上海市徐汇区2013年中考一模（即期末）数学试题

2012学年第一学期徐汇区初三年级数学学科
期终学习能力诊断卷　 2013、1　　　　
（时间100分钟 满分150分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．在中，，，，那么等于…………（　　）
Ａ．； Ｂ．．； Ｃ．； Ｄ．．
2．将抛物线沿轴向上平移1个单位后所得抛物线的解析式是 …………（　　）
Ａ．； Ｂ．； Ｃ．； Ｄ．．
3．坡比等于1∶的斜坡的坡角等于 ………………………………………………（　　）
Ａ．； Ｂ．； Ｃ．； Ｄ．．
4．关于二次函数的图像，下列说法正确的是…………………………（ ）．
Ａ．开口向下； Ｂ．最低点是；
Ｃ．对称轴是直线； Ｄ．对称轴的右侧部分是上升的．
5．如图1，相交于点，下列条件中能判定∥的是 …………（　　）
Ａ．； Ｂ．；
Ｃ．； Ｄ．．
6．如图2，在中，，垂足为，那么下列结论中错误的
是………………………………………………………………………………………（　　）
Ａ．； Ｂ．；
Ｃ．； Ｄ．．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： ▲ ．
8．计算： ▲ ．
9．抛物线与轴的交点坐标是 ▲ ．
10．如果两个相似三角形对应角平分线的比是，那么它们对应高的比是 ▲ ．
11．如图3，已知∥∥，，，那么 ▲ ．
12．点是线段上一点，，点分别是线段的中点，那么
等于 ▲ ．
13．抛物线过和两点 ，那么该抛物线的对称轴是 ▲ ．
14．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角
为，那么= ．
15．小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得旗杆在同一地
面的影长为12米，那么旗杆高为 __ ▲ 米．
16．抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且，，那么的值是 ▲ ．
17．两个等腰直角三角形和的位置如图4所示，
点和点分别在一直线上，，
，，点分别是、
的重心，联结，那么 ▲ ．
18．在中，，，，点是斜边AB的中点，把绕点旋转，使得点落在射线上，点落在点．那么的长是_____▲________．
三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；
满分78分）
19．（本题满分10分）
抛物线经过点、两点．
（1）求抛物线顶点的坐标； （5分）
（2）抛物线与轴的另一交点为，求的面积． （5分）
20.（本题满分10分）
如图5，在中，点是边的中点，，.
（1）求的长； （5分）
（2）设，=，求向量（用向量、表示）. （5分）
21.（本题满分10分）
如图6，在中，平分交于点，过点作∥交于
点.
（1）求证：； （5分）
（2）如果，，，求的长. （5分）
22.（本题满分10分）
如图7，小岛正好在深水港口的东南方向，一艘集装箱货船从港口出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，分钟后在处测得小岛在它的南偏东方向，求小岛离开深水港口的距离.（精确到千米）
参考数据：，，，，.
23.（本题满分12分）
“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究.得出结论：如图8，在中，的对边分别是，如果，那么.
下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.
已知：如图9，在中，,.
求证：.
证明：如图9，延长到，使得.
∴，
∵，
∴，∵，
∴，又
∴∽
∴，即
∴
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图8，在中，.
求证：.
24.（本题满分12分）
抛物线与轴正半轴交于点,与轴分别交于点和点，
且.
（1）求抛物线的解析式； （6分）
（2）点是轴上一点，当和相似时，求点的坐标. （6分）
25.（本题满分14分）
梯形中，∥，，，，，
点是边的中点，点是边上的动点.
（1）如图10，求梯形的周长； （4分）
（2）如图11，联结，设，（＜＜），求关于的关系式及定义域； （4分）
（3）如果直线与直线交于点，当时，求的长. （6分）

2012学年第一学期徐汇区初三年级数学学科
期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C； 2．B； 3．A； 4．D； 5．D； 6．B．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．（或）；
13．直线； 14．； 15．； 16．或； 17．（或）； 18．．
三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19. 解：（1）由题意，得………………………………………（1分）
解得………………………………………………………（1分）
∴………………………………………………（1分）
∴……………………………………………………………（2分）
（2）由题意，得，解得；
∴ …………………………………………………………（2分）
又、
∴ …………………………………………（3分）
20．解：（1）∵点是边的中点，，∴（1分）
∴，………………………………（1分）
∴，又．∴∽……………（1分）
∴，即，∴ …………………（2分）
（2）∵点是边的中点，∴…………………（2分）
∴ ．…………………………………（3分）
21．（1）证明：∵平分，∴．……………………（1分）
∵DE∥BC ，∴ ……………………………（1分）
∴．∴ ……………………………（1分）
∵DE∥BC ，∴ ……………………………………（1分）
∴，∴ ………………………（1分）
（2）解：设中边上的高为．
∴，…………………………………（2分）
∵DE∥BC，∴． ………………………………………（1分）
∴，∴． …………………………………………（2分）
22．解： 由题意，得． ……………………………………（2分）
【方法一】过点作，垂足为．……………………………………（1分）
在中，，
∴， ……（2分）
在中，， …（1分）
∴ …………………………………………（2分）
∴≈．…（2分）
【方法二】过点作，交延长线于． ………………………（1分）
在中，，
设，∴． ………………………（2分）
∵ ……………（1分）
∴，∴ ，得 ……………………（2分）
∴ …………………（2分）
答：小岛离开深水港口的距离是千米．
23．证明： 延长到，使得.……………………………………（2分）
∴，……………………………………………………（2分）
∵，………………………………（2分）
∵，∴，又
∴∽ …………………………………………………（2分）
∴，即………………………………………（2分）
∴………………………………………………………（2分）
24．解：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线，……………………………（1分）
∵点和点关于直线对称，点，∴………（1分）
∵，∴…………………………（1分）
∵点在轴正半轴上，∴ ………………………………（1分）
∴ ………………………………………………（2分）
（2）由题意，可得，， …………………（1分）
∵，∴，又
∴∽ ，∴ ………………………（1分）
∴和相似时，分下列两种情况：
当时，得，∴，
∴，∴．………………………（2分）
当时，得，∴，
∴，∴．………………（2分）
综合，当和相似时或．
25．解：（1）过点作∥，交于点．………………………………（1分）
∴，∵，
∴，∴
∵∥，∴四边形是平行四边形；
∴，，∴
在中，，∴，
∴ ………………………（1分）
∴ …………………………（1分）
∴．…………………………………（1分）
（2）过点作，垂足为．∴，…（1分）
∴，∴，
∴，∴，
∵点是边的中点，∴，
∴ ；…………………………………………………………（2分）
定义域是＜＜ ．…………………………………………………（1分）
（3）分别延长交于点 ，联结．
∵，∴，；
∴．
直线与直线交于点，当时，分两种情况：
当点在的延长线上时，
∵，∴；∵，
∴，∴；
∵，∴；∴，
∴；∴.…（3分）
当点在的延长线上时，
∵，，∴，
∴，∴，∴.…（3分）
综合、 ，当时，或．