(共17张PPT)
6.3 实 数
第六章 实 数
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 实数的性质和运算
知识要点
1.实数的性质
2.实数的运算
新知导入
想一想：
只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数.
什么是相反数？
什么是绝对值？
数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用︱a︱表示.
什么是倒数？
如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 .
有理数中的几个重要概念:
课程讲授
1
实数的性质
想一想：
(1) 的相反数是______，－π的相反数是______，
0的相反数是______；
(2) _______， |－π| =______， |0|= ______.
π
π
0
0
课程讲授
1
实数的性质
归纳：数a的相反数是－a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示一个实数，
则
|a|=
a，当a>0时；
0，当a=0时；
－a，当a<0时；
(1)分别写出 ， 的相反数；
(2)指出 ， 分别是什么数的相反数；
解：(1)因为 ，
所以 的相反数分别为 ；
(2)因为 ，
所以 分别是 的相反数；
课程讲授
1
实数的性质
例
(3)求 的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
(3)因为 ，
所以 ；
(4)因为 ，
所以绝对值为 的数是 或 .
课程讲授
1
实数的性质
例
课程讲授
1
实数的性质
练一练：
－ 是 的（ ）
A．相反数 B．倒数
C．平方根 D．绝对值
A
课程讲授
2
实数的运算
在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运
算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混
合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先
算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按
照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．
课程讲授
2
实数的运算
计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号，
结果要化为最简形式．
加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律：ab＝ba；
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.
课程讲授
2
实数的运算
计算下列各式的值：
(1) ； (2) .
(1)
(2)
解：
(加法结合律)
(分配律)
例1
课程讲授
2
实数的运算
例2
计算（结果保留小数点后两位）：
解：
课程讲授
2
实数的运算
实数的运算顺序同有理数的运算顺序．实数运算
中，无理数可选取近似值转化为有理数计算，中间结
果所取的近似值要比结果要求的多一位小数．
随堂练习
一、判断
1.实数不是有理数就是无理数.（ ）
2.无理数都是无限不循环小数.（ ）
3.无理数都是无限小数.（ ）
4.带根号的数都是无理数.（ ）
5.无理数一定都带根号.（ ）
6.两个无理数之积不一定是无理数.（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数.（ ）
8.数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ）
×
×
×
随堂练习
2. 的绝对值是（ ）
A.2 B.-2 C.-4 D.4
A
3.计算- -|-3|的结果是 （ ）
A. -1 B. -5 C. 1 D. 5
B
随堂练习
4.计算：
解：
课堂小结
实数
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.
实数的运算(共22张PPT)
6.3 实 数
第六章 实 数
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 实数及其分类
知识要点
1.无理数的概念
2.实数及其分类
3.实数与数轴上的点的关系
新知导入
试一试：使用计算器计算下列内容，试着发现其中规律.
1.4142135624……
1.7320508076……
2.2360679775……
得到的结果是无限不循环小数
课程讲授
1
无理数的概念
问题1： 是怎样的数呢？
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是一个有理数.
我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如：
课程讲授
1
无理数的概念
定义：无限不循环的小数叫做无理数.
不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.
类似地， ，圆周率 等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.
课程讲授
1
无理数的概念
例 判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
解：
有理数是：
无理数是：
课程讲授
1
无理数的概念
无理数的特征:
1．圆周率π及一些含有π的数
2．开方开不尽的数，如： 等
3．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
课程讲授
1
无理数的概念
判定一个数是否为无理数：
(1)是看它是不是无限小数；
(2)看它是不是不循环小数；
(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能.
课程讲授
1
无理数的概念
（中考·荆门）在实数 , ,π, 中，是无理数的是（ ）
A. B.
C．π D.
C
练一练：
课程讲授
2
实数及其分类
定义：有理数和无理数统称为实数.
想一想：
如何为实数进行分类？
按概念分类
按正负性分类
课程讲授
2
实数及其分类
按概念分类：
实数
有理数（有限小数或无限循环小数）
整数
分数
无理数（无限不循环小数）
开方开不尽的数
有规律但不循环的数
课程讲授
2
实数及其分类
按正负性分类：
实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
课程讲授
2
实数及其分类
练一练：
下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、零和负数统称有理数
C．带根号的数和分数统称实数
D．无理数和有理数统称实数
D
1
1
课程讲授
3
实数与数轴上的点的关系
问题1：你能在数轴上找到表示 的点吗？
将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形.
