(共29张PPT)
章末复习与小结
第二十七章 相似
专题选讲
知识网络
重难突破
课后习题
知识网络
相似图形
相似多边形
相似三角形
相似三角形的判定
相似三角形的性质
应用
位似图形
方法专题13 证明比例式或等积式常用的方法 P124
本章专题索引
专题选讲
方法专题14 巧用相似三角形的判定和性质解决几何
问题 P130
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型一 利用旋转求最值
例 如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于点E，交AD于点F.
求证： = .
AB
BC
AF
CE
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型一 利用旋转求最值
证明：∵∠BAC=90°,
∴∠BAF+∠DAC=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠BAF=∠C.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE,
∴△ABF∽△CBE,
∴ = .
AB
BC
AF
CE
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型一 利用旋转求最值
1.“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法，具体做法有两种：一种是“横定”，即看比例式上面两条线段和下面两条线段能否分别组成三角形；另一种是“竖定”，即看等号左右两边的两条线段能否组成一个三角形.
方法归纳
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型一 利用旋转求最值
2.遇到“三点定形法”无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线，然后再应用“三点定形法”确定相似三角形.
方法归纳
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型一 利用旋转求最值
3.当用“三点定形法”不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用“等比代换法”，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用“三点定形法”来确定三角形.
方法归纳
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型一 利用旋转求最值
4.当用“三点定形法”无法确定三角形，又不能找到相等的线段或相等的比作代换，这时可考虑直接将乘积式换成相等的乘积式.
方法归纳
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型二 等线段代换法
例 如图，在Rt△ABC中有正方形DEFG，点E,F在斜边BC上，点D,G分别在边AB,AC上.
求证：EF2=BE·CF.
【思路提示】利用EF=DE=FG进行等线段代换.
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型二 等线段代换法
即EF2=BE·CF.
证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF=FG,
∠BED=∠CFG=90°，
∴∠B+∠BDE=90°.
∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BDE=∠C，
∴△BDE∽△GCF，
∴ = ，
BE
GF
DE
CF
∴ = ，
BE
EF
EF
CF
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型三 等积（等比）过渡法
例 如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2=DE·PE.
【思路提示】分别证明AE·BE=CE2,AE·BE=DE·PE.
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型三 等积（等比）过渡法
证明:∵PE⊥AB，BG⊥AP，
∴∠AEP=∠DEB=∠PGD=90°.
又∵∠PDG=∠BDE,
∴∠P=∠ABG，
∴△AEP∽△DEB，
∴ = .
AE
DE
PE
BE
即AE·BE=PE·DE.
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CEB=90°，
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型三 等积（等比）过渡法
∴∠CAE+∠ACE=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠CAE=∠BCE，
∴△AEC∽△CEB,
∴ = .
AE
CE
CE
BE
即CE2=AE·BE.
∴CE2=DE·PE.
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型四 作平行线法
例 如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF=BF·CE.
【思路提示】过点C作BA的平行线.
专题选讲—— 证明比例式或等积式常用的方法
类型四 作平行线法
证明:过点C作CM∥AB交DF于点M.
∵CM∥AB，
∴△FMC∽△FDB,
M
∴ = .
CF
BF
CM
BD
∵CM∥AD，
∴△ECM∽△EAD,
∴ = .
CM
AD
CE
AE
∵D为AB的中点,
∴AD=BD,
∴ = .
CF
BF
CE
AE
即AE·CF=BF·CE.
专题选讲—— 巧用相似三角形的判定和性质解决几何问题
类型一 巧用相似三角形的判定和性质解决与特殊四边形有关的问题
例 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A.5
B.7
C.
D.10
B
专题选讲—— 巧用相似三角形的判定和性质解决几何问题
类型一 巧用相似三角形的判定和性质解决与特殊四边形有关的问题
求特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的线段长度或线段的乘积时，常优先考虑特殊四边形的性质与勾股定理.如果还不能解决问题，就需考虑用相似三角形的判定和性质.一般地，已知三条线段的长度，可以用相似三角形的对应边的比相等求未知线段.
方法归纳
类型二 巧用相似三角形的判定和性质解决与圆有关的问题
专题选讲—— 巧用相似三角形的判定和性质解决几何问题
例 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点M，且CM∶BM=3∶2，则DM∶AM=_________.
2:3
类型二 巧用相似三角形的判定和性质解决与圆有关的问题
专题选讲—— 巧用相似三角形的判定和性质解决几何问题
在圆中，利用圆的基本性质更容易寻求两角对应相等，据此可解决圆中的成比例线段问题、线段长度问题.特别地，判定圆中三角形相似时，圆中的基本辅助线仍然适用.
