CA＝CB，
∴ △CAP≌△CBD(SAS)，
∴ DB＝PA＝3．
在Rt△CPD中，．
又∵ PB＝1，则．
∵ ，
∴ ，
∴ △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，
∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．
例3、如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
【思路点拨】连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．
【答案与解析】
证明：猜想∠A与∠C关系为：∠A+∠C=180°．
连结AC，
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==25cm，
∵AD2+DC2=625=252=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
即∠A+∠C=180°．
【总结升华】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形．
举一反三：
【变式】下列各组数中，全是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4；6，8，10；5，12，13
B．3，4，5；10，24，26；7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
【答案】B；
解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；
B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；
C、，，不是勾股数，此选项错误；
D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；
故选B．
类型三、勾股定理逆定理的实际应用
例4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
【答案与解析】
解：∵ ，
∴ △ABC为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，可设CD＝，
∴
①－②得，
解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．
所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．
【提升练习】
一.选择题
1.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C． D．a=15，b=8，c=17
2. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角之比为5∶6∶1 B. 一边上的中线等于这一边的一半
C.三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3
3. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；
B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；
C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；
D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.
4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
6. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题
7．若△ABC中，，则∠B＝____________.
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．
9．若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，则以、、为边的三角形的面积为______．
10．△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为______，此三角形为______．
11．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
12. 如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形.(填“能”或“不能”).
三.解答题
13．已知是△ABC的三边，且，试判断三角形的形状．
14．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
15.在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；
B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；
C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；
D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．
故选：C．
2.【答案】D；
【解析】D选项不满足勾股定理的逆定理.
3.【答案】C；
【解析】度数之比为1:2:2，则三角形内角分别为36°：72°：72°.
4.【答案】B；
【解析】，所以这三条线段能构成直角三角形.
5.【答案】C；
【解析】.
6.【答案】C；
【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；因为，所以能组成三角形，②正确；因为，所以，即，③正确；因为，所以④正确.
二.填空题
7．【答案】90°；
【解析】由题意，所以∠B=90°.
8．【答案】直角；
【解析】=13，=52，=65，所以.
9.【答案】24；
【解析】∵7＜＜9，∴＝8．
10．【答案】13；直角三角形；
【解析】7＜＜17.
11.【答案】直角；
【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0
∴a=3，b=4，c=5
∵a2+b2=c2
∴三角形为直角三角形．
12．【答案】能；
【解析】设为斜边，则，两边同乘以，得，即 .
三.解答题
13．【解析】
解：因为，
所以
所以或，
此三角形为等腰三角形或直角三角形.
14．【解析】
解：△CMN是直角三角形．理由如下：
设正方形ABCD的边长为4a，则AB=BC=CD=AD=4a．
∵M是AB的中点，
∴AM=BM=2a．
∵AN=AD，AD=4a，
∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，满足AM2+AN2=MN2，且AM=2a，AN=a，
∴MN=a．
同理可得：MC=a，NC=5a．
∵MN2+MC2=（a）2+（a）2=25a2，NC2=（5a）2=25a2，
∴MN2+MC2=NC2，
∴△CMN是直角三角形．
15.【解析】
解：因为△APB绕A点逆时针旋转60°得到△AQC，
所以△APB≌△AQC，∠PAQ=60°，
所以AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，
又因为PC=5，
所以△PQC是直角三角形.
17.2 勾股定理逆定理（能力提升）
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：
当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：
（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、原命题与逆命题
例1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）如果，那么；
（3）等腰三角形两底角相等；
（4）全等三角形的对应角相等．
（5）对顶角相等．
（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．
【答案与解析】
解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．
（2）逆命题是：如果，那么，它是假命题．
（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．
（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．
（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．
（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．
【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．
举一反三：
【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B；
提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足（为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若，与不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．
类型二、勾股定理逆定理的应用
例2、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
在Rt△ABD中，．
∴ BD＝4，
∴ ，可知∠ADB＝30°，
在△BDC中，，，
∴ ，∴ ∠BDC＝90°，
∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．
【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．
举一反三：
【变式1】△ABC三边满足，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【答案】D；
提示：由题意，，
因为，所以△ABC为直角三角形.
【变式2】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
【答案】
解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，
∴ △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．
∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACP＝∠BCD．
∵ CA＝CB，
∴ △CAP≌△CBD(SAS)，
∴ DB＝PA＝3．
在Rt△CPD中，．
又∵ PB＝1，则．
∵ ，
∴ ，
∴ △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，
∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．
例3、如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
【思路点拨】连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．
【答案与解析】
证明：猜想∠A与∠C关系为：∠A+∠C=180°．
连结AC，
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==25cm，
∵AD2+DC2=625=252=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
即∠A+∠C=180°．
【总结升华】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形．
举一反三：
【变式】下列各组数中，全是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4；6，8，10；5，12，13
B．3，4，5；10，24，26；7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
【答案】B；
解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；
B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；
C、，，不是勾股数，此选项错误；
D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；
故选B．
类型三、勾股定理逆定理的实际应用
例4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
【答案与解析】
解：∵ ，
∴ △ABC为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，可设CD＝，
∴
①－②得，
解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．
所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．
【提升练习】
一.选择题
1.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C． D．a=15，b=8，c=17
2. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角之比为5∶6∶1 B. 一边上的中线等于这一边的一半
C.三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3
3. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；
B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；
C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；
D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.
4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
6. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题
7．若△ABC中，，则∠B＝____________.
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．
9．若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，则以、、为边的三角形的面积为______．
10．△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为______，此三角形为______．
11．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
12. 如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形.(填“能”或“不能”).
三.解答题
13．已知是△ABC的三边，且，试判断三角形的形状．
14．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
15.在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；
B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；
C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；
D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．
故选：C．
2.【答案】D；
【解析】D选项不满足勾股定理的逆定理.
3.【答案】C；
【解析】度数之比为1:2:2，则三角形内角分别为36°：72°：72°.
4.【答案】B；
【解析】，所以这三条线段能构成直角三角形.
5.【答案】C；
【解析】.
6.【答案】C；
【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；因为，所以能组成三角形，②正确；因为，所以，即，③正确；因为，所以④正确.
二.填空题
7．【答案】90°；
【解析】由题意，所以∠B=90°.
8．【答案】直角；
【解析】=13，=52，=65，所以.
9.【答案】24；
【解析】∵7＜＜9，∴＝8．
10．【答案】13；直角三角形；
【解析】7＜＜17.
11.【答案】直角；
【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0
∴a=3，b=4，c=5
∵a2+b2=c2
∴三角形为直角三角形．
12．【答案】能；
【解析】设为斜边，则，两边同乘以，得，即 .
三.解答题
13．【解析】
解：因为，
所以
所以或，
此三角形为等腰三角形或直角三角形.
14．【解析】
解：△CMN是直角三角形．理由如下：
设正方形ABCD的边长为4a，则AB=BC=CD=AD=4a．
∵M是AB的中点，
∴AM=BM=2a．
∵AN=AD，AD=4a，
∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，满足AM2+AN2=MN2，且AM=2a，AN=a，
∴MN=a．
同理可得：MC=a，NC=5a．
∵MN2+MC2=（a）2+（a）2=25a2，NC2=（5a）2=25a2，
∴MN2+MC2=NC2，
∴△CMN是直角三角形．
15.【解析】
解：因为△APB绕A点逆时针旋转60°得到△AQC，
所以△APB≌△AQC，∠PAQ=60°，
所以AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，
又因为PC=5，
所以△PQC是直角三角形.