10.1.4 概率的基本性质 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 (共22张PPT)

(共22张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
1. 互斥事件与对立事件如何定义？
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B= , A∪B=Ω
2. 互斥事件是对立事件的_____________条件.
必要不充分
3. 古典概型的特征是什么？
(1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
复习回顾
思考1 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质. 例如，在给出指数函数的定义后，我们通过定义域、值域、单调性、特殊点等角度来研究函数性质. 类似地，在给出了概率的定义后，你认为可以从哪些角度研究概率的性质
① 概率的取值范围;
② 特殊事件的概率;
③ 事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系.
由概率的定义可知：
任何事件的概率都是非负的;
在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.
因此可得概率有如下性质：
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)=1，P( )=0.
概率的性质：
探究：在“事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关系.具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢 例如设事件A与事件B互斥，那么和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系
因为n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4，所以
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”.
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事件R与事件G互斥，R∪G=“两次摸到球颜色相同”.
P(R)+P(G)=
= P(R∪G)
下面我们用10.1.2节例6来探究此问题.
即P(R)+P(G)=P(R∪G)
概率的性质3
事实上，若事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，则n(A∪B)=n(A)+n(B)，这就等价于P(A∪B)=P(A)+ P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和. 所以我们就得到互斥事件的概率加法公式. 即
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
概率的性质：
若事件A与事件B互斥，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B). (或P(A+B)=P(A)+P(B))
思考2 若事件A和事件B互为对立事件，则它们的概率有什么关系
因为事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B是必然事件，则P(A∪B)=1.
由性质3，得1=P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1.
练习 甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3. 求甲获胜的概率？
解：“甲获胜”是“甲不输或和棋”的对立事件，
因为“和棋”与“甲不输”是互斥事件，所以甲获胜的概率为：
1-(0.6+0.3)=0.1
一般地，对于事件A与事件B，如果A B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率. 于是我们有概率的单调性：
性质5(概率的单调性) 如果A B，那么P(A)≤P(B).
所以对于任意事件A，有0≤P(A)≤1.
思考3 在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A B，那么P(A)与P(B)有什么关系？
如果A B，则n(A)≤n(B)，所以
即P(A)≤P(B).
思考4 对于任意事件A，P(A)的取值范围为多少？
因为 A Ω，
所以P( )≤P(A)≤P(Ω)，
即0≤P(A)≤1.
思考 在10.1.2节例6的摸球试验中，R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+ P(R2)相等吗 如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).
这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠ ，即事件R1和R2不互斥.
因为n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，
所以P(R1)+P(R2)=
P(R1∪R2)=
所以P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).
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由于P(R1∩R2)=
或者P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
概率的性质：
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)=1，P( )=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1.
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B).
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).(或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).)
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
对任意事件A，有P(A)∈[0,1].
解：(1) 因为C=A∪B，且A与B是互斥事件. 根据互斥事件的概率加法公式，得
例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)= ，那么
(1) 设C=“抽到红花色”，求P(C)；
(2) 设D=“抽到黑花色”，求P(D).
P(C)=P(A)+P(B)
(2) 因为C与D互斥，且C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件. 因此
P(D)=1-P(C)
例12 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少
因为A1A2、 、 两两互斥，所以
P(A)=P(A1A2)+P( )+P( ).
2×1=2
2×4=8
可能结果数
不中奖
中奖
4×2=8
4×3=12
不中奖
中奖
中奖
不中奖
2
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1
4
2
3
第一罐
第二罐
借助树状图来求相应事件的样本点数.
解1：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件AlA2=“两罐都中奖”， =“第一罐中奖, 第二罐不中奖”, =“第一罐不中奖, 第二罐中奖”，且A=A1A2∪ ∪ .
因为n(A1A2)=2, n( )=8, n( )=8，
可以得到，n(Ω)=6×5=30.
P(A)=
所以
所以从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为
思考：你还有另外方法求解此题吗？
事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”.
由于 =“两罐都不中奖”，而n( )=4×3=12，
所以P(A)=
1-P( )=
正难则反
此解法说明什么？
解2：
例12 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少
所以从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为
解3：设不中奖的4罐记为1, 2, 3, 4, 中奖的2罐记为a, b，随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为：
(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, a)，(1, b)，
(2, 3)，(2, 4)，(2, a)，(2, b)，
(3, 4)，(3, a)，(3, b)，
(4, a)，(4, b)，
(a, b).
共15个样本点. 而中奖的样本点有9个，所以
能中奖的概率 P=9/15 =0.6.
例12 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少
上述解法没有考虑顺序，其结果是一样的.
解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E. 可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13．
（1）设“射中10环或9环”为事件M，则有M=A∪B，
∴P(M)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，
所以射中10环或9环的概率为0.52．
（2）设“至少射中7环”为事件N，事件N与事件E“是对立事件，
∴ P(N)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87．
　　 所以至少射中7环的概率为0.87．
互斥事件、对立事件概率的求解方法：
（1）互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
【注意】有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即 .　　　　　　　 　
规律方法：
1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.
(1) 如果B A，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=______ ;
(2) 如果A, B互斥，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=_____.
0.5
0.3
0.8
0
练习
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教材242页
2.指出下列表述中的错误:
(1) 某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5;
(2) 如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.
解：(1) 因为明天下雨与明天不下雨是对立事件, 且明天下雨的概率为0.4, 所以明天不下雨的概率为0.6.
(2) 因为事件A与事件B互斥，但不一定不对立，所以不一定有P(A)+P(B)=1.
练习
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教材242页
3. 在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别
(M (男)、F (女) )及年级(G1 (高一)、G2(高二)、G3(高三))分类统计的人数如下表:
若从这100名学生中随机选一名学生， 求下列概率:
P(M) =______，
P(F) =______，
P(M∪F) =______，
P(MF) =______，
P(G1) = ______，
P(M∪G2) =_______，
P(FG3) =______.
G1 G2 G3
M 18 20 14
F 17 24 7
0.52
0.48
1
0
0.35
0.76
0.07
练习
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教材243页
小结：
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)=1，P( )=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1.
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B).
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).(或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).)
推论 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
对任意事件A，有P(A)∈[0,1].