方法归纳
类型三 巧用相似三角形的判定和性质解决与函数有关的问题
专题选讲—— 巧用相似三角形的判定和性质解决几何问题
例 如图，在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC,交AC边于点F，点D为BC上一点，连接DE,DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
D
类型三 巧用相似三角形的判定和性质解决与函数有关的问题
专题选讲—— 巧用相似三角形的判定和性质解决几何问题
相似三角形与函数的综合应用，更多的是运用相似三角形对应边的比相等建立函数模型，遇到求某条线段的最值问题，往往与二次函数的最大值、最小值有关.
方法归纳
重难突破
平行线分线段成比例
1
D
例1 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F，已知 ，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
重难突破
相似三角形的判定和性质
2
例2 （8分）如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
重难突破
相似三角形的判定和性质
2
（1分）
（2分）
（3分）
（4分）
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
又∵DE⊥AB,
∴∠BED=∠ADC=90°,
∴△BDE∽△CAD.
重难突破
相似三角形的判定和性质
2
（2）解:∵AD为BC边上的中线，BC=10,
∴BD=5.
∵AD⊥BC,AB=13,
AC=AB=13.
∵△BDE∽△CAD,
（6分）
（8分）
（7分）
∴ = ，
BD
AC
DE
AD
即
= ，
5
13
DE
12
∴DE= .
60
13
∴AD= =12,
重难突破
相似三角形的应用
3
例3 我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺=10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（ ）
A.12尺
B.56尺5寸
C.57尺5寸
D.62尺5寸
C
重难突破
位似图形
4
C
例4 在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A.（5，1）
B.（4，3）
C.（3，4）
D.（1，5）
课后习题
双休作业：27.1~27.2.2 P128
综合训练：第二十七章 相似 P137
综合检测：第二十七章 相似 P203（活页）(共18张PPT)
27.3 位似
第二十七章 相似
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 用坐标表示位似
知识要点
1.位似图形的坐标变化规律
2.在坐标系中作位似图形
新知导入
试一试：根据所学知识，按要求完成下列内容.
C
A
B
(1)将△ABC放大1倍，得到△A'B'C'
(2)将△ABC缩小1倍，得到△A''B''C''
C''
A''
B''
C'
A'
B'
课程讲授
1
位似图形的坐标变化规律
问题1：在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)． 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化.
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-1
2
-3
4
1
2
3
4
5
y
O
x
A (6，3)
B (6，0)
A' (2，1)
B' (2，0)
A'' (-2，-1)
B'' (-2，0)
课程讲授
1
位似图形的坐标变化规律
问题1：如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A (4，4)，O (0，0)，C (5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
-2
-4
-6
-8
-8
2
-4
6
-2
4
-6
8
-10
2
4
6
8
10
y
O
x
A (4，4)
C (5，0)
A '(8，8)
C' (10，0)
A''(-8，8)
C'' (-10，0)
课程讲授
1
位似图形的坐标变化规律
归纳：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
课程讲授
1
位似图形的坐标变化规律
位似图形的坐标变化规律：
一般地，在平面直角坐标系中，画一个与原图形位似的图形，使它和原图形的相似比为k，那么原图形上的点（x,y），对应位似图形上的点的坐标为_______或__________.
（kx,ky）
（-kx,-ky）
课程讲授
1
位似图形的坐标变化规律
练一练：如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0),以原点O为位似中心，相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )
A.(2,1)
B.(2,0)
C.(3,3)
D.(3,1)
A
课程讲授
2
在坐标系中作位似图形
例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 .
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-1
2
6
4
1
2
3
4
5
y
O
x
A (-2，4)
B(-2，0)
课程讲授
2
在坐标系中作位似图形
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-1
2
6
4
1
2
3
4
5
y
O
x
A (-2，4)
B(-2，0)
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).
A' (-3，6)
B' (-3，0)
顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
课程讲授
2
在坐标系中作位似图形
练一练：如图，在直角坐标系中，作出五边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段比为2∶1，位似中心是坐标原点O.
E1
A1
B1
C1
D1
随堂练习
1.如图，在平面直角坐标中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA′B′，若点A的坐标是（1,2），则点A′的坐标是（ ）
A.(2，4)
B.(-1，-2)
C.(-2，-4)
D.(-2，-1)
C
随堂练习
2.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点 O在坐标原点，边 OA在 x轴上，边OC在 y轴上.如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点 O位似，且矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1:2，那么点 B′的坐标是（ ）
A.（-2，3）
B.（2，-3）
C.（3，-2）或（-2，3）
D.（-2，3）或（2，-3）
D
随堂练习
3.如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（3，4）,C（2，2），以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2∶1，点C1的坐标是（ ）
A.（1，0）
B.（1，1）
C.（-3，2）
D.（0，0）
A
随堂练习
4.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O是位似中心，相似比为1∶ .若点D的坐标为（0，2 ），则点B的坐标是___________.
(2,2)
随堂练习
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B和点B′的坐标分别为B（3,1），B′(6,2).
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A的坐标为（2.5,3），则
点A′的坐标为_________;
②△ABC与△A′B′C′的相似比
为________;
(5,6)
1：2
随堂练习
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积.（用含m的代数式表示）
∴△A′B′C′的面积为4m.
