北京市石景山区2013届高三上学期期末考试 数学文试题（附解析）

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷
高三数学（文）
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【 解析】因为，，所以,所以，选B.
2. 若复数, ,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【 解析】，选A.
3．为平行四边形的一条对角线，（ ） A． B． C． D．
【答案】D
【 解析】因为所以，即，选D.
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【 解析】单调递增，且为非奇非偶函数，不成立。是偶函数，但在上递增，不成立。为偶函数，但在上不单调，不成立，所以选D.
5．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则⊥
D．若，则
【答案】C
【 解析】C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
6．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【 解析】本程序为分段函数，当时，由得，，所以。当时，由，得。所以满足条件的有3个，选C.
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【 解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：
①　；
②　；　　　
③　；
④　整数属于同一“类”的充要条件是“”．
其中，正确结论的个数为（　　　）．
　　　A． B．　　　　　　C． D．
【答案】C
【 解析】因为，所以，①正确。，所以②不正确。③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 不等式的解集为 .
【答案】
【 解析】得，即，所以不等式的解集为。
10．直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】
【 解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长。
11．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则 ；若点，则 的最大值为 .
【答案】2；6
【 解析】如图不等式组对应的平面区域为三角形，由图象知。其中，所以所以三角形的面积为，所以。由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线截距最大，此时也最大，把代入得。
12． 在等比数列中，，则公比 ； ．
【答案】
【 解析】在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。
13．在中，若，则 ．
【答案】
【 解析】由余弦定理得，即整理得，解得。
14. 给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④ 函数在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是 ．
【答案】①③
【 解析】①中，令，所以。所以正确。②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。③，所以周期为1，正确。④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为①③
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
16．（本小题共14分）
如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求证： 平面；
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
17．（本小题共13分）
一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是???．现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；
（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率．

18．（本小题共13分）
已知函数是常数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；
（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；
（Ⅲ）若函数有零点，求实数的取值范围．
19．（本小题共14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数．
20．（本小题共13分）
定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；
（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?
(解题中可用以下数据 :)
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试
高三数学（文）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
D
C
C
B
C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
2；6
3
①③
(9题、11题第一空2分,第二空3分)
三、解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
（Ⅰ）因为，所以.
所以函数的定义域为 ………2分


……………5分
……………7分
（Ⅱ）因为，所以 ……………9分
当时，即时，的最大值为； ……………11分
当时，即时，的最小值为. ………13分
16．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：
…………………………4分
（Ⅱ）证明： 在△中，
.又.
由
. …………………………9分
（Ⅲ）设则
由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形．
………………12分
当时, 的最小值是．
即当为中点时, 的长度最小,最小值为．…………………14分
17．（本小题共13分）
（Ⅰ）设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，．
其中数字之和大于的是，，
所以． …… ……6分
（Ⅱ）设表示事件“至少一次抽到”，
第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：
，共个基本结果．
事件包含的基本结果有，
共个基本结果．
所以所求事件的概率为． …………………13分
18.（本小题共13分）
（Ⅰ） …………………2分
，，所以切线的方程为
，即． …………………4分
（Ⅱ）令则
↗
最大值
↘
，所以且，，，即函数的图像在直线的下方． …………………9分
（Ⅲ）有零点，即有解， .
令 ，， 解得. …… …11分
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，的最大值为，
所以. …………………13分
19．（本小题共14分）
（Ⅰ）由题意知, ，又因为，解得
故椭圆方程为． …………………4分
（Ⅱ）将代入并整理得，
解得． …………………7分
（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，，
则． … ………9分

所以直线的斜率互为相反数． …………………14分
20．（本小题共13分）
（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列．
因为，显然有，
由得
解得.
所以当时，
是数列的保三角形函数. …………………3分
（Ⅱ）由，得，
两式相减得，所以 …… ……5分
经检验，此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列. …………………8分
（Ⅲ）,
所以是单调递减函数.
由题意知，①且②,
由①得，解得,
由②得，解得.
即数列最多有26项. ………13分
【注：若有其它解法，请酌情给分．】