课程讲授
3
实数与数轴上的点的关系
在数轴上找表示 的点
0
1
-1
课程讲授
3
实数与数轴上的点的关系
归纳：数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示.即：实数与数轴上的点一一对应.
课程讲授
3
实数与数轴上的点的关系
例1 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.（用“＜”连接）
提示：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
解：
＜
＜
＜
＜
随堂练习
一、判断
1.实数不是有理数就是无理数.（ ）
2.无理数都是无限不循环小数.（ ）
3.无理数都是无限小数.（ ）
4.带根号的数都是无理数.（ ）
5.无理数一定都带根号.（ ）
6.两个无理数之积不一定是无理数.（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数.（ ）
8.数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ）
×
×
×
随堂练习
2.和数轴上的点一一对应的数是（ ）
A．整数 B．有理数
C．无理数 D．实数
D
随堂练习
3.把下列各数填入相应的大括号内：
－7，0.32， ，3.14，0， ， ，0.101 001 000 1…
(相邻两个1之间0的个数逐次加1)， ， .
有理数：{ …}；
无理数：{ …}；
正实数：{ …}；
实数：{ …}．
随堂练习
有理数：{ …}；
无理数：{
…}；
·
－7，0.32， ，3.14，0，
， ，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)， ， ，
正实数：{
…}；
实数：{
…}．
·
0.32， ，3.14， ， ， 0.101 001 000 1
…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)， ，
－7，0.32， ，3.14，0 ， ， ，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，
， ，
.
课堂小结
实数
无理数
无限不循环的小数叫做无理数.
实数及其分类
按概念分类
按正负性分类
实数与数轴上的点的关系(共21张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
6.2 立方根
第六章 实 数
知识要点
1.立方根
2.用计算器求一个数的立方根
新知导入
试一试：用正方形小木块，试着组成图中的几何图形。
一共使用了多少小木块？
27
课程讲授
1
立方根
问题1：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
解：设这种包装箱的棱长为x m,则
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为
所以x=3. 因此这种包装箱的棱长应为3 m.
课程讲授
1
立方根
定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根．记作 .
a
3
根指数
被开方数
读作:三次根号 a，
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
课程讲授
1
立方根
（1）因为23=8，所以8的立方根是( )
（2）因为( )3=0.064,所以0.064的立方是( )
（4）因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( )
（3）因为( )3 ＝0，所以0的立方根是( )
2
0.8
0.8
0
0
-2
-2
想一想：根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负
数的立方根各有什么特点？
（5）因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）.
课程讲授
1
立方根
问题2：（1）正数有几个立方根？
（2）负数有几个立方根？
（3）0有几个立方根？
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有1, -1, 0；
平方根是它本身的数
只有0.
课程讲授
1
立方根
立方根的性质：
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数，
零的立方根是零.
课程讲授
1
立方根
平方根和立方根性质的对比：
被开方数 平方根 立方根
正数
负数
零
有两个，互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
课程讲授
1
立方根
练一练：
下列说法正确的是（ ）
A．0.8的立方根是0.2
B．负数没有立方根
C．－1的立方根是－1
D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么
这个数必是1或0
C
课程讲授
1
立方根
定义：求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
立方
开立方
互逆
课程讲授
1
立方根
想一想：
因为 =____， =____，
所以 ____ ;
因为 =____， =____，
所以 ____ ;
– 2
– 2
=
– 3
– 3
=
归纳：一般地，
=
课程讲授
1
立方根
例 求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：
(1) ；
(2) ；
(3) .
课程讲授
1
立方根
练一练：
下列各式中，正确的是（ ）
A. ＝±2 B. ＝5
C. D．
B
课程讲授
2
用计算器求一个数的立方根
用计算器求 ，可以按照下面的步骤进行：
依次按键
显示：12.26494081
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如求
，可以依次按键
显示：12.26494081.
