北京市海淀区2013届高三上学期期末考试 数学文试题（附解析）

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试
数学（文）试题
2013.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 复数化简的结果为
A. B. C. D.
【答案】A
【 解析】，选A.
2. 向量, 若, 则实数的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【 解析】由得即，解得，选A.
3. 在等边的边上任取一点，则的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【 解析】当时，有，即，则有，要使，则点P在线段上，所以根据几何概型可知的概率是，选C.
4.点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为
A．2 B. 3 C. 4 D.5
【答案】B
【 解析】抛物线的准线为，根据抛物线的对应可知，到该抛物线焦点的距离等于到该准线的距离，即，所以，即点的横坐标为3，选B.
5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出
的的值分别为
A. 　　 B.
C. 　　 D.
【答案】C
【 解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，不满足条件，输出，选C.
6.已知点, 且, 则直线的方程为
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】B
【 解析】，所以，所以，即直线的方程为，所以直线的方程为或者，选B.
7. 已知函数 则下面结论中正确的是
A. 是奇函数 B. 的值域是
C. 是偶函数 D. 的值域是
【答案】D
【 解析】在坐标系中，做出函数的图象如图，由图象可知选D.
8. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是
棱的中点，是侧面内一点，若平面
则线段长度的取值范围是
A． B. C. D.
【答案】B
【 解析】取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P 位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 的值为________.
【答案】1
【 解析】。
10. 双曲线的渐近线方程为_____；离心率为______.
【答案】
【 解析】由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴，，所以，即，所以双曲线的渐近线为，离心率。
11. 数列是公差不为0的等差数列，且，则
【答案】
【 解析】在等差数列中，由得，即，所以。
12. 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【 解析】做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知要使直线与区域有公共点，则有直线的斜率，由得，即。又，所以，即。
13. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______. 
【答案】
【 解析】取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
14. 任給实数定义 设函数，则=___； 若是公比大于的等比数列，且，
则
【答案】；
【 解析】因为，所以。因为，所以，所以。若，则有，所以。此时，即，所以，所以。而。在等比数列中因为，所以，即，所以，所以，若，则，即，解得。若，则，即，因为，所以，所以方程无解。综上可知。
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数，三个内角的对边分别为且.
（I） 求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值.
16. （本小题满分13分）
某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
3
30
5
7
5
B型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
10
10
15
10
5
（I） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只
需写出结果）；
（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽
车是A型车的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据
所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，
，且是中点.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面.
18.（本小题满分13分）
已知函数与函数在点处有公共的切线，设
.
（I） 求的值
（Ⅱ）求在区间上的最小值.
.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.
经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.
20. （本小题满分13分）
已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为
“一阶比增函数”.
(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”，求证：，；
（Ⅲ）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （文）
参考答案及评分标准 2013．1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
B
C
B
D
B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．1
10．
11．
12．
13．
14．0；
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为

………………6分
又，， ………………7分
所以， ………………9分
（Ⅱ）由余弦定理
得到，所以 ………………11分
解得（舍）或 ………………13分
所以
16. （本小题满分13分）
解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大
………………3分
（Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为

这辆汽车是A类型车的概率为 ………………7分
（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为
………………9分
50辆B类型车出租的天数的平均数为
………………11分
答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车
………………13分
答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车 ………………13分
17. （本小题满分14分）
解：(I) 连接交于点，连接
因为为正方形，所以为中点
又为中点，所以为的中位线，
所以 ………………3分
又平面，平面
所以平面 ………………6分
(Ⅱ)因为，又为中点，所以 ………………8分
又因为在直三棱柱中，底面，
又底面, 所以,
又因为，所以平面，
又平面，所以 ………………10分
在矩形中, ,所以，
所以，即 ………………12分
又，所以平面 ………………14分
18. （本小题满分13分）
解：（I）因为所以在函数的图象上
又，所以
所以 ………………3分
（Ⅱ）因为，其定义域为
………………5分
当时，，
所以在上单调递增
所以在上最小值为 ………………7分
当时，令，得到(舍)
当时，即时，对恒成立，
所以在上单调递增,其最小值为 ………………9分
当时，即时, 对成立，
所以在上单调递减，
其最小值为 ………………11分
当,即时, 对成立, 对成立
所以在单调递减,在上单调递增
其最小值为………13分
综上，当时， 在上的最小值为
当时，在上的最小值为
当时, 在上的最小值为.
19. （本小题满分14分）
解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为 ………………3分
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为,和椭圆方程联立得到
,消掉,得到 ………………5分
所以
所以 ………………7分
（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时, 面积相等， ………………8分
当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然，方程有根，且 ………………10分
此时
………………12分
因为,上式，（时等号成立）
所以的最大值为 ………………14分
20. （本小题满分13分）
解：（I）由题在是增函数，
由一次函数性质知
当时，在上是增函数，
所以 ………………3分
（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，
又，有，
所以， ………………5分
所以，
所以
所以 ………………8分
（Ⅲ）设，其中.
因为是“一阶比增函数”，所以当时，
法一：取，满足，记
由（Ⅱ）知，同理，
所以一定存在，使得，
所以 一定有解 ………………13分
法二：取，满足，记
因为当时，，所以对成立
只要 ，则有，
所以 一定有解 ………………13分