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4.
∵△ABC的面积为m，
课堂小结
在坐标系中作位似图形
用坐标表示位似
位似图形的坐标变化规律
一般地，在平面直角坐标系中，画一个与原图形位似的图形，使它和原图形的相似比为k，那么原图形上的点（x,y），对应位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.
（3）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
（1）根据相似比，计算对应点的坐标；
（2）分别在坐标系中画出上述对应点；(共21张PPT)
27.3 位似
第二十七章 相似
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 位似图形
知识要点
1.位似图形
2.位似图形的画法
新知导入
看一看：观察下图中的过程，试着发现它们的规律。
用放大镜观察图象
新知导入
看一看：观察下图中的过程，试着发现它们的规律。
将图象投影到屏幕上
课程讲授
1
位似图形
如图，如果一个图形上的点A，B，…，P，…和另一个图形上的点A'，B'，…，P'，…分别对应，并且它们的连线AA'，BB'，…，PP'，…都经过同一点O，
那么这两个图形叫做位似图形.
OA'
OA
=
OB
OB'
=…=
OP
OP'
=…
O
A
B
P
A'
B'
P'
课程讲授
1
位似图形
O
A
B
P
A'
B'
P'
点O是位似中心
位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系
归纳：判断两个图形是不是位似图形的关键在于：
①两个图形是相似，②有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点.
课程讲授
1
位似图形
练一练：下列图形中△ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是（ ）
B
课程讲授
2
位似图形的画法
问题1：根据位似图形的定义和特点，试着将下面的图形多小为原来的一半.
A
B
C
D
课程讲授
2
位似图形的画法
A
B
C
D
O
A'
B'
C'
D'
作法：(1) 在四边形外任选一点 O ；
(2)分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D 使得 ；
OA'
OA
=
OB
OB'
= =
OD
OD'
=
OC
OC'
2
1
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
课程讲授
2
位似图形的画法
问题2：如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
OA'
OA
=
OB
OB'
= =
OD
OD'
=
OC
OC'
2
1
A
B
C
D
课程讲授
2
位似图形的画法
A
B
C
D
O
A'
B'
C'
D'
课程讲授
2
位似图形的画法
A
B
C
D
O
A'
B'
C'
D'
课程讲授
2
位似图形的画法
位似图形的画法：
① 确定__________;
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③ 根据________，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
位似中心
相似比
课程讲授
2
位似图形的画法
练一练：下面是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
随堂练习
1.如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A.点P
B.点O
C.点M
D.点N
A
随堂练习
2.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′=2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A.4∶9
B.2∶5
C.2∶3
D.3∶2
A
随堂练习
3.下列说法不正确的是（ ）
A.位似图形一定是相似图形
B.相似图形不一定是位似图形
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
B
随堂练习
4.如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中位似图形共有（ ）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
随堂练习
5.如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′=4，DD′=2，则矩形ABCD的面积为_________.
32
随堂练习
6.如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以点O为位似中心的位似四边形.
(1)沿AO方向放大为原图的2倍;
(2)沿OA方向放大为原图的2倍.
D1
A1
B1
C1
A2
B2
C2
D1
课堂小结
位似图形的画法
位似图形
概念
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形.
（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
（1）确定位似中心;
（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；(共22张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
27.2.3 相似三角形应用举例
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
知识要点
1.测量物高
2.测量距离
新知导入
看一看：观察下图中的建筑，想一想人们如何测量出它们的实际高度。
上海中心大厦建筑主体为119层，总高为632米，结构高度为580米
新知导入
哈利法塔高828米，楼层总数162层
看一看：观察下图中的建筑，想一想人们如何测量出它们的实际高度。
课程讲授
1
测量物高
例 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
课程讲授
1
测量物高
解：太阳光是平行的光线，因此
∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO ∽△DEF.
∴ = ，
BO
OA
EF
FD
∴ = = =134 (m).
BO
OA·EF
FD
201×2
3
因此金字塔的高度为134 m.
课程讲授
1
测量物高
归纳：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
课程讲授
1
测量物高
练一练：如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m，BC=12.4 m，则建筑物CD的高是（ ）
A.9.3 m
B.10.5 m
C.12.4 m
D.14 m
B
课程讲授
2
测量距离
例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过
点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点
R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，
QR = 60 m，请根据这些数据，计算
河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
课程讲授
2
测量距离
P
R
Q
S
b
T
a
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
∴ = ，
PQ
QR
PS
ST
即 =
PQ
PQ+QS
QR
ST
=
PQ
PQ+45
60
90
PQ×90 = (PQ+45)×60.
因此，河宽大约为 90 m.
解得 PQ = 90.