1
8
4
5
=
1
8
4
5
=
2nd F
课程讲授
2
用计算器求一个数的立方根
想一想：
用计算器计算…， ， ， ,
，…，你能发现什么规律？用计算器计算
（精确到0.001），并利用你发现的规律
求 ， ， 的近似值.
= 6
= 0.6
= 0.06
= 60
课程讲授
2
用计算器求一个数的立方根
归纳：被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）.
随堂练习
1.判断下列说法是否正确.
（2） 25的平方根是5
（3） -64没有立方根
（4） -4的平方根是±2
（5） 0的平方根和立方根都是0
（1）
的立方根是
×
×
×
×
√
随堂练习
2.如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是（ ）
A．1
B．0或1
C．0或±1
D．任意非负数
B
随堂练习
3.如果 ，那么a与b的关系是( )
A．a＝b B．a＝－b
C．a＝±b D．不能确定
B
4.若x2＝(－5)2， ＝－5，则x＋y的值为（ ）
A．0 B．－10
C．0或－10 D．0或－10或10
C
课堂小结
立方根
立方根的定义
立方根的性质
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零.
用计算器求一个数的立方根(共19张PPT)
6.1 平方根
第六章 实 数
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 平方根
知识要点
1.平方根
新知导入
想一想：
1.什么叫做算术平方根？
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根.
1； ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25；
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
1； ；0；无；3；无.
课程讲授
1
平方根
问题1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
从前面我们知道，这个数可以是3.除了3以外，还有没
有别的数的平方也等于9呢？
由于（-3）2=9，所以这个数也可以是-3.
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3
课程讲授
1
平方根
问题1：填表
x2 1 16 36 49
x
1
6
4
9
课程讲授
1
平方根
定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.这就是说，如果x2= a，那么x叫做a的平方根.
5的平方等于25，所以5叫做25的平方根.
因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3.
课程讲授
1
平方根
平方根的性质：
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
问题2：（1）正数有几个平方根？
（2）0的平方根是多少？
（3）负数有平方根吗？
课程讲授
1
平方根
归纳
平方根的表示方法：
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ,另一个是 ，它们互为相反数.
这两个平方根合起来可以记作
读作“正、负根号a”.
课程讲授
1
平方根
例 求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：
(1)因为62=36，所以 =6；
(2)因为0.92=0.81，所以 ；
(3)因为 ，所以 .
课程讲授
1
平方根
练一练：判断下列说法是否正确.
（2）2是4的平方根；（ ）
（1）49的平方根是7.（ ）
（3）-5是25的平方根；（ ）
（4）64的平方根是±8；（ ）
（5）-16的平方根是-4．（ ）
√
√
×
×
√
课程讲授
1
平方根
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
课程讲授
1
平方根
例 求下列各数的平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.25.
解：
(1)因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10；
(2)因为 ，所以 的平方根是
(3)因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
课程讲授
1
平方根
练一练：
的平方根是（ ）
A．± B.
C．± D.
C
提示：只有非负数才有平方根.同时注意平方根的通用符号是 (a≥0)，防止粗心大意漏掉“ ”而出错.
课程讲授
1
平方根
归纳 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平
方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有
一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，而算术平
方根表示为 .
随堂练习
1.“± ”的意义是（ ）
A．a的平方根
B．a的算术平方根
C．当a≥0时，± 是a的平方根
D．以上均不正确
C
随堂练习
2.下列说法正确的有（ ）
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
随堂练习
3.若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是( )
A．－3 B．－1
C．1 D．－3或1
D
随堂练习
4.计算下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：
(3)因为 ，所以 .
课堂小结
平方根
定义：如果一个数的平方等于a，即x2= a，那么这个数叫做a 的平方根.
性质：（1）正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.（2）0的平方根还是0.（3）负数没有平方根.
开平方及相关运算(共26张PPT)
6.1 平方根
第六章 实 数
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 算术平方根
知识要点
1.算术平方根
2.估算算术平方根
3.用计算器求一个正数的算术平方根
新知导入
试一试：根据所学知识，试着解决下列问题.
学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9 dm2的正方形画布，临摹自己的最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
你一定会算出边长应取3 dm. 说一说，你是怎样算出来的？
因为32=9，所以这个正方形
画布的边长应取3 dm.
课程讲授
1
算术平方根
填表：
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个
正数的问题.
