2021-2022学年 北师大版2019必修2 第六章立体几何初步 单元测试卷（word版含答案解析）

2021-2022学年 必修2 第六章立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)
1.已知点都在球的球面上，， 是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
2.如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（ ）
A.15 B.18 C.30 D.90
3.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.在空间四边形ABCD中，若，，则有( )
A.平面平面ADC B.平面平面ADB
C.平面平面DBC D.平面平面DBC
5.已知m，n为异面直线，平面，平面，直线l满足，，，，则( )
A.且 B.且
C.与相交，且交线与l垂直 D.与相交，且交线与l平行
6.在长方体中，P为BD上任意一点，则一定有( )
A.与异面 B.与垂直
C.与平面相交 D.与平面平行
7.给出下列说法：
①若直线l平行于平面内的无数条直线，则；
②若直线a在平面外，则；
③若直线，直线平面，则；
④若直线，直线平面，则直线a平行于平面内的无数条直线.
其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.在底面为正三角形的三棱柱中，，，该三棱柱的体积的最大值为( )
A.3 B. C.6 D.
二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)
9.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.如果，，，那么
B.如果，，那么
C.如果，，，那么
D.如果，，，那么
10.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则( )
A.长方体的表面积为20
B.长方体的体积为6
C.沿长方体的表面从A到的最短距离为
D.沿长方体的表面从A到的最短距离为
三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分)
11.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的表面积为_______________.
12.如图，平面平面ABD，，，是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为_____________.
13.已知a和b是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是_____________.
14.过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且AB，AC，AD两两夹角都为，若，则该球的体积为______.
15.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________.
四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分)
16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，.
（1）证明：为直角三角形；
（2）若，E是PC的中点，且二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
17.如图所示，平面平面ABC，平面平面ABC，平面PBC，E为垂足.
（1）求证：平面ABC；
（2）当E为的垂心时，求证：是直角三角形.
18.如图所示，已知ABCD为梯形，，，M为线段PC上一点.
（1）设平面平面，证明：.
（2）在棱PC上是否存在点M，使得平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，点M在棱PD上.
（1）求证：平面PAB；
（2）若平面MAC，求的值.
参考答案
1.答案：B
解析：由题设，若是的中点，则是△的中心，连接，如下图示：
由题设知：，，又，则面，
而面，即面面，
过作面，则必在直线上，易知：为与平面所成角的平面角，又与平面所成角的正弦值为，，可得.
过作交于，易知：，
而，即，又，故为的中点，，
∴，即是球心，故球的半径为1，∴球的表面积为.
2.答案：D
解析：长方形体积=
3.答案：A
解析：设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，则的面积.由三棱柱的体积为可得，故.设三棱柱外接球的半径为R，则，故该三棱柱外接球的表面积为.
4.答案：D
解析：，，，平面DBC.
又平面ADC，平面平面DBC.
5.答案：D
解析：若，则由平面，平面，可得，
这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.
设，过空间内一点P，作，，m'与n'相交，m'与n'确定的平面为.
因为，，所以，，所以.
因为，，所以，，
所以，，所以.
又因为，，所以l与a不重合.所以.
6.答案：D
解析：如图所示，对于A选项，连接AC，，当P为BD的中点时，平面，则直线与相交，A选项错误.对于B选项，在中，过点作的垂线交于点T，沿长交AC于点P，此时与垂直.唯一确定，点P的位置唯一确定，不为BD上任意一点，与题干矛盾，B选项错误.对于C选项，当点P为BD的中点时，设与交于点O，则O为的中点，连接，AO，在长方体中，且，则四边形为平行四边形，且.，P分别为，AC的中点，且，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面，C选项错误.对于D选项，在长方体中，且，则四边形为平行四边形，.平面，平面，平面，同理可证平面.，平面平面.平面，平面，D选项正确.故选D.
7.答案：A
解析：对于①，虽然直线l与平面内的无数条直线平行，但l可能在平面内，所以l不一定平行于，所以错误；对于②，因为直线a在平面外，包括两种情况：和a与相交，所以a和不一定平行，所以错误；对于③，因为直线，，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，所以a不一定平行于平面，所以错误；对于④，因为，，所以或，所以a与平面内的无数条直线平行，所以正确.综上，正确说法的个数为1.
8.答案：D
解析：设三棱柱的高为h，当三棱柱为直三棱柱时，其体积最大，则h的最大值为3，所以该三棱柱的体积的最大值.故选D.
9.答案：ABC
解析：如果，，，那么由面面垂直的判定定理可得，故A正确；如果，，那么由面面平行的性质及线面平行的判定定理可得，故B正确；如果，，，那么由线面平行的性质定理可得，故C正确；如果，，，那么平面，平行或相交，故D错误.故选ABC.
10.答案：BC
解析：长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，在长方体中，设，，.求表面上两点间最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D错误.故选BC.
11.答案：
解析：如图，取AB中点O，连接OD.在中，由，，，得，则.又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，则.在中，，，，则.，平面ACD，得.则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为.故答案为.
12.答案：6
解析：，O为AB的中点，.又平面平面ABD，且交线为AB，平面ABD.平面ABD，，为直角三角形.图中的直角三角形有，，，，，，共6个.
13.答案：平行
解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面.设，则，且.，.又，根据面面平行的判定定理可得.
14.答案：
解析：
15.答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
16.答案：（1）见解析
（2）时，三棱锥的体积为；当时，三棱锥的体积为
解析：（1）因为四边形ABCD是菱形，，
所以，
取AB的中点M，连接DM，PM，易知，
因为，所以，
因为，所以平面PDM，
又平面PDM，所以.
取BC的中点N，连接DN，PN，同理得，
又，所以平面ABCD，
又平面ABCD，所以，故为直角三角形.
（2）由（1）可知，直线DM，DC，DP两两垂直，故可以D为坐标原点，DM，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，，，，
因为E是PC的中点，所以，
则，，，
设平面PAB的法向量为，
则得令，则.
设平面ABE的法向量为，
则得令，则，
所以.
令，则，解得或，
所以或，所以或.
连接AC，因为，，
所以.
当时，三棱锥的体积为；当时，三棱锥的体积为.
17.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）在平面ABC内取一点D，过点D作于点F，于点G.
平面平面ABC，且平面平面，
平面PAC.
又平面PAC，.同理可证.
，平面ABC.
（2）连接BE并延长，交PC于点H.
是的垂心，.
又平面PBC，平面PBC，
.
又，平面ABE.
平面ABE，.
又平面ABC，平面ABC，
.
又，平面PAC.
平面PAC，，即是直角三角形.
18.答案：（1）见解析
（2）存在点M，使得平面MBD，此时，理由见解析
解析：（1）因为，平面PDC，平面PDC，
所以平面PDC.又因为平面平面，且平面PAB，所以.
（2）存在点M，使得平面MBD，
此时.理由如下：
连接AC交BD于点O，连接MO.
因为，所以.
又，所以.
又因为，，
所以.又因为平面MBD，平面MBD，
所以平面MBD.
19.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），平面PAB，平面PAB，
平面PAB.
（2）连接BD交AC于点O，连接MO.
平面MAC，且平面PBD，平面平面，
，，
.
，易得，则，.