上海市嘉定区2013年中考一模（即期末）数学试题

2012学年嘉定区九年级第一次质量调研
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 对于线段、，如果，那么下列四个选项一定正确的是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）.
2. 如图1，在直角坐标平面内有一点,那么射线与轴正半轴的
夹角的余弦值是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）.
3. 已知抛物线如图2所示，那么、的取值范围是（▲）
（A），； （B），；
（C），； （D），.
4.下列四个命题中，真命题的个数为（▲）
①面积相等的两个直角三角形相似；
②周长相等的两个直角三角形相似；
③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
（A）； （B）； （C）； （D）.
5．正多边形的一个内角的度数不可能是（▲）
（A）； （B）； （C）； （D）.
6. 已知⊙的半径长为，若⊙（与不重合）上的点满足，则下列位置关系中，⊙与⊙不可能存在的位置关系是（▲）
(A)相交； （B）内切； （C）外切； （D）外离.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如图3，在△ABC中，∥，与边相交于点，与边
相交于点，如果，，，那么的长为 ▲ .
8. 已知，，且与反向，如果用向量表示向量，那么= ▲ ．
9. 如图4，飞机在目标的正上方米处.如果飞行员测得目标的俯角
为，那么地面目标、之间的距离为 ▲ 米（结果保留根号）.
10.如果二次函数的图像经过原点，那么的值为 ▲ ．
11.二次函数的图像在轴左侧的部分是 ▲ 的.（从“上升”或“下降”中选择）．
12.二次函数图像的对称轴是直线 ▲ ．
13.把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是 ▲ ．
14.已知⊙的半径长为，点满足，那么过点的直线与⊙
不可能存在的位置关系是 ▲ （从“相交”、“相切”、“相离”中选择）.
15.正六边形的边心距与半径长的比值为 ▲ ．
16.对于平面图形，如果存在一个圆，使图形上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形被这个圆“覆盖”．例如图5中的三角形被一个圆“覆盖”.如果边长为的正六边形被一个半径长为的圆“覆盖”，那么的取值范围为 ▲ ．
17.如图6，已知⊙与⊙相交于点、，，，⊙的半径长为，那么⊙的半径长为 ▲ ．
18.如图7，弧所在的⊙的半径长为，正三角形的顶点、分别在半径、上，点在弧上，.如果，那么这个正三角形的边长为 ▲ ．
三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）
计算：.
20.（本题满分10分）
如图8，已知△ABC中，，，矩形
的边在△ABC的边上，顶点、分别在
边、上，设的长为，矩形的面积为.
求关于的函数关系式，并写出这个函数的定义域.
21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图9，已知点、分别在△ABC的边和上，∥，，四边形的面积等于.
（1）求△ABC的面积；
（2）如果向量，向量，请用、表示向量.
22.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点到球心的长度为厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为.
（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差；
（2）联结，求的余切值.
23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：点是的边的一个动点（如图11），过点作，垂足为，点在边上（点与点不重合），且满足，联结、.
（1）当平分时，求证：；
（2）若，.当时，求的长.
24．（本题满分12分，每小题满分4分）
在平面直角坐标系中（图12），已知抛物线（）经过、两点，顶点为.
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线沿轴向上平移（）个单位，所得新抛物线与轴的交点记为点.当△ACD是等腰三角形时，求点的坐标；
（3）若点在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点的坐标.
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）
已知点、、是半径长为的半圆上的三个点，其中点是弧的中点（如图13），联结、，点、分别在弦、上，且满足，联结、.
（1）求证：；
（2）联结，当时，求的度数；
（3）若，当点在弦上运动时，四边形的面积是否变化？若变化，请简述理由；若不变化，请求出四边形的面积.
2012学年嘉定区九年级第一次质量调研
数学试卷答案要点与评分标准
说 明：
1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果学生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2.第一、二大题若无特殊说明，每题评分只有满分或零分；答案若为分数，需要化成最简分数.
3.第三大题中各题右端所注分数，表示学生正确解答到这一步应得分数；
4.评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因学生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果学生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题解答的实质，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
5.评分时，给分或扣分均以1分为基本单位.
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.C； 2.C； 3.B； 4.C； 5.A； 6.D.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.（或者）； 8.； 9.； 10.；
11.下降； 12.； 13.（4,2）； 14.相离；
15.； 16.； 17.； 18..
三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19.解：=…………（6分）
.……………………………（2+1+1）分
20.解：过点作，交于，交于（如图8）.…………（1分）
∵四边形，在边上，
∴∥.…………………………………………………………………（1分）
得 △ADG∽△ABC.………………………………………………………（1分）
∵∥，，∴.
∴.……………………………………………………………（1分）
在△ABC中，∵，，，∴.
.…………………………………（1分）
∵，，∴∥.
又∥， ∴.∴.…（1分）
由，，得
.………………………………………………………………（1分）
解得 .……………………………… ……………………（1分）
∴.………………………………………（1分）
定义域为.…………………………………………………………（1分）
21.解：（1）∵∥，∴△ADE∽△ABC.∴.………（1+1分）
∵，∴. ∴.…………………………（1分）
又∵，∴.解得 .………………（1分）
∴.………………………………………………………（1分）
（2）∵向量，向量，∴向量.…………………（1分）
∵∥，∴.………………………………………………（1分）
∵，∴.………………………… … ……………（1分）
∴ 向量.………………… ……… ……………（2分）

