9.2.2 总体百分数的估计 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 (共14张PPT)

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9.2.2 总体百分位数的估计
1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 19.4 16.8 17.0 17.9 18.3 20.5 21.6 22.2 24.3 22.4 24.5 25.6 28.0
问题2 我们根据频率分布直方图得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断. 那么，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%. 下面我们通过样本数据对a的值进行估计. 我们首先把100个样本数据按从小到大排序.
由数据可得，第80个和第81个数据分别为13.6和13.8. 可以发现，区间(13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.
一般地，我们取这两个数的平均数13.7，并称此数为这组数据的第80百分位数或80%分位数.
根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右. 由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t.
一般地, 一组数据的第p百分位数是这样一个值, 它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值, 且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第一步：按从小到大排列原始数据；
第二步：计算i=n×p%；
第三步：若i不是整数, 而大于i的比邻整数位j, 则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项的平均数.
我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.
在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，和第99百分位数在统计中也经常被使用.
百分位数的定义及相关运算
解：将100户居民的月均用水量按小到大的顺序排列如下：
1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0
由于100×60％=60.
∴第60百分位数为第60个和第61个数据的平均数，即
因此居民用户月均用水量标准应定为8.0合适.
1. 在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适
练习
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教材202页
例2 根据下列样本数据，估计树人中学高一年级女生第25，50，75百分位数.
女生
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0
162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0
155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
解：把23名男生的样本数据按从小到大排序，结果如下：
164.0 165.0 165.0 166.0 167.0 168.0 168.0 168.0 170.0 170.0 170.0 172.0
172.0 172.0 173.0 173.0 173.0 173.0 174.0 175.0 175.0 175.0 176.0
由23×25%=5.75，23×50%=11.5，23×75%=17.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第6，12，18项数据，分别为168.0，172.0，173.0.
据此可以估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数分别约为168.0，172.0，173.0.
通过增加样本量，可以减少估计的误差.
2. 根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数. 如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做
练习
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教材202页
例3 根据下列图表，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
解：由上表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%，在16.2t以下的居民用户所占比例为77%+9%=86%.
因此，80%分位数一定位于[13.2，16.2)内.
由13.2+3×(0.80-0.77)/(0.86-0.77)=14.2.
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
类似地，由22.2+3×(0.95-0.94)/(0.98-0.94)=22.95
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：
(1) 排列，按照从小到大的顺序排列原始数据；
(2) 计算i，计算i＝n×p%；
(3) 定数，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【提醒】求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．　
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
变式2 现有甲、乙两组数据如下表所示．
课堂小结：
总体百分位数的估计：
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第一步：按从小到大排列原始数据；
第二步：计算i=n×p%；
第三步：若i不是整数，而大于i的比邻整数位j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项的平均数.