北京市通州区2013届高三上学期期末考试 数学理试题（附解析）

通州区高三年级期末考试
数学（理）试卷
2013年1月
本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合，，则
（A） （B） （C）（D）
【答案】C
【 解析】因为，所以，选C.
2．在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
【答案】B
【 解析】,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B.
3．已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【 解析】因为在极坐标系中，，代入方程得，即，选A.
4．设函数则
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【 解析】，所以，选D.
5．一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是

（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【 解析】由程序框图可知，当时，满足条件，即，所以该程序是求的程序，所以，选B.
7．在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【 解析】若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，当时，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.
8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是
（A） （B） （C） （D）
,【答案】B
【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，
所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
9．如图，已知，，，则圆的半径OC的长为　　．
【答案】
【 解析】取BD的中点，连结OM，则,因为，所以，所以，所以半径，即。
10．已知满足约束条件则的最大值为　　．
【答案】
【 解析】作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由解得，即，代入得。
11．若，则的最小值为　　．
【答案】
【 解析】由得，因为，所以，根据均值定理得，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为1.
12．在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是　　．
【答案】
【 解析】因为D在BC上，所以设，则。所以，因为，所以，即的取值范围数。
13．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且
，则实数的取值范围是　　．
【答案】
【 解析】因为奇函数在上单调递减，所以函数在上单调递减。由得，所以由，得，所以，即实数的取值范围是。
14．对任意两个实数，定义若，
，则的最小值为　　．
【答案】
【 解析】因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。
三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在的最大值和最小值．
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：
CN //平面AB1M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．
17．（本小题满分13分）
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.
（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；
（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．
18.（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率．
19.（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．
20.（本小题满分13分）
现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．
记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：当时，．
通州区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷答案
高三数学（理科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
B
B
A
B
填空题
9． 　　　　　　　　10．　　　　　　　　11．　　　　　
12．　　　　　　13．　　　　　14．
三、解答题
15．解：（Ⅰ）由已知，得
……………………2分
， ……………………4分
所以　，
即　　的最小正周期为； ……………………6分
（Ⅱ）因为　，所以　． ……………… 7分
于是，当时，即时，取得最大值；…… 10分
当时，即时，取得最小值．……………13分
16．证明：
（Ⅰ）因为　三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以　 CC1⊥BC． ……………………1分
因为　AC=BC=2，，
所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………2分
又因为AC∩CC1=C，
所以　BC⊥平面ACC1A1． ……………………3分
因为　AM平面ACC1A1，
所以　BC⊥AM． ……………………4分
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则
NP∥CC1，且∽． ……………5分
于是有．
由已知，有．
因为　BB1=CC1．
所以　NP=CM．
所以　四边形MCNP是平行四边形． ……………………6分
所以　CN//MP． ……………………7分
因为　CN平面AB1M，MP平面AB1M， 　 ……………………8分
所以　CN //平面AB1 M．　　　　 ……………………9分
（Ⅲ）因为 BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，
所以 以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．…………………10分
因为 ，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，． 　　　　　　　　　　　 ……………………11分
设平面的法向量，则，．
即
令，则，即． ……………………12分
又平面MB1C的一个法向量是，
所以 ． ……………………13分
由图可知二面角A-MB1-C为锐角，
所以 二面角A-MB1-C的大小为． ……………………14分
17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 、，方差分别为 、， 则， ……………………1分 ， ……………………2分


， ……………………4分

　　
， ……………………6分
由于 ，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分
（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：
．………………9分
设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A，则事件A共有4个结果：
． ………………11分
所以　． ………………13分
18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，…………………… 1分
则 ，． …………………………………………2分
所以　， …………………………………3分
所以　椭圆方程为． …………………………………………4分
（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直． …………………………………………6分
于是，设直线的方程为，点，， …7分
则 整理得， … 8分
， ………………………………………… 9分
所以　． ……………………………………… 10分
因为 四边形为平行四边形，
所以 ， ……………………………………… 11分
所以 点的坐标为， ……………………………12分
所以 ， ……………………………13分
解得，
所以．　　　　　　　　　　　　………………………………14分

19．解：（Ⅰ），　　　　　　　　……………………………… 1分
于是，根据题设有

解得 或 ……………………3分
当时，，，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分
当时，，所以函数无极值点．……………5分
所以　．………………………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：对任意，都成立，………7分
所以 对任意，都成立…8分
因为 ,
所以 在上为单调递增函数或为常数函数， ………9分
所以 对任意都成立 …10分
即 . …………………………………………11分
又，
所以　当时，，………………………………12分
所以　，
所以　的最小值为． ………………………………13分
法二：对任意，都成立， ……………7分
即对任意，都成立，
即． …………………………………………8分
令，………………………………9分
当时，，于是；…………………………10分
当时，，于是， ．………11分
又 ，所以 ． ………………………………12分
综上，的最小值为． ………………………………13分
20．（Ⅰ）解：， ………………………………2分
； ………………………………4分
（Ⅱ）解：，． ………………………………6分
因为　，
所以　． ………………………………8分
（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明． …………9分
事实上，当时，
．
下面证明．
法一：对任何，
………………10分
……………………………………11分
…………………………12分
所以　．…………………………13分
法二：对任何，
当时，
；………………………………………10分
当时，
综上，． ………………………………………13分