课程讲授
2
测量距离
例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
课程讲授
2
测量距离
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ = ，
EH
AH
EK
CK
∴ = = ，
EH
8-1.6
EH+5
12-1.6
6.4
10.4
解得 EH=8.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
课程讲授
2
测量距离
归纳：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
课程讲授
2
测量距离
练一练：如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB∶AP=2∶5，BC=20 cm,则PQ的长是（ ）
A.45 cm
B.50 cm
C.60 cm
D.80 cm
B
随堂练习
1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为点B，D.若AO=4 m，AB=1.6 m，CO=1 m，则栏杆C端应下降的高度CD为____________m.
0.4
随堂练习
2.如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，则河宽AB=_________m.
100
随堂练习
3.墨子是春秋战国时期墨家学派的创始人，著名思想家、教育家、科学家、军事家.墨子曾和他的学生做过小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示的装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为________cm.
3
随堂练习
4.如图是一位同学设计的用手电筒来测量墙面高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到CD的顶端C处.已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求CD的高度.
随堂练习
∴CD=16米.
解：由题意，得∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴ = ，
AB
BP
CD
DP
即 = ,
4
CD
6
24
答：CD的高度为16米.
随堂练习
5.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C,A共线.
已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.
随堂练习
答：河宽AB为17 m.
解：∵CB⊥AD,ED⊥AD,
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ = ，
BC
AB
DE
AD
∴ = ，
1
AB
1.5
AD+8.5
∴AB=17 m.
课堂小结
相似三角形应用举例
测量物高
测量距离
在同一时刻物高与影长成正比例
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.(共26张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
27.2.2 相似三角形的性质
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
知识要点
1.相似三角形对应线段的比等于相似比
2.相似三角形的周长的比等于相似比
3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方
新知导入
试一试：根据所学知识，按要求完成下列内容.
B′
A′
C′
C
A
B
（1）△ABC和△A′B′C′的相似比是_______
（2）△ABC的面积是_______
△A′B′C′的面积是_______
1:2
3
12
课程讲授
1
相似三角形对应线段的比等于相似比
问题1：如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比是多少？试着证明你的结论.
B
A
C
C′
A′
B′
如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
D
D'
△ABC 和 △A' B' C' 对应高的比是k
课程讲授
1
相似三角形对应线段的比等于相似比
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k，AD 和 A' D'是 △ABC 和 △A' B' C' 的高．
求证：AD 和 A' D'的比是k.
B
A
C
D
C′
A′
B′
D'
证明：∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B' ，
又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形。
∴△ABD ∽△A'B'D'，
∴ = =k
A' D'
AD
AB
A'B'
课程讲授
1
相似三角形对应线段的比等于相似比
问题2：如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，类比对应高的关系，说说它们对应中线、对应角平分线的比是多少？
B
A
C
C′
A′
B′
对应中线、角平分线的比也等于相似比k.
课程讲授
1
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形对应线段的比：
相似三角形对应线段的比等于________.
B
A
C
C′
A′
B′
△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k
相似比
课程讲授
1
相似三角形对应线段的比等于相似比
练一练：若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应角平分线的比为（ ）
A.3∶2
B.3∶5
C.9∶4
D.4∶9
A
课程讲授
2
相似三角形的周长的比等于相似比
问题1：根据相似三角形的特点和已经学习的知识，想一想相似三角形的周长比是多少？
B
A
C
C′
A′
B′
相似三角形的周长比等于相似比k.
课程讲授
2
相似三角形的周长的比等于相似比
问题2：根据所学知识，试着证明你的猜想.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k．
求证：△ABC和△A'B'C'的周长比是k.
B
A
C
C′
A′
B′
证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k，
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
= k
∴AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
∴
∴
AB+BC +CA
A'B'+B'C'+C'A'
=
kA'B'+kB'C'+kC'A'
A'B'+B'C'+C'A'
= k
课程讲授
2
相似三角形的周长的比等于相似比
相似三角形周长的比：
相似三角形周长的比等于________.
B
A
C
C′
A′
B′
△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k
相似比
课程讲授
2
相似三角形的周长的比等于相似比
练一练：若△ABC∽△A′B′C′，且 ，△ABC的周长为15 cm，则△A′B′C′的周长为（ ）
A.18 cm
B.20 cm
C. cm
D. cm
B
课程讲授
3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方
问题1：我们已经知道相似三角形对应的高等于相似比，那么相似三角形的面积比等于多少？
B
A
C
C′
A′
B′
D
D'
3
12
课程讲授
3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方
由前面的结论，我们有
B
A
C
D
C′
A′
B′
D'
S△ABC
S△A'B'C'
=
2
1
2
1
BC ·AD
B'C' ·A'D'
B'C'
BC
=
A'D'
AD
=k·k
=k2
课程讲授
3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方
B
A
C
D
C′
A′
B′
D'
△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k
相似三角形面积的比：
相似三角形面积的比等于____________.
