高 一 数 学
2013年1月
注意事项:
1. 本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
第I卷 （填空题）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案
直接填写在答题卡的相应位置上.
1. 设全集 ▲ ．
2. 已知幂函数的图像过点，则= ▲ ．
3. 求值： ▲ ．
4. 设，则 ▲ ．
5. 已知扇形的周长是8cm，圆心角是rad，则该扇形的面积是 ▲ ．
6. 函数的定义域为 ▲ ．
7. 把函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的
解析式= ▲ ．
8. 计算：= ▲ ．
9. 函数在上的减区间为 ▲ ．
10. 已知，则= ▲ ．
11. 比较大小: ▲ （用“<”或“>”连接）．
12. 请在括号内填写一个整数，使得等式成立，这个整数是 ▲ ．
13. 方程的所有根的和为 ▲ ．
14. 已知函数，若,则= ▲ ．
第II卷（解答题）
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知在直角坐标系中，角的始边为x轴正半轴，已知均为锐角，且角和的终边与单位圆交点横坐标分别为和.
（1）求的值；
（2）求角终边与单位圆交点的纵坐标.
16. (本小题满分14分)
已知函数.
（1）解不等式；
（2）当时,求的值域.
17. (本小题满分14分)
已知函数.
（1）判断函数的单调性，并求函数的值域；
（2）证明方程在上必有一根.
18. (本小题满分16分)
如图,四个小朋友在草坪上游戏,根据游戏规则,三人围成一个三角形, 三人共线,在两人之间.两人相距20 m，两人相距m，与垂直.
（1）当时，求看两人视角的最大值；
（2）当在某位置时，此时看视角是看视角的2倍,求的取值范围.
19. (本小题满分16分)
已知,R,函数.
（1）求函数的奇偶性;
（2）是否存在常数,使得对任意实数,恒成立;如果存在,求出所有这样的;如果不存在,请说明理由.
20．(本小题满分16分)
已知R，函数.
（1）设,把函数表示为关于的函数,
求表达式和定义域；
（2）对任意，函数恒成立，求的取值范围.
高一数学期末检测答案及评分标准
一、填空题（每题5分）
1. 2. 3. 4. 2 5.4cm2
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 12
二、解答题
15. 解：（1）由题意可得分 4分
分
7分
（2）9分
11分
=13分
=14分
【说明】本题来源于必修四第112页第4题改编.考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系、和差角公式；考查角的变换能力.
16.解：（1）分
令.
由，可得 或, ……4分
,……5分 或.……6分
不等式的解集是.……7分
（2）, ……8分 ,……9分
,……11分 ,……13分
的值域是.……14分
【说明】本题考查对数的运算、对数函数的性质、简单的对数不等式；考查一元二次不等式解法、二次函数性质；考查换元法和整体思想.
17. 解：（1）内是增函数，也是增函数， ……2分
在内是增函数.……3分
,……4分
，……5分
函数的值域是.……6分
（2）设，……8分
由，……10分
，……12分 ，……13分 方程在必有一根.……14分
【说明】考查函数单调性的判断和应用；考查零点判定；考查数据估算能力.
18. 解：（1）设[注:如果讨论不扣分]
, ，……2分
当，即时， 此时．
．……4分
当，即时，……5分
=
.……6分
综上：时,最大视角是．……8分
（2）,……10分
,
,……13分
时， ,……15分 .……16分
【说明】本题根据必修四课本改编.考查两角和与差公式；考查分类讨论思想；考查阅读理解能力、建模能力、数学化能力、运算能力和应用数学解决问题的能力.
19. (法一)解：（1）定义域是R ,……1分
……2分
,……4分
∴函数是偶函数.……5分
（2）,
,……7分
移项得：，……9分 展开得：,……12分
对于任意实数上式恒成立，只有.……14分
,……15分 ∴.……16分
(法二) ……3分
.……5分
定义域是R,……6分
∵,……9分
∴该函数在定义域内是偶函数.……10分
（2）由恒成立,
∴ ,
∴,……12分
化简可得：对于任意实数上式恒成立，……13分
只有,……14分
,……15分 ∴.……13分
【说明】本题来源于必修四课本第121页例3.考查三角变形公式和函数奇偶性的判定；考查恒成立问题.本题也可用特殊与一般思想探求出.
20. 解：（1）∵,……2分
.……3分
∵.……4分
∴,……6分 定义域：,……7分
（2），,……9分
∵函数恒成立，∴ 恒成立 ,
得：,……11分
,……12分 ,……13分
设, ∵,……14分
∴函数在上是递减函数,……15分 .……16分
【说明】本题考查考查同角正弦函数和余弦函数的基本关系、函数单调性的证明和应用；考查恒成立问题的处理方法；考查整体思想和换元法；考查运算变形能力．
