专题01 二次根式及其运算知识讲义
【相关概念】
二次根式：
形如（a≥0）的式子叫做二次根式.
a为被开方数，a可以是数字或代数式.
代数式：
含有字母的数学表达式称为代数式.
整式、分式均为代数式.
最简二次根式：
1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
2、被开方数的因数是整数，因式是整式.
同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
【二次根式运算】
乘法
（a≥0，b≥0）
除法
（a≥0，b＞0）
加（减）法
先把各根式化成最简根式，再合并同类根式
分母有理化
【二次根式性质】
双重非负性：≥0，a≥0
非负数：|a|，a2n，
【二次根式应用】
因式的内移和外移：
（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.
【题型一】二次根式有意义条件
例1. （2021·河北承德市期末）若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
【答案】B.
【解析】解：若有意义，则3m－1≥0，
解得：m≥，
所以，m能取的最小整数值是1．
故答案为：B．
例2. （2021·上海市静安区）如果，那么x的取值范围是_______．
【答案】－3≤x≤0.
【解析】解：∵==，
∴x≤0，且x+3≥0，
解得：－3≤x≤0，
故答案为：－3≤x≤0.
例3．（2019·北京期末）如果，那么的取值范围是______.
【答案】x≥2.
【解析】解：∵，
∴x≥0，x 2≥0，
∴x≥2.
故答案为：x≥2.
【题型二】同类二次根式
例4. （2021·上海市期中）如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是________．
【答案】4.
【解析】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意，
当=2，即5m+8=28时，m=4，
∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4，
故答案为：4．
例5. 若两个最简二次根式与能够合并，则_________．
【答案】10.
【解析】解：∵与能够合并，
∴n=2，2m-5=5，
∴m=5，n=2
∴mn=10
故答案为：10．
例6. 最简二次根式与是同类二次根式，则＝________．
【答案】21.
【解析】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴ ，
解得，，
∴mn=21
故答案为：21.
【题型三】变式考查
例7. （2021·浙江宁波市期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
【答案】B.
【解析】解：
=2+6+4
=8+4，
即型无理数，
故答案为：B．
例8. （1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
【答案】（1）自然数n的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n的最小值为6．
【解析】解：（1）∵是整数，
∴18-n=0或1或4或9或16，
解得：n=18或17或14或9或2，
则自然数n的值为2，9，14，17，18；
（2）∵是整数，n为正整数，
∴正整数n的最小值为6．
例9．（2021·四川武外月考）若，则x=__________．
【答案】或1.
【解析】解：∵，
∴2x-1=0或2x-1=1，
解得：x=或x=1．
故答案为或1．
【题型四】二次根式运算
例10．（2021·南通市月考）一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长为( )
A． B．
C．或 D．无法确定
【答案】A.
【解析】解：已知=，=为一个等腰三角形两边的长，
若为腰长时，三角形的三边长为，，，
则周长为++=；
若为腰长时，三角形的三边长为，，，
=，+=，>，
∴+<，此三角形不存在，
∴个三角形的周长为．
故答案为：A．
例11．计算：．
【答案】．
【解析】解：
．
例12．（2021·福建省泉州月考）已知，x的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【答案】.
【解析】解：∵2<＜3，
∴3<+1<4，
故a=3，b=－2，
∴.
例13．（2021·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 ；
(2)化去式子分母中的根号： ．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）3+；（3）<；（4）2017.
【解析】解：（1）-1的有理化因式是+1；
（2）；
（3），，
∵
∴>
∴<；
（4）原式=
=
=2018-1
=2017．
例14. 若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.
【解析】解：∵与是可以合并二次根式，+=，
∴+==5，
设=m，=n，m、n为正整数，m＜n，
∴m=1，n=4或m=2，n=3
故a=3，b=48或a=12，b=27．
例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（n为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
【答案】[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]．
【解析】[观察]，，，
[发现]（1）或
（2）左边
∵n为正整数，
∴
∴左边=右边
[应用]
.
【题型五】化简求值
例16. （2021·江苏南通市期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A.
【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，
∴7-x≥0，
则x≤7
∴x-8＜0，
原式=7-x+8-x
=15-2x
故答案为：A．
例17．（2021·浙江杭州期中）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，
∴a-b＞0，a+b＜0，
∴原式＝-a-b-a+b＝-2a，
故答案为：B．
例18．若数轴上表示数的点在原点的左边，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：∵数x的点在原点的左边，
∴x＜0，
∴原式＝|3x+|x||
＝|3x-x|
＝|2x|
＝-2x．
故答案为：C．
例19．（2021·温州月考）下列四个式子中，与的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】解：
由题意得：2021-a>0，得：a<2021，
∴a-2021<0，
∴原式=．
故答案为：D．
例20．下列给出的四个命题：
①若 ，则；②若a2﹣5a+5=0，则 ；
③
其中是真命题是
【答案】②.