相似比的平方
课程讲授
3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方
例 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
E
D
F
C
A
B
课程讲授
3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
∴
AB
DE
=
AC
DF
=
2
1
又∵∠D＝∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
2
1
面积为（ ）2× =
2
1
课程讲授
3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方
练一练：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A.1∶1
B.1∶3
C.1∶6
D.1∶9
D
随堂练习
1.将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ）
A.9倍
B.3倍
C.81倍
D.18倍
B
随堂练习
2.两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为（ ）
A.14 cm
B.16 cm
C.18 cm
D.30 cm
D
随堂练习
3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A.
B.
C.
D.
D
随堂练习
4.已知△ABC∽△A′B′C′,CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD=4 cm,C′D′=10 cm,AE是△ABC的一条高，AE=4.8 cm,求△A′B′C′中对应高A′E′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，
∴A′E′=12 cm.
= ，
∴
AE
CD
A′E′
C′D′
10
即
4.8
4
= ，
A′E′
随堂练习
5.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC=5 cm,DF=4 cm，求EF和AC的长.
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴ = ，
EF
25
BC
20
∴EF= ×BC= ×5= （cm）.
4
5
4
5
4
25
同理可得
= ，
EF
20
25
DF
∴EF= ×DF= ×4= （cm）.
5
4
5
4
5
16
随堂练习
6.如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2.
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF=6 cm2，求S△CDF的值.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF.
∵AE∶EB=1∶2，
∴AE∶AB=1∶3,
∴AE∶CD=1∶3,
∴△AEF与△CDF的周长比为1∶3.
随堂练习
∴S△CDF=9S△AEF=54 cm2.
6.如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2.
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果S△AEF=6 cm2，求S△CDF的值.
解：（2）∵△CDF∽△AEF,AE∶CD=1∶3,
∴S△AEF∶S△CDF=1∶9,
课堂小结
相似三角形的性质
对应线段的比
相似三角形对应线段的比等于相似比．
周长的比
相似三角形周长的比等于相似比．
面积的比
相似三角形面积的比等于相似比的平方．(共23张PPT)
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 相似三角形的判定定理3
第二十七章 相似
知识要点
1.两角分别相等的两个三角形相似
2.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
新知导入
看一看：观察大家手中的三角板，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
问题1：我们通过观察三角板发现，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角板大小可能不相同，但它们看起来是相似，你能给出一个较为确定的推论吗？
45°
45°
45°
45°
30°
60°
30°
60°
两个对应相等的两个三角形相似
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
问题2：根据所学知识，试着证明你的推论.
B
A
C
C′
A′
B′
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'
求证：△ABC∽△A'B'C'.
E
D
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
E
D
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴ △ADE ≌ △A'B'C，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
相似三角形判定的定理3(利用两角判定三角形相似)：
两角分别______的两个三角形相似．
相等
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
解：∵ ED⊥AB，
∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
AB
AD
AC
AE
=
∴
AB
AD
AC·AE
=
∴
=
10
8×5
=4.
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
归纳：由相似三角形的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
课程讲授
1
两角分别相等的两个三角形相似
练一练：有一个角为30°的两个直角三角形一定( )
A.全等
B.相似
C.既全等又相似
D.无法确定
B
课程讲授
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
问题1：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
B′
A′
C′
C
A
B
相似
课程讲授
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
问题2：根据所学知识，试着证明你的推论.
B′
A′
C′
C
A
B
已知：如图，Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∠C=∠C'=90°，
求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
AB
A'B'
=
C'A'
CA
提示：构已知夹角相等，可以试着证明两条夹角边对应成比例，也可根据已知的一组对边成比例，寻找另一组对边的比例关系，从而证明相似.
课程讲授
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
B′
A′
C′
C
A
B
由勾股定理，得
证明：设 = k ，
AB
A'B'
=
C'A'
CA
则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
BC
B'C'
=
B'C'
=
B'C'
k·B′C′
=
B'C'
=
k
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
∴
∴ Rt△A′B′C′ ∽ Rt△ABC.
课程讲授
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
B′
A′
C′
C
A
B
∠C=∠C'=90°
AB
A'B'
=
C'A'
CA
△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定方法：
斜边和一直角边_______的两个直角三角形相似．
成比例
课程讲授
2
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
练一练：在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A.∠B=∠B1
B.
C.
D.
D
随堂练习
1.下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A
随堂练习
2.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
C
随堂练习
3.如图，在△ABC中,D为AB边上一点，且∠BCD=∠A,已知BC= ,AB=3，则BD=__________.
3
8
随堂练习
是
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AB=15 cm,BC=8 cm，另一个Rt△DEF中，∠D=90°,EF= cm,DE=6 cm,则△ABC与△DEF______（填“是”或“不是”）相似的两个三角形.
4
45
随堂练习
5.如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为________时，△ACB与△ADC相似.
4
随堂练习
6.如图，AB∥DE，AC∥DF，点B,E,C,F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.
∴△ABC∽△DEF.
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∠ACB=∠F，
AC∥DF，
随堂练习
7.已知，AB是半圆的直径，AC,BC分别与半圆相交于点E,D，BE与AD相交于点F，求证：EF·BF=AF·DF.
