浙江省温州市十校2012-2013学年高二上学期期末联考数学（文）试题

2012学年第一学期十校联合体高二期末联考
数学试卷（文科）
（满分120分，考试时间：100分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线和直线的位置关系为（ ▲ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．以上都不对
2．若命题和都为假命题，则( ▲ )
A．为假命题 B．为假命题 C．为真命题 D．不能判断的真假
3．已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ▲ ）
A．若∥，∥，则∥ B．若⊥，⊥，则∥
C．若∥，∥，则∥ D．若⊥，⊥，则∥
5．过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是( ▲ )
A． B． C． D．
6．在右图的正方体中，M．N分别为棱BC和棱CC1的中点，
则异面直线AC 和MN所成的角为 （ ▲ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与
点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ▲ ）
A．（，－1） B．（，1） C．（1，2） D．（1，－2）
8．若直线平分圆的圆周，
则的最大值是（ ▲ ）
A．4 B．2 C． D．
9．已知两点，给出下列曲线方程
① ② ③ ④
在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（ ▲ ）
A．①③ B． ②④ C．①②③ D．①②④
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．命题“”的逆否命题是 ▲ ．
12．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ▲ ．
13．从圆上任意一点P向x轴作垂线段PD，则线段PD的
中点M的轨迹方程为 ▲ ．
14．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的
尺寸(单位：cm)， 可得这个几何体的体积是 ▲ ．
15．椭圆的焦点为、，点为其上的动点，
当∠为直角时,点横坐标是 ▲ ．
16．椭圆和双曲线有相同的焦点 , , 是两条曲线的
一个交点，则 ▲ ． .
17．在下列四个命题中，
①如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题一定是真命题.
②方程的图象表示双曲线的充要条件是k <1或k >2.
③过点作与抛物线只有一个公共点的直线有且只有一条.
④圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线4x－3y＋5＝0的距离为1.
正确的有 ▲ ．（填序号）
三．解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共52分）
18．（本题满分8分）已知， .
若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
19．（本题满分10分）已知三点、、.
（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；
（2）设点、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为
焦点且过点的双曲线的标准方程.
[来源:学科网ZXXK]
20．(本题满分12分) 如图：已知四棱锥中，是正方形，且,是的中点.
(1)证明：平面
(2)证明：平面⊥平面
(3)求与平面所成角的正切值.
21. (本题满分10分)
已知圆，直线.
(1) 求证：直线恒过定点,并判断直线与圆C的位置关系；
当直线与圆C相交时，求直线被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度.
[来源:Zxxk.Com]
22. （本题满分12分）
已知抛物线顶点在原点，焦点是圆的圆心,如图.[来源:Zxxk.Com]
（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在过圆心的直线与抛物线、圆顺次交于、、、，且使得,,成等差数列，若直线存在，求出它的方程；若直线不存在，说明理由.
[来源:学科网]
2012学年第一学期十校联合体高二期末联考
数学（文科）答案[来源:Zxxk.Com]
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
题号
1
2
3
4
5
6
7[来源:学§科§网Z§X§X§K]
8[来源:Zxxk.Com]
9
10
答案
B
B
D
B
D
C
A
C
D
C
二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．若则 12． 13．
14． 15. 16． 17.①②④
三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共52分）
18.解：由p：可得 …………………（2分）
由q：可得 ……（4分）
因为是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件.………………（5分）
所以，…………………………… （7分）
所以 ……………………………………… （8分）
19.解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为，其半焦距.
， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为； ………（5分）
（2）点关于直线y＝x的对称点分别为：.
设所求双曲线的标准方程为，由题意知半焦距，
,，
，故所求双曲线的标准方程为. …………（10分）
20.证明：(1)连接交与,连接,
∵、分别为、的中点,∴∥.
∵平面,平面
∴∥平面 …………… （4分）
(2)在正方形中 ， (，
又∵(平面,∴(
又交于点，,面,
∴(平面,平面
∴平面(平面. ………（8分）
(3)取中点，是的中点，∥
平面平面
是直线与平面所成角.
设,,,,
,即与平面所成角的正切值为.…（12分）
21. （1）证明：∵将直线的方程整理得： ,
由于的任意性，∴ 解得：
∴直线恒过定点 ………………（3分）
又∵
∴在圆内，∴直线恒经过圆内一定点,∴直线与圆相交 ………………（5分）[来源:学*科*网]
（2）当直线过圆心时，被截得弦长最长，此时弦长等于圆的直径。
当直线和圆心与定点连线垂直时，弦长最短. ………………（7分）[来源:Z*xx*k.Com]
最短弦长为 ………………（8分）
此时直线的斜率为
∴,解得 ………………（10分）
22.解：(1)圆的方程为，圆心F坐标是（2,0），[来源:学科网]
即抛物线的焦点坐标是（2,0）,所以抛物线的方程是. ………（3分）
(2) |AB|,2|BC|,|CD|成等差数列,且BC为圆的直径，
|AB|+|CD|=4|BC|=8，|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10. …………… （4分）
假设直线存在，则当直线的斜率不存在时，直线的方程是x=2,
代入,得,所以|AD|==810，此时直线不合题意. …………… （6分）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且设，
解方程组，消去y得 …………… （8分）
，又抛物线的准线方程为,由抛物线的定义得：
|AD|==10，即，，解得 …………… （10分）.
此时，所以存在符合题意的直线，其方程为
综上，存在直线，其方程为或. …………… （12分）