22.解：（1）过点作，垂足为点. ……………（1分）
小球在最高位置和最低位置时的高度差就是的长.
根据题意，可知.………………（1分）
在中，∵，
∴. …… （2分）
∴.…………………………（2分）
（2）联结.…………………………………………………（1分）
在中，.…………（1分）
∴.……………（2分）
23.解：（1）∵，，
∴，.………………………………（1分）
∵平分，∴.
∵，∴. …… …………（1分）
又∵，∴△DCF∽△FCB. ………………（1分）
∴.………………………………………………（2分）
∵，∴. …………………………（1分）
（2）在中，由，，
易得，，，.………………………（1分）
过点作，垂足为（如图11-2）.
在Rt△BCH中，.………………………（1分）
.
设（备注：也可以设），
在Rt△BDE中，，.
由，可得. …………………（1分）
由，易得，
又，∴.
方法1：∴.………………………………………（1分）
∵，，
∴. …………………………………（1分）
解得.即.………………………（1分）
方法2：∴△HCF∽△EFD. …………………（1分）
∴.
将，，，代入上式，得
. ……………………………………………………………………（1分）
解得 .即.………………………………………………………（1分）
24.解：（1）由抛物线经过，，
得……………………………………………………………（1分）
解这个方程组，得 ……………………………………………………（1分）
因此，所求的抛物线的表达式为.…………………………………（1分）
由，易得顶点的坐标为（，）.…………（1分）
（2）因为点是将抛物线沿轴向上
平移（）个单位所得新抛物线与轴的交点.
所以，点必定在点的上方（如图12-1），
得 .………………………………（1分）
∵△ACD是等腰三角形，∴.………………（1分）
在Rt△AOC中，，，由勾股定理可得
.
∴，.……（1分）
∴点的坐标为（，）.………………………（1分）
（3）因为点在抛物线的对称轴上，故
可设点的坐标为（，）.
由题意知：，.
过点作，垂足为.
∵，.
∴.
∵，，
，∴△≌△.
∴，.
当点在第二象限时（如图12-2），
，，.
故而可得点的坐标为（，）.……（1分）
备注：若点在第一象限，其坐标也是（，），下同.
∵点（，）恰好在上，∴.
整理，得 .解得 ，（舍去）.
故可得点（，）.……………………………（1分）
当点在第三象限时（如图12-3），
，，.
由此可得点的坐标为（，）……（1分）
∵（，）在抛物线上，
∴ .
整理，得 ，解得（舍去），.
故而可知（，）. ………（1分）

25.解：（1）方法1：联结、、（如图13-1），易得.
在⊙中，∵，∴.…………………… ……（1分）
∵，，，∴△AOB≌△AOC.
∴. ………………………………………………（1分）
又 ∵，∴.
∴.
∵，，，
∴△AOD≌△COE.…………………………………………（1分）
∴. ……………………………………………………（1分）
方法2：在⊙中，∵，∴. …………………（1分）
过点分别作，，垂足分别为、（如图13-2），
∵，，∴，.
由 易得 ，.……………………（1分）
∵，，∴，即 .
∵，，，
∴△ODM≌△OEN. ……………………………………………………（1分）
∴. ……………………………………………………………（1分）
（2）如图13-3，在△BOC中，由，，得
，.
∴. ∴. ………（1+1分）
∵，是圆心，
∴. ………………………………（1分）
∵△AOD≌△COE，∴.………………………………………（1分）
∴.……………（1分）
若使用锐角三角比或其他方法，请参照评分.
（3）当点在弦上运动时，四边形的面积不变.理由如下：…………（1分）
∵，
∴，……………（1分）
又∵，∴△AOC是等边三角形.
∴.…………………………………………（1分）
由（1）中的△AOD≌△COE，可知.
∴.……（1分）
过点作，垂足为，易得，
∴. …………………（1分）