证明：由题意，得∠AEF=∠BDF.
又∵∠AFE=∠BFD，
∴△AEF∽△BDF，
即EF·BF=AF·DF.
∴ = ,
AF
EF
BF
DF
课堂小结
直角三角形相似的判定
两角分别相等的两个三角形相似．
两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
相似三角形的判定
判定定理3
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似．(共24张PPT)
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 相似三角形的判定定理1,2
第二十七章 相似
知识要点
1.三边成比例的两个三角形相似
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容。
图中全等的三角形有哪些？
①
③
⑤
④
②
①和③
你的判断依据是什么？
三条边对应相等的两个三角形全等
课程讲授
1
三边成比例的两个三角形相似
问题1：我们学习过判定三角形全等的SSS方法，能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
画 △ABC 和 △A′B′C′，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？
B
A
C
C′
A′
B′
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
课程讲授
1
三边成比例的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1
三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
B
A
C
C′
A′
B′
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明：在线段 A'B '(或延长线) 上截取 A'D=AB，过点 D 作 DE∥B'C' ，交A'C'于点 E.
E
D
B'C'
A'D
A'B'
DE
=
=
A'C'
A'E
∴
又∵
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'D'
CD
，A'D=AB，
课程讲授
1
三边成比例的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
E
D
∴
B'C'
DE
=
B'C'
BC
A'C'
A'E
=
A'C'
AC
∴ DE=BC，A'E=AC.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1
三边成比例的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
相似三角形判定的定理1(利用三边判定三角形相似)：
三边_______的两个三角形相似．
成比例
课程讲授
例 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
AB =4cm， BC =6cm， AC＝8cm，
A'B' =12cm， B'C' =18cm， A'C'＝24cm，；
1
三边成比例的两个三角形相似
解：∵
AB
A'B'
=
4
12
=
1
3
BC
B'C'
=
6
18
=
1
3
AC
A'C'
=
8
24
=
1
3
B'C'
AB
A'B'
BC
=
=
C'A'
CA
∴
∴△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1
三边成比例的两个三角形相似
练一练：有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1， ， ，乙三角形木框的三边长分别为5， ， ，则甲、乙两个三角形（ ）
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断
A
课程讲授
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
问题1：我们学习过判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，夹角的两边边长都是原来三角形边长的k倍，度量这两个三角形的另外的两个角，它们分别相等吗？
B
A
C
C′
A′
B′
∠B=∠B'，∠C=∠C'，
∠A=∠A'
课程讲授
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
∠A=∠A'
AB
A'B'
=
C'A'
CA
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'
AB
A'B'
=
C'A'
CA
求证：△ABC∽△A'B'C'.
B
A
C
C′
A′
B′
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
E
D
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
课程讲授
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
E
D
∴
A'C'
A'E
=
A'B'
A'D
∵ A′D=AB，
AB
A'B'
=
C'A'
CA
∴
A'B'
A'D
=
A'C'
A'E
=
C'A'
CA
又∵ ∠A′ = ∠A.
∴ A′E = AC .
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
课程讲授
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
B
A
C
C′
A′
B′
相似三角形判定的定理2(利用两边和夹角判定三角形相似)：
两边_______且夹角______的两个三角形相似．
成比例
相等
课程讲授
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
例 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
AB
A'B'
=
7
3
AC
A'C'
=
14
6
=
7
3
A'C'
AB
A'B'
AC
=
∴
又∵ ∠A′ = ∠A.
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
课程讲授
2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A.
B.
C.
D.
C
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A.2 cm,3 cm
B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm
D.6 cm,7 cm
C
随堂练习
2.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
B
随堂练习
3.在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
D
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=25，BC=40，AC=20；在△ADE中，AE=12，AD=15，DE=24.试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
解：相似.
理由如下：
∵ = = ，
AC
20
5
AE
12
3
= = ，
AB
25
5
AD
15
3
= = ，
BC
40
5
DE
24
3
∴△ABC∽△ADE.
∴ = = ，
AC
AE
AB
AD
BC
DE
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE.
（1）求证：△ADE∽△ABC;
∴△ADE∽△ABC.
证明：∵AD·AC=AB·AE，
在△ADE与△ABC 中，
∴ = .
AD
AE
AB
AC
∵ = ,
AD
AE
AB
AC
∠A=∠A，
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE.
（2）若∠A=45°,∠C=95°，求∠ADE的度数.
∴∠ADE=40°.
解：∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B.
∵∠A=45°，∠C=95°,
∴∠B=180°-∠A-∠C
=40°,
课堂小结
相似三角形的判定
判定定理1
判定定理2
三边成比例的两个三角形相似．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．(共26张PPT)
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 平行线分线段成比例
第二十七章 相似
知识要点
1.相似三角形的有关概念
2.平行线分线段成比例及其推论
3.相似三角形判定的预备定理
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
相似三角形的有关概念
问题1：相似多边形中，最简单的就是相似三角形，试着根据相似多边形的定义，归纳出相似三角形的定义.
