高 二 数 学
2013年1月
注意事项:
1. 本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
第I卷 （填空题）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案
直接填写在答题卡的相应位置上.
1. 命题:＂R ,使得＂的否定是 ▲ ．
2. 抛物线的准线方程为 ▲ ．
3. 若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为 ▲ ．
4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ▲ ．
5. 已知双曲线的右焦点到右准线的距离等于焦距的,则离心率为 ▲ ．
6．圆与圆的位置关系为 ▲ ．
7. 函数的减区间为 ▲ ．
8. 过点向圆引切线，则切线长为 ▲ ．
9. 圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程为 ▲ ．
10. 已知为两条不同直线，为两个不同平面.给出下列命题：
①若∥,,则∥； ②若∥,则；
③若且，则∥； ④若∥,则∥.
其中正确命题的序号为 ▲ （请写出所有你认为正确命题的序号）．
11.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则类比得到的结论是 ▲ ．
12. 若直线与有两个不同的交点，则实数的取值范围为 ▲ .
13.设曲线上动点处的切线与轴、轴分别交于两点，则
△面积的最大值为 ▲ ．
14.已知e是自然对数的底，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ▲ .
第II卷（解答题）
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分)
已知, ,若是的必要不充分条件,
求实数的取值范围.
16. （本小题满分14分)
（1）若，证明：
（2）某高级中学共有2013名学生, 他们毕业于10所不同的初级中学,证明:该高级中学至少有202名学生毕业于同一所初级中学.
17．（本小题满分14分)
棱长为a的正方体中，为面的中心.
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积；
（3）线段上是否存在点(不与点重合)，使得∥面？如果存在，请确定P点位置，如果不存在，请说明理由．
18.（本小题满分16分)
如果函数在处取得极值，则点称为函数的一个极值点．
已知函数(R)的一个极值点恰为坐标系原点, 且在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数在上的值域.
19. （本小题满分16分)
如图, 有一块半径为R的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心, A, B在圆的直径上，C,D, E在圆周上.
（1）设,征地面积记为,求的表达式;
（2）当为何值时,征地面积最大?
20．（本小题满分16分)
椭圆的焦点在轴上,中心是坐标原点,且与椭圆的离心率相同,长轴长是长轴长的一半. 为上一点, 交于点, 关于轴的对称点为点, 过作的两条互相垂直的动弦,分别交于两点,如图.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）求点坐标;
（3）求证:三点共线.
高二数学Ⅱ（理科附加题）
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷共有4个小题，每小题10分，共40分．考试用时30分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．
4．如需作图，须用铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
[必做题] 第21、22、23、24题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
21．（本小题满分10分）
求函数在点处的切线方程；
22．（本小题满分10分）
已知为曲线上一动点，点，求线段的中点的轨迹方程．
23．（本小题满分10分）
已知函数.若时,恒成立，求正整数的最大值．
24．（本小题满分10分）
已知n为自然数，请比较与的大小,并证明你的结论.
高二数学期末检测答案及评分标准
一、填空题（每题5分）
1. R , 2. 3. 4. 5. 6．相交
7. （填也对） 8. 9. 10. ②③
11. 12. 13. 14. ∪
二、解答题
15. 解： 的真值集合为,……3分
的真值集合为,……6分
由是的必要不充分条件，是的必要不充分条件，……9分
是的真子集……11分 ，解得m≥2. ……14分
【说明】本题考查命题和简易逻辑、不等式的解法、集合运算；考查转化思想.
16. 证明：（1）由得，,……1分
要证 ，只要证，……3分
只要证，即，……4分
只要证①，……6分
由，从而①式成立，故原不等式成立.……8分
（2）假设该高级中学的学生中，毕业于同一所初级中学的学生数都不超过201人，…10分
则总人数，……12分 与共有2013名学生矛盾！……13分
故假设不成立，即原命题成立.……14分
【说明】本题分析法和反证法的证明书写步骤.
17．证明（1）正方体中，,,.……1分
,,
,……2分 ,,……3分
,……4分 ,,
……5分
（2）为正方形的中心，∥面,……6分
点到平面的距离等于点到平面的距离， ……7分
.……9分
（3）假设线段上是否存在点(不与点重合)，使得∥面， ……10分
∥
∥,……12分 又∥，
∥，又，矛盾！……13分
故假设不成立，线段上不存在除A点外的点，使得∥面.……14分
【说明】本题平行和垂直的判定证明；考察锥体体积求法；考查反证法；考查逻辑推理能力.
18.解：（1）,……2分 由.……3分
.……4分 ,……5分
,……6分 可得.
.……8分
（2）.……9分
令或,∴函数在内递增，……11分
令, ∴函数在内递减，……13分
∴,……14分 .……15分
∴函数在该区间值域是.……16分
【说明】本题考查导数的运算和应用；考查运算能力.
19. 解：（1）连接,可得；.……4分
∴.……8分
（2）.……10分
令 ∴（舍）或者 ∵,……12分
∴当,,,,……14分
时,取得最大. ……15分 答:时,征地面积最大. ……16分
【说明】本题考查导数的应用;考查函数思想;考查阅读理解能力和建模能力;考查运算能力以及运用数学解决问题的能力.
20．解：（1）由椭圆标准方程可得：长轴长是，离心率是.……2分
∴椭圆,……3分
椭圆的标准方程：.……4分
（2）设,第一象限点,∴.……6分
（3）当∥轴，轴时，.
, 三点共线. ……7分
当直线存在斜率时，可设,
由.……9分
得……10分 ,……11分
，……12分
同理,以替换上式中的，得，……14分
.……15分
故，即三点共线 . 综上：三点共线. ……16分
【说明】本题考查椭圆方程的求法、两直线的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题的处理方法；考查整体思想；考查运算能力.
理 科 附 加 题
21．解：，……4分
，……8分
方程为，即,……10分
22．解：设，由中点坐标公式得,……3分
点在曲线上，
，……7分
化简得：.……10分
23．解：当时,不等式为,即,满足此不等式的最大正整数为3.
下面证明满足题意，即有，……4分
，上式可化为，……5分
，解得，……7分
易知当时，；当时，，……8分
在上递减，在上递增，
,……9分
，即对于恒成立.
综上，正整数的最大值为3.……10分
24．解：当时，；……1分
当时，计算可得；……4分
当时, .……5分
下面用数学归纳法证明:当时，有.
①当时，已证.……6分
②假设当时，满足，……7分
则当时，
,……8分
，,
. ……9分
即当时，有成立.
综合①②，当时，有.……10分
