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2022年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷（专家版一）
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量90分钟，满分100分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={ 1，0，1，2}，B={1，2，3}，则（ ）
A．{1，2} B．{ 1，0，3} C．{1，3} D．{ 1，0，1，2，3}
2．下列命题中，为全称量词命题的是（ ）
A．有一个实数x，使 B．，
C．至少有一个，使 D．，
3．下列结论不一定成立的是（ ）
A．若．则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，A=45°，B=60°，则b=（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
9．已知甲袋子中装有红、黄、蓝3个小球，乙袋子中装有标有字母a，b，c，d的4个小球，设事件A=“从甲袋子中任取一个球，取到的是黄球”，B=“从乙袋子中任取一个球，取到
的是标有字母d的小球”，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，添加一个条件，使直线AC⊥平面BDD1B1，则这个添加的条件可以是（ ）
A．ABCD为平行四边形 B．ABCD为菱形
C．ABCD为矩形 D．ABCD为梯形
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．一个盒子中装有4张分别标有数字1，2，3，4的卡片，从盒子中随机取一张卡片，观察卡片的数字，则该试验的样本空间Ω=________．
12．已知函数为奇函数，且时，，则________．
13．已知i为虚数单位，复数，则________．
14．已知向量a=（1， 2），b=（2， 1）的夹角为，则________．
15．某校高二共有男生500人，女生400人，为了了解这些学生的身高情况，现用分层抽样的方法从中任意抽取一个容量为9人的样本，并得到样本中男生的平均身高为170cm，女生的平均身高为165.5cm，则可以估计高二学生身高的平均数约为________cm．
三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分10分）
已知i为虚数单位，复数，（a，），用表示复数z的共轭复数，且．
（1）求a，b的值；
（2）若角的终边经过点（a，b），求的值．
17．（本小题满分10分）
为了庆祝中国共产党建党100周年，某单位选派甲、乙两人参加一个党史知识竞赛．比
赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对则为本单位得1分，答错或不答都得0分，最后得分多的单位为胜．为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后，答题情况如下表：
甲 乙
练习题目个数 200 200
正确个数 180 190
若比赛中每人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率。
（1）估计甲、乙两人在比赛时答对题的概率；
（2）设事件A=“该单位某轮比赛得1分”，求．
18．（本小题满分10分）
如图，将一块半径为x（）的半圆形薄铁皮，卷成一个圆锥形的容器．
（1）用x表示圆锥形容器的底面半径和容积；
（2）求的最小值和最大值．
19．（本小题满分10分）
已知二次函数的图象经过点A（ 2，5），且的零点为 1，3．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，比较与的大小；
（3）若在上恒成立，求实数k的取值范围．2022年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷（专家版一）
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A D C A C B
二、填空题
11．{1，2，3，4} 12． 2 13．2 14．
15．168
三、解答题
16．【解析】（1）因为z=1 2i，所以=1+2i， 2分
又，所以a+bi=1+2i，故a=1，b=2； 5分
（2）因为， 7分
所以． 10分
17．【解析】（1）由题中表格数据，可以估计甲在比赛时答对题的概率为，
乙在比赛时答对题的概率；（只答对一个给3分） 5分
（2）因为“该单位某轮比赛得1分”等价于“甲得0分且乙得1分，或甲得1分且乙得0分”，所以． 10分
18．【解析】（1）因为，所以； 2分
又因为圆锥形容器的高，
所以； 5分
（2）因为为增函数，且， 6分
所以当x=1时，圆锥形容器的容积最小，最小值为， 8分
当x=2时，圆锥形容器的容积最大，最大值为． 10分
19．【解析】（1）由已知，可设，
因为的图象经过点A（ 2，5），所以，即5a=5，所以a=1，
所以； 3分
（2）因为，所以在（1，）上为增函数，又，
所以，所以； 6分
（3）在上恒成立等价于在上的最小值大于或等于0，
当，即时，在上为减函数，
所以，即或，
所以； 7分
当，即时，在上为减函数，在上为增函数，
所以，此时，不恒成立； 8分
当时，在上为增函数，所以，
即或，所以， 9分
综上所述，实数k的取值范围为或． 10分
说明：解答题如有其它解法，酌情给分．