A
B
C
A1
B1
C1
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
B1C1
AB
A1B1
BC
=
=
C1D1
CD
课程讲授
1
相似三角形的有关概念
A
B
C
A1
B1
C1
定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形相似.
在△ABC和△A1B1C1中，
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
B1C1
AB
A1B1
BC
=
=
C1D1
CD
=k
则△ABC∽△A1B1C1
课程讲授
1
相似三角形的有关概念
练一练：如图，△ABC∽△AED,∠AED=∠B,那么下列比例式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
A
课程讲授
2
平行线分线段成比例及其推论
问题1：如图，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2都相交的平行线l3，l4，l5，分别度量l3，l4，l5在l1截得的两条线段AB，BC和在l2截得的两条线段DE，EF的长度， 与 相等吗？
AB
BC
DE
EF
l2
l1
l4
l3
l5
A
B
C
D
E
F
AB
BC
DE
EF
=
课程讲授
2
平行线分线段成比例及其推论
问题2：如图，任意平移l5， 与 相等吗？
AB
BC
DE
EF
l2
l1
l4
l3
l5
A
B
C
D
E
F
AB
BC
DE
EF
=
课程讲授
2
平行线分线段成比例及其推论
归纳： 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段______.
成比例
课程讲授
2
平行线分线段成比例及其推论
l1
l2
l4
l3
l5
A
D
B
E
C
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现以下两种情况：
把l4看成平行△ABC的边BC的直线
课程讲授
2
平行线分线段成比例及其推论
l1
l2
l4
l3
l5
A
B
C
D
E
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现以下两种情况：
把l3看成平行△ABC的边BC的直线
课程讲授
2
平行线分线段成比例及其推论
归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段______.
成比例
课程讲授
2
平行线分线段成比例及其推论
练一练：如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
A
课程讲授
3
相似三角形判定的预备定理
问题1：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
B
C
A
D
E
∠A=∠A，∠B=∠D，∠C=∠E
课程讲授
3
相似三角形判定的预备定理
问题2：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
CA
AD
DE
EA
AB
BC
=
=
课程讲授
3
相似三角形判定的预备定理
问题3：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
B
C
A
D
E
△ADE∽△ABC
平行移动DE的位置，结论还成立
D'
E'
△AD'E'∽△ABC
△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
我们发现:
课程讲授
3
相似三角形判定的预备定理
问题3：试着运用所学知识证明你的结论.
B
C
A
D
E
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∵ DE∥BC，
过点D作DF∥AC，交BC于点F.
再证明两个三角形的边成比例，
F
∵ DE∥BC，DF∥AC，
AC
AD
AE
AB
=
BF
BC
=
AC
AE
∴
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC，
∴
BC
AD
AE
DE
AB
AC
=
=
∴△ADE∽△ABC
课程讲授
3
相似三角形判定的预备定理
相似三角形判定的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形______.
相似
课程讲授
3
相似三角形判定的预备定理
练一练：如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,若BD=2AD，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
B
随堂练习
1.已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2,则R1与R2的关系是( )
A.R1=R2
B.R1R2=-1
C.R1+R2=0
D.R1R2=1
D
随堂练习
2.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于( )
A.3∶2
B.3∶1
C.1∶1
D.1∶2
B
随堂练习
3.如图，在△ABC中，DE∥BC， ，则 =_____.
=
AB
AD
1
3
1
3
AC
AE
随堂练习
4.如图，AB∥DE，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC=_______.
2
随堂练习
5.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.已知 = ，求 的值.
AC
3
AB
1
DE
EF
解：∵l1∥l2∥l3，
∴ = = ,
AC
AB
DF
DE
3
1
∴ =2.
DE
EF
随堂练习
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，
求证：△ADE∽△DCF.
∴△ADE∽△DCF.
证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB.
∵DF∥AB，
∴△DCF∽△ACB.
课堂小结
平行线分线段成比例
相似三角形
三个角对应相等，三条边对应成比例的三角形相似
平行线分线段成比例及其推论
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例(共19张PPT)
27.1 图形的相似
第二十七章 相似
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 成比例线段和相似多边形
知识要点
1.成比例线段
2.相似多边形及其性质
新知导入
试一试：根据下列要求，在下图中画出图形并比较。
（1）连接点AB、A1B1、CD和C1D1；
A
B
A1
B1
C
D
C1
D1
（2）比较AB：CD和A1B1：C1D1；
AB：CD
A1B1：C1D1
=
课程讲授
1
成比例线段
问题1：测量下图中四条线段的长度，试着发现它们之间的规律。
d
a
b
c
3
2
4
6
我们发现：
d
a
b
c
=
课程讲授
1
成比例线段
d
a
b
c
3
2
4
6
定义：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等.如 （即ad=bc），我们就说这四条线段成比例.
d
a
b
c
=
课程讲授
1
成比例线段
练一练：已知 （a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A.