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
课程讲授
1
算术平方根
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
算术平方根的记法：
a（a≥0）的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数.
课程讲授
1
算术平方根
例 求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.000 1.
解：（1）因为102 =100，所以100的算术平方根是10，
即 ；
（2）因为 ，所以 的算术平方根是 ，
即 ；
（3）因为0.012 =0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01.
即 .
课程讲授
1
算术平方根
归纳小结：
(1) 正数的算术平方根是一个正数；
(2) 0的算术平方根是0；
(3) 负数没有算术平方根；
(4) 被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
课程讲授
1
算术平方根
算术平方根 具有双重非负性：
1. 被开方数a是非负数，即a ≥0;
2. 算术平方根 本身是非负数，即
课程讲授
1
算术平方根
练一练：
（中考·济宁）若 ＋ ＋1有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x≤
C．x＝ D．x≠
C
课程讲授
2
估算算术平方根
问题1：
有多大呢？
因为 12 = 1，22=4，所以1< <2;
因为 1. 42 = 1. 96，1. 52=2. 25，所以 1.4< <1.5;
因为 1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，
所以 1.41< <1.42；
因为 1. 4142 = 1. 999 396，1. 4152=2. 002 225，
所以 1.414< <1.415；
……
课程讲授
2
估算算术平方根
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值. 事实
上， =1. 414 213 562 373…，它是一 个无限不循环
小数.
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如
等)都是无限不循环小数.
小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.
课程讲授
2
估算算术平方根
归纳小结：
求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，
一般采用夹逼法．
“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一
点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到
理想的精确程度．
课程讲授
2
估算算术平方根
例 小丽想用一块面积为400cm2的
正方形纸片，沿着边的方向裁出
一块面积为300cm2的长方形纸片，
使它的长宽之比为3∶2.她不知能
否裁得出来，正在发愁.小明见了
说：“别发愁，一定能用一块 面积大的纸片裁出一
块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用
这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
Z
课程讲授
2
估算算术平方根
解：
设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系得
3x 2x=300，
6x2 =300，
x2 =50，
x = .
因此长方形纸片的长为 cm.
课程讲授
2
估算算术平方根
解：
因为50>49，所以 >7.
由上可知 >21，即长方形纸片的长应该大
于21 cm.
因为 =20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方
形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
课程讲授
2
估算算术平方根
练一练：
（中考·天津）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
C
课程讲授
3
用计算器求一个正数的算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).
a
=
按键顺序：
课程讲授
3
用计算器求一个正数的算术平方根
例 用计算器求下列式的值：
（1） ； （2） （精确到0.001）．
解：（1）依次按键
显示结果为56,所以
3
1
3
6
=
课程讲授
3
用计算器求一个正数的算术平方根
解：（2）依次按键
=
2
显示结果为1.414213562，要求精确到0.001，可得
1.414
课程讲授
3
用计算器求一个正数的算术平方根
想一想：(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
… …
… …
归纳小结：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
课程讲授
3
用计算器求一个正数的算术平方根
2
2
1
1
(2)用计算器计算 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现
的规律说出 的近似值,你能根据 的值
说出 是多少吗
随堂练习
（1）9的算术平方根是________;
（2） 的算术平方根是________;
（3）0.01的算术平方根是 ________;
（4）10-6 的算术平方根是________;
1.填一填
（5）(-4)2的算术平方根是________;
（6）10的算术平方根是________.
3
0.1
10-3
4
随堂练习
2.(中考·南京)若
A．1C．2B
随堂练习
3.用计算器计算，若按键顺序为
，则相应的算式是( )
A. ×5－0×5÷2＝ B．( ×5－0×5)÷2＝
C. －0.5÷2＝ D．( －0.5)÷2＝
4
·
5
-
0
·
5
÷
2
=
C
随堂练习
4.若 ＝0，求x2019＋y2020的值．
∵ ≥0， ≥0， ＝0，
∴x－1＝0，y＋1＝0，∴x＝1，y＝－1.
∴x2019＋y2020＝12019＋(－1)2020＝2.
解：
课堂小结
算术平方根
算术平方根
估算算术平方根
用计算器求一个正数的算术平方根
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
双重非负性