【课件】7.3.3 余弦函数的性质与图像 数学－RJB－必修第三册

(共60张PPT)
数学－RJB－必修第三册
第七章 三角函数
7.3.3　余弦函数的性质与图像
学习目标
1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数和的图像，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系.
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，并能利用余弦函数的图像和性质来解决相关的综合问题.
重点：余弦函数的图像和性质.
难点：余弦函数的图像和性质的综合应用.
知识梳理
一、余弦函数的定义与性质
因为对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数.
1.余弦函数的定义
由可知，的性质与图像和正弦型函数的相同，由此可得余弦函数的性质（如下表所示）.
尝试与发现
研究余弦函数的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，研究余弦函数的性质.
2.余弦函数的性质
定义域
值域
最值
周期性
单调性
奇偶性
零点
当x＝π+2kπ （k∈）时，ymin＝-1
周期函数，最小正周期为2π
在区间［-π+2kπ，2kπ］（k∈）上递增；
在区间［2kπ，π+2kπ］（k∈）上递减
偶函数
（）
当x＝2kπ（k∈）时，ymax＝1；
二、余弦函数的图像
函数的图像称为余弦曲线.
由，因此余弦曲线可由
正弦曲线向左平移　 　个单位得到，
如图所示.
正弦函数与余弦函数的图像形状完全相同，只是位置不同.
由余弦曲线可以看出，其对称轴为（k∈），对称中心为（k∈）.
说明：与正弦曲线类似，余弦曲线的对称轴一定过
余弦曲线的最高点或最低点，即此时的余弦值为最
大值或最小值，余弦曲线的对称中心为余弦曲线与
轴的交点，其纵坐标.
【点拨】“五点法”画余弦函数图像
类比学习正弦函数图像的方法，观察余弦曲线，可知在函数y＝cos x，x∈［0，2π］的图像上，起关键作用的五个点是它与x轴的交点和函数取得最大值、最小值的点.它们的坐标依次为
（0，1）， ，（π，-1）， ，（2π，1），
用光滑曲线顺次将它们连接起来就可得到函数y＝cos x，x∈［0，2π］的简图.
常考题型
一、余弦函数的性质——定义域、值域、最值
1.利用余弦函数的值域求参数
例1 若cos x＝2m-1，且x∈R，则m的取值范围是 （　　）
A.（-∞，1］ B.［0，+∞）
C.［-1，0］ D.［0，1］
　【解析】∵ ，
，即，解得，
故的取值范围是［0，1］.
【答案】D
【解题提示】（1）（2）利用整体代换法；（3）利用二次函数的性质求解；（4）先分离常数或反解出cos x，再利用-1≤cos x≤1求解.
◆利用余弦函数的性质，求复合函数的最值、值域问题的方法
1.对于y＝acos x+b的形式，借助余弦函数的有界性|cos x|≤1求解.
2.对于y＝Acos （ωx+φ）+k（Aω≠0）的形式，采用整体代换法
求解，令ωx+φ＝t，借助y＝cos t的图像及性质求解，注意x的
取值范围对t的取值范围的影响.
3.对于y＝的形式，采用分离常数法或反解出cos x，再利
用余弦函数的有界性求解.
4.对于y＝acos2x+bcos x+c的形式，利用二次函数的有关知识求解.
二、余弦函数的性质——周期性
1.判断余弦型函数是否为周期函数
例3 判断函数y＝，x∈［-π，π］是不是周期函数.若不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数.
【解题提示】要判断一个函数为周期函数，一要看定义域，即对任意，有；二是对任意，有.要说明一个函数不是周期函数或者不是以为周期的函数，只要举一反例即可.
【解】∵ x＝π时，x+T［-π，π］，不符合周期函数的定义，
∴ y＝，x∈［-π，π］不是周期函数.
要使函数为周期函数，需将条件x∈［-π，π］改为x∈R.
∵ 当x∈R时，有
y＝＝＝，
∴ y＝是以π为周期的周期函数.
2、求余弦型函数的周期
例4 求下列函数的最小正周期：y＝cos 2x.
解：令u＝2x，则y＝cos 2x＝cos u是周期函数，且最小正周期为2π，
∴ cos（u+2π）＝cos u，
即cos（2x+2π）＝cos［2（x+π）］＝cos 2x.
∴ y＝cos 2x的最小正周期为π.
◆求余弦型函数周期的方法
1.定义法：对于定义域内每一个x是否存在非零常数T，使f（x+T）＝f（x），若存在，则T是它的一个周期.
2.公式法：形如y＝Acos （ωx+φ）（其中A，ω，φ为
常数，且A≠0，ω≠0）的函数的周期T＝.

三、余弦函数的性质——奇偶性
例5 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝sin xcos x；
（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝.
【解】（1）函数的定义域为，关于原点对称.
∵ f（-x）＝sin（-x）cos（-x）＝-sin xcos x＝-f（x），
∴ f（x）＝sin xcos x为奇函数.
（2）函数应满足1-sin x≠0，
∴ 函数的定义域为，显然定义域不
关于原点对称，
∴ f（x）＝为非奇非偶函数.
（3）由得cos x＝1，
∴ 函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称.
当cos x＝1时，f（x）＝0，f（x）＝±f（-x）.
