2021-2022学年人教B版2019必修4 第九章 三角函数 单元测试卷（word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教B版2019必修4 第九章 三角函数 单元测试卷（word版含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 808.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-05 11:09:18 | ||
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文档简介
2021-2022学年必修4 第九章 三角函数 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)
1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.在中，内角的对边分别为，若，
．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为( )
A. B. C. D.
3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为，则( )
A. B. C. D.
4.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得，则A，C两地的距离为( )
A. B.10 km C. D.
6.已知的内角A，B，C满足，且，则下列结论正确的是( )
A.， B.， C.， D.，
7.在中，（a，b，c分别为内角A，B，C的对边），则的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
8.在中，内角A，B，C所对的边分別是a，b，c.若，，则的面积是( )
A.3 B. C. D.
二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)
9.在中，角的对边分别为，则下列结论成立的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )
A.若，则
B.若，则一定为等腰三角形
C.若，则一定为直角三角形
D.若，，且该三角形有两解，则边AC的范围是
三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分)
11.已知的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为________.
12.已知的面积等于1.若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______________.
13.是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且，，则______________，_____________.
14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则的取值范围为___________.
15.在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则_____________.
四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分)
16.从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）若且，求的值；
（2）若D是线段AC上的一点，，________________，求BD的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.在中，分别是内角的对边，满足．
（1）求
（2）若，求的周长的最大值．
18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AB上一点，.
（1）若CD平分，求a；
（2）若，，求c.
19.在中，内角所对的边分别为，边长均为正整数，且．
（1）若角为钝角，求的面积；
（2）若，求．
参考答案
1.答案：C
解析：因为，所以，所以.又因为，所以，所以，所以，当且仅当，即，或，时，等号成立，故的最小值为.故选C.
2.答案：A
解析：由正弦正理可知：
，
根据余弦定理得，
，
；
由余弦定理得，
或 (舍)，
设内切圆半径、外接圆半径，三角形周长分别为：，
根据正弦定理得，，
又，
∴﹒
其中与内切圆半径有关的三角形面积公式证明如下：
内切圆圆心为，半径为将分为三部分，
∴，
其中为三角形周长﹒
故选：A﹒
3.答案：C
解析：已知的面积为，又，所以，整理可得.根据余弦定理可知，所以.因为，所以.故选C.
4.答案：B
解析：因为，角A的平分线交BC于点D，所以.又，所以.因为，所以，.因为，所以，解得.在中，由正弦定理得，即，所以.因为，所以.又因为，，所以，所以为锐角，所以.故选B.
5.答案：D
解析：在中，，，，由余弦定理得，所以.故选D.
6.答案：D
解析：，，可得，由正弦定理得，.又，，，可得，由于A，B为锐角，可得.故选D.
7.答案：B
解析：，，，即，整理得，为直角三角形.故选B.
8.答案：C
解析：由，可得.由及余弦定理可知，，..故选C.
9.答案：ABC
解析：对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），所以，故选项A正确；
对于B：因为在上单调递减，且，所以，故选项B正确；
对于C：因为，由正弦定理化边为角可得，
又因为，所以，所以，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，所以或，故选项D错误．
故选：ABC．
10.答案：AC
解析：由正弦定理及大边对大角可知A正确；由可得或，则是等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，又，则.因为，所以，所以，因为，所以，故C正确；D结合及画圆弧法可知，只有时满足条件，故D错误.故选AC.
11.答案：
解析：设三角形的三边长分别为，a，，最大角为，
由余弦定理得，
则，所以三边长为6，10，14
的面积为.
12.答案：
解析：如图，记的内角，，所对的三边分别为a，b，c，其上的高分别为，，，则的面积.所以，，，则，则当三角形的三条高的乘积最大时，取得最大值.设外接圆的半径为R，圆心为点O，由正弦定理得，过点O作于M.因为，所以.又因为，所以.在中，，所以，即，则，解得，则，所以当三角形的三条高的乘积取最大值时，.故当三角形的三条高的乘积取最大值时，.
13.答案：2；
解析：如图所示，在等边三角形ABC中，，所以.在中，，，由余弦定理得，即，解得，则.由正弦定理得，即，解得.
14.答案：
解析：，，，由余弦定理得，，，由正弦定理，可得.
15.答案：
解析：因为，且与面积之比为，所以AD为的平分线，，且.设，，.由余弦定理，得，解得.所以，，故.因为，且，故，.又，所以.
16.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）在中，由及，
得，
所以，
由正弦定理得，
又，所以.
（2）方案一：选条件①.
由及，得，.
设，，，则，，
所以，，
所以，.
因为，，所以，所以，
由余弦定理得，得，.
由得，
得，即.
方案二：选条件②.
由及，得，.
设，，，
因为，所以，
所以，
又，所以，（负值舍去），
所以，，
所以，.
因为，，所以，所以，
由余弦定理得，得，，
由得，
得，即.
方案三：选条件③.
由及，得，.
由，得线段BD平分且.
由得，
设，则.
由三角形内角平分线的性质可得，即.
由余弦定理得，即，
得，，代入，得，即.
17.答案：（1）
（2）
解析： （1）∵
由正弦定理，得，
又，所以，又，
则；
（2）由余弦定理，得，
因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长的最大值为.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，，
所以，，
所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
在中，，，
所以由余弦定理得，，
即，得，
因为，所以.
