10.1.1 有限样本空间与随机事件 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 (共22张PPT)

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10.1.1 有限样本空间与随机事件
10.1 随机事件与概率
第十章 概率
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支. 概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇. 本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力.
在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.
探究 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.
1. 抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
2. 买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况.
随机现象普遍存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有的有无穷个可能结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无穷.
常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.
高中阶段主要研究离散型概率模型.
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.
随机试验具有以下特点：
(1) 试验可以在相同条件下重复进行；
(2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
可重复性
可预知性
随机性
1. 随机试验
思考 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号0,1,2,…,9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码. 这个随机试验共有多少个可能结果 如何表示这些结果
共有10种可能结果. 所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
一般地，我们用Ω(欧米伽)表示样本空间，用ω表示样本点.
在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况.
如果一个随机试验有n个可能结果的ω1, ω2, …, ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.
例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω＝{正面朝上，反面朝上}.
如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω＝{h, t}.
例2 抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.
解：因为落地时朝上面的点数有1, 2, 3, 4, 5, 6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为
Ω＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x, y)表示. 于是，试验的样本空间
如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为
如图所示，画树状图可以帮助我们理解此例的解答过程.
Ω＝{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}.
1
0
1
0
1
0
第一枚
第二枚
Ω＝{(正面, 正面), (正面, 反面), (反面, 正面), (反面, 反面)}.
变式 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，
转盘②得到的数为y，结果记为(x，y)．
(1) 写出这个试验的样本空间；
(2) 求这个试验样本点的总数；
(3) “x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4) “xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解：(1) Ω＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}．
(2) 样本点的总数为16.
变式 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，
转盘②得到的数为y，结果记为(x，y)．
(1) 写出这个试验的样本空间；
(2) 求这个试验样本点的总数；
(3) “x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4) “xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解：
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)．
“x<3且y>1”包含以下6个样本点：
(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)．
写出下列各随机试验的样本空间：
(1) 采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；
(2) 采用抽签的方式，随机选择一 名同学，观察其ABO血型；
(3) 随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；
(4) 射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；
(5) 射击靶3次，观察中靶的次数.
解： (1) 样本空间Ω＝{男, 女}.
(2) 样本空间Ω＝{A, B, O, AB}.
(3) 样本空间Ω＝{(男, 男), (男, 女), (女, 女), (女, 男)}.
(4) 用1表示“中靶”，用0表示“脱靶”，则样本空间为
Ω＝{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)}.
(5) 样本空间Ω＝{0,1,2,3}.
练习
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思考 在上面体育彩票摇号试验中, 摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗 摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件 如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系
显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.
类似地，可以用样本空间的子集{0, 3, 6, 9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”.
我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1, 3, 5, 7, 9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1, 3, 5, 7, 9}.
因此可以用样本空间, Ω＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}的子集{1, 3, 5, 7, 9}表示随机事件A.
2. 随机试验的相关概念
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示. 为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A, B, C, · · · 表示.
把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
必然事件与不可能事件不具有随机性. 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形. 这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
例题 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1) 中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
(2) 出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3) 若x∈R，则x2＋1≥1；
(4) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，朝上的面的点数之和小于2.
解：(1)是随机事件；
(2)是随机事件；
(3)是必然事件；
(4)是不可能事件．
变式1 给出下列事件：
① 在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；
② a，b∈R，则ab＝ba；
③ 将一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．
其中是不可能事件的为 (　　)
A．② B．① C．①② D．③
B
变式2 给出下列4个命题：
① “3个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
② “x为某一实数时，存在x2＜0”是不可能事件；
③“2025年的国庆节天气晴”是必然事件；
④ “从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 (　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
B
解：“2025年的国庆节天气晴”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B.
例4 如右图，一个电路中有A, B, C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1) 写出试验的样本空间；
(2) 用集合表示下列事件：
M＝“恰好两个元件正常”；
N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”.
A
C
B
解：(1)分别用x1, x2和x3表示元件A, B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2, x3)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间为
Ω＝{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1, 0,1), (0,1,1), (1,1,1)}.
0
1
元件A
0
1
0
1
元件B
0
1
0
1
0
1
0
1
元件C
000
001
010
011
100
101
110
可能结果
111
解：(2) M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}；
N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}；
T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)} .
还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下图.
(2) 用集合表示下列事件：
M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.
A
C
B
2. 如图，由A, B两个元件分别组成串联电路(图(1) )和并联电路(图(2) )，观察两个元件正常或失效的情况.
(1) 写出试验的样本空间;
(2) 对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点;
(3) 对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.
A
B
(1)
B
A
(2)
解：(1)分别用x1, x2表示元件A, B的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间为
Ω={(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}.
(2) 事件M=“电路是通路”包含的样本点为(1,1).
(3) 事件N=“电路是断路”包含的样本点为(0,0).
练习
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3. 袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 从中随机摸出一个球.
(1) 写出试验的样本空间;
(2) 用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”.
解：(1) 样本空间为Ω={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2) 事件A用集合表示为{1,2,3,4}；
事件B用集合表示为{5,6,7,8,9}；
事件C用集合表示为{2,4,6,8}.
练习
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巩固练习 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件，下列事件中：
① 3件都是正品；
② 至少有1件是次品；
③ 3件都是次品；
④ 至少有1件是正品．
其中随机事件有_____，必然事件有_____，不可能事件有_____．
①②
③
④
1. 样本空间有关概念：
(2) 样本空间：
2. 随机事件有关概念：
(1) 基本事件:
只包含一个样本点的事件.
随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.
(3) 事件A发生：
当且仅当A中某个样本点出现.
(4) 必然事件：
在每次试验中总有一个样本点发生.
Ω为必然事件.
(5) 不可能事件：
在每次试验中都不会发生.
为不可能事件.
(2) 随机事件(简称事件)：
样本空间Ω的子集.
随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示.
(1) 样本点：
全体样本点的集合，用Ω表示.
课堂小结