∴ f（x）＝既是奇函数又是偶函数.
◆函数奇偶性的判断方法
判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据
f（-x）与f（x）的关系确定奇偶性.函数解析式能化简的要化简，必须进行恒等变形.
四、余弦函数的性质——单调性
1.利用余弦函数的单调性，比较余弦值的大小
◆利用单调性比较大小的方法
单调性是对一个函数的某个区间而言的，一般按如下情况进行比较：
1.比较同名的三角函数值的大小，将所给的角运用诱导公式转化到同一单调区间，在同一单调区间上运用单调性比较大小，若比较复杂，先化简；
2.比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较.
A
2.利用余弦函数的单调性，求复合函数的单调区间
【解析】（1）∵ -<0，
∴ y＝1-cos x的单调性与y＝cos x的单调性相反.
∵ y＝cos x的单调增区间是［2kπ-π，2kπ］（k∈），
∴ y＝1-cos x的单调减区间是［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）.
取k＝0得D.
【答案】　（1）D　（2）A
◆利用余弦函数的单调性，求复合函数的单调区间的方法
1.形如y＝acos x+b（a≠0）的函数的单调区间
当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致；
当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反.
2.形如y＝Acos （ωx+φ）（ω>0）的函数的单调区间
当A>0时，由2kπ≤ωx+φ≤π+2kπ（k∈Z），解得函数的减区间；
由-π+2kπ≤ωx+φ≤2kπ（k∈Z），解得函数的增区间.
当A<0时，由2kπ≤ωx+φ≤π+2kπ（k∈Z），解得函数的增区间；
由-π+2kπ ≤ωx +φ≤2kπ（k∈Z），解得函数的减区间.
若ω<0，则先利用诱导公式化为ω>0的情形.
3.复合函数的单调性
按照同增异减进行求解.和对数有关的函数，因为要保证真数大于零，所以必须先求函数的定义域.
解：由题意得2kπ<2x<2kπ+，k∈，
∴ kπ∴ y＝（cos 2x）的增区间为，k∈.
3.已知复合函数的单调性，利用余弦函数的单调性，求参数
训练题
已知f（x）＝-8cos在区间上是单调函数，则实数的最大值为　　　　.
五、余弦函数的图像
1.五点法作与余弦函数相关的复合函数的图像
例8 用“五点法”作函数y＝2cos x+1，x∈［0，2π］的简图.
【解】∵ x∈［0，2π］，∴ 令x＝0，，π，，2π.
列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
y 3 1 -1 1 3
描点，连线，得函数y＝2cos x+1，x∈［0，2π］的简图，如图所示.
【点拨】由y＝cos x的图像得到y＝Acos（ωx+φ）的图像时，规律与方法可类比正弦函数，应先令ωx+φ取0，，π，，2π等（k∈Z）类型的值，反解出x的值后再列表、描点、作图.
训练题
作函数y＝cos x-1，x∈［0，2π］的简图.
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x-1 - -1 - -1 -
描点，连线，得函数y＝cos x-1，x∈［0，2π］的简图，如图所示.
2.余弦函数的图像变换
【答案】C
训练题
［浙江卷］把函数y＝cos 2x+1的图像上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单
位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 （　）
A B
　
C D
A
六、余弦函数的对称性
例10 函数y＝的图像与函数y＝的图像 （　　）
A.有相同的对称轴但无相同的对称中心
B.有相同的对称中心但无相同的对称轴
C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴
【解析】由2x-＝k1π+，k1∈Z，可得函数y＝的图像的对称轴为直线x＝+，k1∈Z.
由x-＝k2π，k2∈Z，可得函数y＝的图像的对称轴为直线x＝k2π+，k2∈Z.
当k1＝k2＝0时，二者有相同的对称轴.
由2x-＝k3π，k3∈Z，可得函数y＝的图像的对称中心为点，k3∈Z.
由x-＝k4π+，k4∈Z，可得函数y＝的图像的对称中心为点，k4∈Z.
设+＝k4π+，k3，k4∈Z，解得k3＝2k4+，与k3，k4∈Z矛盾.
故两个函数的图像没有相同的对称中心.故选A.
【答案】　A
【解题技法】
若求函数y＝Acos（ωx+φ）（Aω≠0）的图像的对称中心或对称轴，应将ωx+φ看成一个整体，利用整体代入思想，令ωx+φ等于kπ+或kπ（k∈Z），解出的x的值即对称中心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与x轴的交点的横坐标.
小结
1.余弦函数的图像
图像常用作法：平移法、“五点法”
2.余弦函数的性质
　函数 性质　 y＝cos x
定义域
值域 余弦曲线夹在两条平行线y＝1和y＝-1之间，故值域是［-1，1］
最值 当x＝2kπ（k∈）时，ymax＝1；
当x＝（2k+1）π（k∈）时，ymin＝-1
周期性 周期函数，最小正周期为2π
单调性 在每一个区间［（2k-1）π，2kπ］（k∈）上是增加的；
在每一个区间［2kπ，（2k+1）π］（k∈）上是减少的
奇偶性 偶函数，图像关于y轴对称
图像的对称性 对称轴为直线x＝kπ（k∈），对称中心为点（k∈）
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php