北京市西城区2013届高三上学期期末考试 数学理科试题（附解析）

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【 解析】，所以，即，选D.
2．在复平面内，复数的对应点位于（ ）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
【答案】B
【 解析】,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B.
3．在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【 解析】先将极坐标化成直角坐标表示， 转化为点，即，过点且平行于轴的直线为，在化为极坐标 为，选A.
4．执行如图所示的程序框图．若输出， 则框图中
① 处可以填入（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【 解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，此时，所以条件应为，选C.
5．已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【 解析】若，则为奇函数。若为奇函数，则有，即，所以是为奇函数的充分必要条件，选C.
6．已知是正数，且满足．那么的取值范围是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【 解析】原不等式组等价为，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，，表示区域内的动点到原点距离的平方，由图象可知当在D点时，最大，此时，原点到直线的距离最小，即，所以，即的取值范围是，选B.
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【 解析】由三视图可知该四面体为,其中,,,.所以六条棱中，最大的为或者.,所以，此时。,所以，所以棱长最大的为，选C.
8．将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【 解析】将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；；；；；；；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 已知向量，，.若向量与向量共线，则实数 _____．
【答案】
【 解析】，因为向量与向量共线，所以，解得。
10．如图，△中，，，．以为直径的圆交于点，则 ；______．
【答案】，
【 解析】因为，所以，又为直径，所以。所以，即。，所以。
11．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______．
【答案】6
【 解析】设公比为，因为，所以，则，所以，又，即，所以。
12．已知椭圆 的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则△的面积是______．
【答案】
【 解析】由椭圆的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形为直角三角形，所以△的面积。
13．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
【答案】，
【 解析】若，则，，此时，即的值域是。
若，则，。因为当或时，，所以要使的值域是，则有，即，所以，即的取值范围是。
14．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是______．
【答案】①③．
【 解析】由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，即，所以，恒成立。所以①具有性质P. ②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是①③。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△中，已知．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，
为棱的中点．
（Ⅰ）求证：// 平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
17．（本小题满分13分）
生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件A
元件B
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围．
19．（本小题满分14分）
如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，
两点，直线，分别与抛物线交于点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．
20．（本小题满分13分）
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）请写出一个，使得；
（Ⅱ）是否存在，使得？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．


北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2013.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．C； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．； 10．，； 11．；
12．； 13．，； 14．①③．
注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解法一：因为，
所以 ． ………………3分
因为 ， 所以 ，
从而 ， ………………5分
所以 ． ………………6分
解法二： 依题意得 ，
所以 ，
即 ． ………………3分
因为 ， 所以 ，
所以 ． ………………5分
所以 ． ………………6分
（Ⅱ）解法一：因为 ，，
根据正弦定理得 ， ………………7分
所以 ． ………………8分
因为 ， ………………9分
所以 ， ………………11分
所以 △的面积． ………………13分
解法二：因为 ，，
根据正弦定理得 ， ………………7分
所以 ． ………………8分
根据余弦定理得 ， ………………9分
化简为 ，解得 ． ………………11分
所以 △的面积． ………………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．
因为四边形为正方形，所以为中点．
因为 为棱中点．
所以 ． ………………3分
因为 平面，平面，
所以直线//平面． ………………4分
（Ⅱ）证明：因为平面，所以． ………………5分
因为四边形为正方形，所以，
所以平面． ………………7分
所以平面平面． ………………8分
（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．
因为平面平面，所以平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． …………9分
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………11分
易知平面的法向量为． ………………12分
所以 ． ………………13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． ………………14分
解法二：取中点，中点，连结，．
因为为正方形，所以．
由（Ⅱ）可得平面．
因为，所以．
由两两垂直，建立如图所示
的空间直角坐标系． ………………9分
设，则．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………11分
易知平面的法向量为． ………………12分
所以． ………………13分
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． ………………14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为． ………………1分
元件B为正品的概率约为． ………………2分
（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为． ………………3分
　　　； ；
； ． ………………7分
所以，随机变量的分布列为:
………………8分
． ………………9分
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.
依题意，得 ， 解得 ．
所以 ，或． ………………11分
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，
则 ． ………………13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：① 当时，．
故的单调减区间为，；无单调增区间． ………………1分
② 当时，． ………………3分
令，得，．
和的情况如下：
↘
↗
↘
故的单调减区间为，；单调增区间为．
………………5分
③ 当时，的定义域为．
因为在上恒成立，
故的单调减区间为，，；无单调增区间．
………………7分
（Ⅱ）解：因为，，
所以 等价于 ，其中． ………………9分
设，在区间上的最大值为．………………11分
则“，使得 ”等价于．
所以，的取值范围是． ………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，设直线的方程为． ………………1分
将其代入，消去，整理得 ． ………………4分
从而． ………………5分
（Ⅱ）证明：设，．
则 ． ………………7分
设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得 ． ………………9分
所以 ． ………………10分
同理可得 ． ………………11分
故． ………………13分
由（Ⅰ）得 ，为定值． ………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
………………3分
（Ⅱ）解：不存在，使得． ………………4分
证明如下：
假设存在，使得．
因为， ，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个， 个，从而． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②
①、②相矛盾，从而不存在，使得． ………………8分
（Ⅲ）解：记这个实数之积为．
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有．
从而有． ③ ………………10分
注意到， ．
下面考虑，，，，，，，中的个数：
由③知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，
所以． ………………12分
对数表：，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以 ，．
所以．
由的任意性知，的取值集合为．……………13分