【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，
②a2=5a-5，
∴5a-5≥0，即a≥1，
故=a-1，是真命题；
③ ，是假命题，
故答案为：②．
【题型六】阅读材料
例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）和（1，）；
（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 ；
（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），则x的值为 ；
（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（，），求ab的值．
【答案】（1）与 ；（2） ；（3）1 ；（4）或6.
【解析】解：（1）由题意得m=，n=，
∴数对(9，3)的一对“对称数对”是与；
（2）由题意得m=，n=，
∴数对(3，y）的一对“对称数对”为与，
∵数对(3，y）的一对“对称数对”相同，
∴
∴y=；
（3）∵数对(x，2)的一对“对称数对”是与
而数对(x，2)的一个“对称数对”是（，1），
∴，
∴x=1；
（4）∵数对(a，b)的一对“对称数对”是与，
而数对(a，b)的一个“对称数对”是(，)，
∴①，解得
∴；
②，解得，
∴，
综上所述，或．
例22. 阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简： ．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）.
【解析】解：类比应用：
（1）根据题意可得：
=；
（2）根据题意可得：
=
=
=
=2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC===；
（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，
∴FD=EC=AD-AF==，
∴=，
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD=，
∴AE=，
在△AED中，S△AED =，
即，则，
解得DG=，
∴点D到线段AE的距离为.
例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求 a2 b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则 a 2 b2 (a b)2 2ab x2 2y 4 610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：
（2）已知 m 是正整数， a ，b 且 2a2 1823ab 2b2 2019 ．求 m．
（3）已知，则的值为
【答案】（1）；（2）2；（3）9.
【解析】解：（1）原式
（2）∵a ，b
∴a+b=
=2（2m+1），
ab=·
=1
∵2a2 1823ab 2b2 2019
∴2（a2+b2）+1823=2019
∴a2+b2=98
∴4（2m+1）2=100
∴m=2或m=-3
∵m 是正整数
∴m=2．
（3）由，
得：
∴
∴=9．
例24.（2021·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴
求：（1）；
（2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）m+n=a，mn=b，理由见解析.
【解析】解：（1）
＝
＝；
（2）；
（3）m+n＝a，mn＝b.
理由：∵，
∴，
∴m+n+2＝a+2，
∴m+n＝a，mn＝b.
例25．（2021·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】解：（1）
（2）
（3）．专题01 二次根式及其运算知识讲义
【相关概念】
二次根式：
形如（a≥0）的式子叫做二次根式.
a为被开方数，a可以是数字或代数式.
代数式：
含有字母的数学表达式称为代数式.
整式、分式均为代数式.
最简二次根式：
1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
2、被开方数的因数是整数，因式是整式.
同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
【二次根式运算】
乘法
（a≥0，b≥0）
除法
（a≥0，b＞0）
加（减）法
先把各根式化成最简根式，再合并同类根式
分母有理化
【二次根式性质】
双重非负性：≥0，a≥0
非负数：|a|，a2n，
【二次根式应用】
因式的内移和外移：
（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.
【题型一】二次根式有意义条件
例1. （2021·河北承德市期末）若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
例2. （2021·上海市静安区）如果，那么x的取值范围是_______．
例3．（2019·北京期末）如果，那么的取值范围是______.
【题型二】同类二次根式
例4. （2021·上海市期中）如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是________．
例5. 若两个最简二次根式与能够合并，则_________．
例6. 最简二次根式与是同类二次根式，则＝________．
【题型三】变式考查
例7. （2021·浙江宁波市期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
例8. （1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
例9．（2021·四川武外月考）若，则x=__________．
【题型四】二次根式运算
例10．（2021·南通市月考）一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长为( )
A． B．
C．或 D．无法确定
例11．计算：．
例12．（2021·福建省泉州月考）已知，x的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
例13．（2021·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 ；
(2)化去式子分母中的根号： ．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
例14. 若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（n为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
【题型五】化简求值
例16. （2021·江苏南通市期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
例17．（2021·浙江杭州期中）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
例18．若数轴上表示数的点在原点的左边，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
例19．（2021·温州月考）下列四个式子中，与的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
例20．下列给出的四个命题：
①若 ，则；②若a2﹣5a+5=0，则 ；
③
其中是真命题是
【题型六】阅读材料
例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）和（1，）；
（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 ；
（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），则x的值为 ；
（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（，），求ab的值．
例22. 阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简： ．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求 a2 b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则 a 2 b2 (a b)2 2ab x2 2y 4 610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：
（2）已知 m 是正整数， a ，b 且 2a2 1823ab 2b2 2019 ．求 m．
（3）已知，则的值为
例24.（2021·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴
求：（1）；
（2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
例25．（2021·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
