北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学文试题（附解析）

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（文科）
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7
【答案】B
【 解析】因为，所以，选B.
2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是
(A) (B) (C) 4 (D) 8
【答案】A
【 解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A.
3．“”是“”的
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】C
【 解析】当时，。若因为同号，所以若，则，所以是成立的充要条件，选C.
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【 解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.
5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【 解析】由图象可知，所以函数的周期，又，所以。所以，又，所以，即，所以，所以，选B.
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为.
(A)3 (B)6 (C) 7 (D) 10
【答案】D
【 解析】第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时满足条件，输出 ，选D.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是
(A) ，1 (B) 1， (C) ，1 (D) 1，
【答案】A
【 解析】因为，所以。。则。，即。，即，所以，选A.
8．已知函数,且，则
(A) 都有f(x)>0 (B) 都有f(x)<0
(C) 使得f(x0)=0 (D) 使得f(x0)>0
【答案】B
【 解析】由可知，抛物线开口向上。因为，，即是方程的一个根，所以都有，选B.
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．
【答案】20
【 解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。
10．不等式组表示的平面区域的面积是___________.
【答案】
【 解析】不等式组表示的区域为三角形，由题意知，所以平面区域的面积。
11．设 .
【答案】3
【 解析】，所以。
12．圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是 ．
【答案】
【 解析】因为圆与直线y=x相切于第三象限，所以。则有圆心到直线的距离，即，所以
13．已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.
【答案】2
【 解析】由，所以。根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。
14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，．
【答案】
【 解析】由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本题共13分 ）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
17．（本题共13分 ）
如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.
(Ⅰ)求证：MN平面 BCC1B1;
(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1．
18．（本题共14分 ）
已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.
19．（本题共13分 ）
曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴．直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求m的值．
20．（本题共14分 ）
已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
C
B
D
A
B
二、填空题：
9．20； 10.； 11. 3； 12．- （写给3分）；
13．2； 14． (第一个空2分,第二个空3分)
三．解答题
15．（本题共13分）设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.
解：（Ⅰ）A=,
==， ….…………………..……4分
B. ..……………………………………………….…...7分
（Ⅱ）∵，∴．..….…………………………………………… 9分
∴或，
∴实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…………………..13分
16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ，……………………………………………………2分
∵的终边在第一象限，∴． ……………………………………3分
∵的终边在第二象限，∴ ． ………………………………4分
∴==+=．………7分
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，……………………………9分
又∵， …………11分
∴．
∴． ……………………………………………………………13分
方法（2）∵，………………10分
∴=．…………………………………13分
17．（本题共13分）如图三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.
(Ⅰ)求证：MN平面 BCC1B1;
(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1.
解：(Ⅰ)连结BC1
∵点M , N分别为A1C1与A1B的中点，
∴∥BC1．........................................................4分
∵，
∴MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分
(Ⅱ)∵，
平面，
∴．...................................................................................................... 9分
又∵ABBC，
，
∴．....................................................................................... 12分
∵，
∴平面A1BC平面A1ABB1．............................................................................... 13分
18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.
解：（Ⅰ）．…2分
令，
∵，
∴的零点就是的零点，且与符号相同．
又∵，
∴当时，>0,即，
当时，<0,即， ………………………………………6分
∴的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=0是的极小值点，所以有
解得． ………………………………………………………11分
所以函数的解析式为．
又由（Ⅰ）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）.
所以，函数的极大值为． ……………….…14分
19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求m的值．
解：设C1的方程为,C2的方程为（）． …..2分
∵C1 ,C2的离心率相同，
∴,∴，………………………………..……………………3分
∴C2的方程为．
当m=时，A,C．………………………………….……5分
又∵,
∴，解得a=2或a=(舍)， ……………………………...………..6分
∴C1 ,C2的方程分别为，． …………………………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-,m),C(,m) ．……………….……………9分
∵OC⊥AN，
（）． ……………………………............................................…10分
∵=（,m），=（,-1-m)，
代入（）并整理得2m2+m-1=0， ………………………………………………12分
∴m=或m=-1(舍负) ，
∴m= ． ……………………………………………………………………13分
20．（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）∵?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
∴直线B0A1的方程为y=x．
由 得，，得A1（2，2），． ….…….…….…......3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得， ，即 ．（*）…….………………………..5分
∵和均在曲线上，
∴，
∴，代入（*）式得，
∴()．………………… …………………………..…..….…..7分
∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故其通项公式为() ． …………....…………………………...……..8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，， ….……………………………………………9分
∴，……………………..……………………………….…10分
∴，，
∴
= =，…………….……..11分
． …………………….……12分
欲使，只需<，
只需， ………………………………………………….…………13分
，
∴不存在正整数N，使n≥N时， 成立．…………………….14分