B.2a=3b
C.
D.3a=2b
A
课程讲授
2
相似多边形及其性质
问题1：如图，两个大小不相等的四边形ABCD与四边形A1B1C1D1.已知四边形ABCD放大得到四边形A1B1C1D1.
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
测量两个多边形的各对应角和对应边，你能发现什么规律？
课程讲授
2
相似多边形及其性质
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
我们发现：
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，
B1C1
AB
A1B1
BC
=
=
=
C1D1
CD
DA
D1A1
课程讲授
2
相似多边形及其性质
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.
课程讲授
2
相似多边形及其性质
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
根据相似多边形的定义我们可以知道：(相似多边形的性质)
相似多边形的对应角______，对应边_______.
相等
成比例
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，
B1C1
AB
A1B1
BC
=
=
=
C1D1
CD
DA
D1A1
课程讲授
2
相似多边形及其性质
例 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
课程讲授
2
相似多边形及其性质
解：因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应角相等．
由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
在四边形ABCD中，
因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，
由此可得
EH
AD
＝
EF
AB
即
18
x
21
24
＝
x ＝ 28 cm.
解得
课程讲授
2
相似多边形及其性质
练一练：两个相似多边形一组对应边分别为3 cm,4.5 cm，那么它们的相似比为( )
A.
B.
C.
D.
A
随堂练习
1.下列各组线段是成比例线段的是（ ）
A.2 cm,5 cm,6 cm,8 cm
B.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
C.3 cm,6 cm,7 cm,9 cm
D.3 cm,6 cm,9 cm,18 cm
D
随堂练习
2.若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且相似比为1∶2，已知BC=8，则B1C1的长为( )
A.4
B.16
C.24
D.48
B
随堂练习
3.某城区地图的比例尺是1∶40000，若某条道路长约为5 cm，则它的实际长度约为（ ）
A.0.2 km B.2 km
C.20 km D.200 km
4.一个多边形的各边长为2,3,4,5,6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
B
B
随堂练习
5.已知线段a=0.3 m，b=60 cm，c=12 dm.
（1）线段a与线段b的比为________;
（2）如果线段a,b,c,d成比例，那么线段d的长为________cm.
1∶2
240
6.如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________.
甲和丙
随堂练习
7.如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数及x的值.
解：由题意，得
∠A=∠A′=107°，
= ,
AB
A′B′
A′D′
AD
即
= ，
5
2
4
x
解得x= .
5
8
课堂小结
成比例线段和相似多边形
成比例线段
相似多边形及其性质
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，我们就说这四条线段成比例.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似多边形对应边的比叫做相似比.(共16张PPT)
27.1 图形的相似
第二十七章 相似
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 图形的相似
知识要点
1.图形的相似
新知导入
看一看：观察并对比下图中图形，试着发现它们的规律。
新知导入
看一看：观察并对比下图中图形，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
图形的相似
问题1：根据下面各组图形的特点，试着发现它们之间的相同点和不同点。
课程讲授
1
图形的相似
问题1：根据下面各组图形的特点，试着发现它们之间的相同点和不同点。
相似图形
相似图形
相似图形
相似图形
大小不相同
相同点：
不同点：
形状相同
定义：形状相同的图形叫做相似图形.
课程讲授
1
图形的相似
问题1：根据下面各组图形的变化特点，试着发现相似图形之间的变化规律。
课程讲授
1
图形的相似
归纳：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形_____或_____得到.
放大
缩小
课程讲授
1
图形的相似
想一想：
如图，一个小女孩儿从平面镜和哈哈镜里面看到自己的形象，这些镜中的形象相似吗？
不相似
课程讲授
1
图形的相似
练一练：下列物体中，形状不一定相同的是( )
A.足球和乒乓球
B.两个长方体木块
C.两个正方体木块
D.两个等边三角形
B
随堂练习
1.2019年武汉军运会的吉祥物叫“兵兵”（如图），它是以被誉为“水中大熊猫”和“水中活化石”的中国一级重点野生保护动物中华鲟为原型设计的.下列图形中与左图相似的是（ ）
D
随堂练习
2.下列图形中必是相似图形的是( )
A.两个等腰三角形
B.两个正方形
C.两个不同行政区图
D.不同型号的两个手机图案
B
随堂练习
3.将左图中的箭头缩小到原来的 ，得到的图形是( )
2
1
A
随堂练习
4.同一张底片印出来的不同尺寸的照片______相似图形,放大镜下的图形和原来的图形______相似图形，哈哈镜中的图形和原来的图形______相似图形.(填“是”或“不是”)
是
不是
是
5.下列图形中，_______与_______相似.
(4)
(1)
随堂练习
6.观察下列图形，可知与A相似的有________，与B相似的有________，与C相似的有________.
④
⑦
⑧
课堂小结
图形的相似
定义
相似图形的变化
形状相同的图形叫做相似图形.
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
