【课件】8.2.2 两角和与差的正弦、正切 (共66张PPT)

(共66张PPT)
数学－RJB－必修第三册
第八章　向量的数量积与三角恒等变换
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
学习目标
1.会推导出两角和与差的正弦公式、正切公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明.
3.会利用辅助角公式化asin α+bcos α为一个角的三角函数的形式.
重点：两角和与差的正弦、正切公式的应用.
难点：利用两角和的正弦公式变asin α+bcos α为一个角的三角函数的
形式.
Sα+β：sin（α+β）＝sin αcos β+cos αsin β；
Sα-β：sin（α-β）＝sin αcos β-cos αsin β.
两角和的正弦公式
两角差的正弦公式
你发现这两组公式有何结构特征？
正余余正，符号相同.
知识梳理
一、两角和与差的正弦
1.两角和与差的正弦公式及其推导
根据两角和与差的余弦公式（即Cα+β与Cα-β）可以证明如下的
两角和与差的正弦公式.
公式的证明：
而且
　　sin（α-β）＝sin［α+（-β）］
　　　　　　＝sin αcos（-β）+cos αsin（-β）
　　　　　　＝sin αcos β-cos αsin β.
2.辅助角公式
形如（且不同时为零）的式子，引入辅助角，
可变形为sin（）或cos（）的形式，
因此我们把sin（）（或））称为辅助角公式.
其中满足：cos ＝，sin＝.　
辅助角公式实质上就是两角和与差的余弦、正弦公式的逆用.
【名师点拨】
通过辅助角公式， （且不同时为零）
可转化为sin（）或cos（）的形式（具体变换成哪种形式依题而定）.
（且不同时为零）可转化为sin（）
或cos（）的形式.
由此可以很容易地解决它们的周期性、最值、单调性等有关问题.
二、两角和与差的正切公式
思考：在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan（α+β）和tan（α-β）吗？其中α，β应该满足什么条件？
注意：从推导的过程可以知道，α，β有一定的取值范围，即
α≠kπ+（k∈），
β≠kπ+（k∈），
α±β≠kπ+（k∈），
这样，才能保证tan α，tan β及tan（α±β）都有意义.
归纳总结：
两角和的正切公式
两角差的正切公式
公式的结构特征：
（1）公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.
（2）公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
注意：当α，β，α±β角的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公式或其他方法解题.
想一想：对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？
提示：tan αtan β，tan α±tan β，tan（α±β）三者知二求一.
常考题型
【必备知识】
1.两角和的正弦公式
sin（α+β）＝sin αcos β+cos αsin β.（Sα+β）
2.两角差的正弦公式
sin（α-β）＝sin αcos β-cos αsin β.（Sα-β）
A
D
解题方法
三角函数式的化简标准和要求
1.能求出值的应求出值；
2.使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；
3.使三角函数式的次数尽可能低；
4.使分母中尽量不含三角函数式和根式.
B
解题方法
用两角和与差的三角函数公式，解决“给值求值”问题的思路
创造应用公式的条件主要指构造角，要注意观察已知角与所求解析式中角的关系，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的变换.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.
常见角的变换有：
（1）2α+β＝（α+β）+α，2α-β＝（α-β）+α；
（2）＝-，＝-；
（3）+＝+（α+β），+＝+（α-β）.
B
A
B
　　
　
　
2.给值求角
方法技巧
求角应当先求出角的某一个三角函数值，至于选取角的哪一个三角函数名，可参考下列原则：已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数；若角的范围是，选正弦函数或余弦函数都可以；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是（0，π），选余弦函数比正弦函数好.
总之，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内，这样可以使得求得的角唯一，而不需要讨论.
训练题
（3）三角形背景下的求值问题
例 ［2020·黑龙江哈六中高一期末］在△ABC中，若sin（A-B）＝1-2cos Asin（A+C），则△ABC的形状为 （　　）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
知识拓展
在三角形中，因为三个内角A+B+C＝π或+＝-，所以在各个角的三角函数式之间有着密切的联系，如sin（A+B）＝sin C，＝.可以通过某些角的三角函数值的符号，计算某个角的大小，或者判断三角形的形状等.
训练题
B
等腰三角形
4.用两角和与差的正弦公式，证明三角恒等式
例1 求证：＝.
例2 已知|A|<1，且sin α＝Asin（α+β），cos（α+β）≠0，
求证：tan（α+β）＝.
训练题
已知sin α＝msin（α+2β），且α+β≠+kπ（k∈Z），m≠1，β≠（k∈Z）.
求证：tan（α+β）＝·tan β.
【必备知识】
1.两角和的正切公式
tan（α+β）＝.（Tα+β）
2.两角差的正切公式
tan（α-β）＝.（Tα-β）
训练题
2.用两角和与差的正切公式，条件求值
（1）给值求值
例 ［2019·江苏淮安高一期末］已知sin α＝，α∈，cos β＝-，β∈，则tan（α+β）＝　　　　.
知识拓展
公式的运用要讲究一个“活”字，即注意公式的正用、逆用、变形应用等.
正用：tan（α±β）＝.
逆用：＝tan（α±β）.
变形应用：
①tan α+tan β＝tan（α+β）（1-tan αtan β）；
②1-tan αtan β＝；
③tan α+tan β+tan αtan βtan（α+β）＝tan（α+β）；
④tan αtan β＝1-.

训练题
C
B
A
B
B
（3）三角形背景下的求值问题
例 ［2019·贵州遵义四中高一检测］在△ABC中，tan Atan B>1，判断△ABC的形状.
知识拓展
在三角形中，因为三个内角A+B+C＝π或+＝-，所以在各个角的三角函数式之间有着密切的联系，如tan （A+B）＝-tan C.可以通过某些角的三角函数值的符号，计算某个角的大小，或者判断三角形的形状等.
B
　
A　
　
　
小结
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
3.和差角正切公式的应用，要注意变形式的应用
只要出现tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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