19.答案：（1）；
（2）6
解析：（1）由角为钝角，则，即；
又∵，即，且，，因此或符合题意．
故，则，
因此的面积为．
（2）由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
∴，由，得，
又，即，则．
∵，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)
1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.在中，内角的对边分别为，若，
．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为( )
A. B. C. D.
3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为，则( )
A. B. C. D.
4.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得，则A，C两地的距离为( )
A. B.10 km C. D.
6.已知的内角A，B，C满足，且，则下列结论正确的是( )
A.， B.， C.， D.，
7.在中，（a，b，c分别为内角A，B，C的对边），则的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
8.在中，内角A，B，C所对的边分別是a，b，c.若，，则的面积是( )
A.3 B. C. D.
二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)
9.在中，角的对边分别为，则下列结论成立的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )
A.若，则
B.若，则一定为等腰三角形
C.若，则一定为直角三角形
D.若，，且该三角形有两解，则边AC的范围是
三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分)
11.已知的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为________.
12.已知的面积等于1.若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______________.
13.是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且，，则______________，_____________.
14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则的取值范围为___________.
15.在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则_____________.
四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分)
16.从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）若且，求的值；
（2）若D是线段AC上的一点，，________________，求BD的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.在中，分别是内角的对边，满足．
（1）求
（2）若，求的周长的最大值．
18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AB上一点，.
（1）若CD平分，求a；
（2）若，，求c.
19.在中，内角所对的边分别为，边长均为正整数，且．
（1）若角为钝角，求的面积；
（2）若，求．
参考答案
1.答案：C
解析：因为，所以，所以.又因为，所以，所以，所以，当且仅当，即，或，时，等号成立，故的最小值为.故选C.
2.答案：A
解析：由正弦正理可知：
，
根据余弦定理得，
，
；
由余弦定理得，
或 (舍)，
设内切圆半径、外接圆半径，三角形周长分别为：，
根据正弦定理得，，
又，
∴﹒
其中与内切圆半径有关的三角形面积公式证明如下：
内切圆圆心为，半径为将分为三部分，
∴，
其中为三角形周长﹒
故选：A﹒
3.答案：C
解析：已知的面积为，又，所以，整理可得.根据余弦定理可知，所以.因为，所以.故选C.
4.答案：B
解析：因为，角A的平分线交BC于点D，所以.又，所以.因为，所以，.因为，所以，解得.在中，由正弦定理得，即，所以.因为，所以.又因为，，所以，所以为锐角，所以.故选B.
5.答案：D
解析：在中，，，，由余弦定理得，所以.故选D.
6.答案：D
解析：，，可得，由正弦定理得，.又，，，可得，由于A，B为锐角，可得.故选D.
7.答案：B
解析：，，，即，整理得，为直角三角形.故选B.
8.答案：C
解析：由，可得.由及余弦定理可知，，..故选C.
9.答案：ABC
解析：对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），所以，故选项A正确；
对于B：因为在上单调递减，且，所以，故选项B正确；
对于C：因为，由正弦定理化边为角可得，
又因为，所以，所以，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，所以或，故选项D错误．
故选：ABC．
10.答案：AC
解析：由正弦定理及大边对大角可知A正确；由可得或，则是等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，又，则.因为，所以，所以，因为，所以，故C正确；D结合及画圆弧法可知，只有时满足条件，故D错误.故选AC.
11.答案：
解析：设三角形的三边长分别为，a，，最大角为，
由余弦定理得，
则，所以三边长为6，10，14
的面积为.
12.答案：
解析：如图，记的内角，，所对的三边分别为a，b，c，其上的高分别为，，，则的面积.所以，，，则，则当三角形的三条高的乘积最大时，取得最大值.设外接圆的半径为R，圆心为点O，由正弦定理得，过点O作于M.因为，所以.又因为，所以.在中，，所以，即，则，解得，则，所以当三角形的三条高的乘积取最大值时，.故当三角形的三条高的乘积取最大值时，.
13.答案：2；
解析：如图所示，在等边三角形ABC中，，所以.在中，，，由余弦定理得，即，解得，则.由正弦定理得，即，解得.
14.答案：
解析：，，，由余弦定理得，，，由正弦定理，可得.
15.答案：
解析：因为，且与面积之比为，所以AD为的平分线，，且.设，，.由余弦定理，得，解得.所以，，故.因为，且，故，.又，所以.
16.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）在中，由及，
得，
所以，
由正弦定理得，
又，所以.
（2）方案一：选条件①.
由及，得，.
设，，，则，，
所以，，
所以，.
因为，，所以，所以，
由余弦定理得，得，.
由得，
得，即.
方案二：选条件②.
由及，得，.
设，，，
因为，所以，
所以，
又，所以，（负值舍去），
所以，，
所以，.
因为，，所以，所以，
由余弦定理得，得，，
由得，
得，即.
方案三：选条件③.
由及，得，.
由，得线段BD平分且.
由得，
设，则.
由三角形内角平分线的性质可得，即.
由余弦定理得，即，
得，，代入，得，即.
17.答案：（1）
（2）
解析： （1）∵
由正弦定理，得，
又，所以，又，
则；
（2）由余弦定理，得，
因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长的最大值为.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，，
所以，，
所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
在中，，，
所以由余弦定理得，，
即，得，
因为，所以.
19.答案：（1）；
（2）6
解析：（1）由角为钝角，则，即；
又∵，即，且，，因此或符合题意．
故，则，
因此的面积为．
（2）由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
∴，由，得，
又，即，则．
∵，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．