北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题（附解析）

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， ，则实数a的值为
(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或8
【答案】D
【 解析】因为，所以，即或，即或2，选D.
2．“”是“”的
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】C
【 解析】当时，。若因为同号，所以若，则，所以是成立的充要条件，选C.
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【 解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.
4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是
(A) (B) (C) 1 (D) 2
【答案】A
【 解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A.
5．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【 解析】由图象可知，所以函数的周期，又，所以。所以，又，所以，即，所以，所以，选B.
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表示不超过x的最大整数）
(A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9
【答案】C
【 解析】第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时不满足条件，。第六次循环，，此时满足条件，输出 ，选C.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B（0,1），点C在第二象限内，，且|OC|=2，若，则，的值是（ ）
(A) ，1 (B) 1， (C) -1， (D) ，1
【答案】D
【 解析】因为，所以。。则。，即。，即，所以，选D.
8．已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则
(A) 都有 (B) 都有
(C) 使得f(m0+3)=0 (D) 使得f(m0+3)<0
【答案】A
【 解析】由可知，且。即是方程的一个根，当时，。由，得，设方程的另外一个根为，则，即，由可得，所以，由抛物线的图象可知，，选A.
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．
【答案】20
【 解析】高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。
10．已知直线与平面区域C:的边界交于A，B两点，若，则的取值范围是________.
【答案】
【 解析】不等式对应的区域为，因为直线的斜率为1，由图象可知，要使，则，即的取值范围是。
11．是分别经过A(1,1)，B(0,(1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 ．
【答案】
【 解析】解：当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为A（-1，1）、B（2，-4），所以，所以两平行线的斜率为，所以直线的方程是，即。
12．圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______.
【答案】
【 解析】双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。
13．已知中，AB=，BC=1，，则的面积为______．
【答案】
【 解析】由得，所以。根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。
14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.
【答案】
【 解析】由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以
三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本题共13分）
函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
16．（本题共13分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
17．（本题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;
（Ⅱ）求证：ABPE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.
18．（本题共14分）
已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值.
19．（本题共13分）
曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
20．（本题共13分）
已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．
丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
A
B
C
D
A
二、填空题：
9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．(只写一个答案给3分)；
13．； 14． (第一个空2分，第二个空3分)
三．解答题
15．（本题共13分）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）A=
==，..………………………..……3分
B=． ………………………..…..7分
（Ⅱ）∵，∴， ..……………………………………………. 9分
∴或， …………………………………………………………...11分
∴或，即的取值范围是．…………………….13分
16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ． ………………………………………………………2分
∵的终边在第一象限，∴． ……………………………………………3分
∵的终边在第二象限，∴ ．………………………………………4分
∴==+=．……………7分
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||, ……………………………………9分
又∵，…………………11分
∴，
∴．…………………………………………………………………13分
方法（2）∵， …………………10分
∴= ． ………………………………… 13分
17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（Ⅰ）求证：DE//平面PBC;
（Ⅱ）求证：ABPE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．
解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，
(DE//BC ．
DE(平面PBC，BC(平面PBC，
(DE//平面PBC ．…………………………4分
（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
PD AB． …………………………….5分
，BC AB，
DE AB． .... .......................................................................................................6分
又 ，
AB平面PDE．......................................................................................................8分
PE(平面PDE，
ABPE ． ..........................................................................................................9分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，
PD平面ABC．................................................................................................10分
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,
=(1,0, )，=(0, , ）．
设平面PBE的法向量，
令
得． ............................11分
DE平面PAB，
平面PAB的法向量为．………………….......................................12分
设二面角的大小为，
由图知，，
所以即二面角的大小为． ..........................................14分
18．（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求在区间上的最大值.
解：（Ⅰ）．.......2分
令，
因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.
又因为，所以时，g(x)>0,即， ………………………4分
当时,g(x)<0 ,即， …………………………………………6分
所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有
解得， …………………………………………………………11分
所以.
的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），
为函数的极大值, …………………………………………………12分
在区间上的最大值取和中的最大者. …………….13分
而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分
19．（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
解：（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分
C1 ,C2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分
C2的方程为．
当m=时，A,C． .………………………………………….5分
又,所以，，解得a=2或a=(舍)， ………….…………..6分
C1 ,C2的方程分别为，．………………………………….7分
（Ⅱ）A(-,m), B(-,m) ． …………………………………………9分
OB∥AN,,
, ． …………………………………….11分
，(，． ………………………………………12分
，(，(．........................................................13分
20.（本题共13分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求，的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
直线B0A1的方程为y=x．
由 得，即点A1的坐标为（2，2），进而得．…..3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 ．（*） …………………………..5分
和均在曲线上，，
，代入（*）式得，
， ………………………………………………………..7分
数列是以为首项，2为公差的等差数列，
其通项公式为()． ……………………………………………....8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
， ……………………………………………………9分
，．

= =．….……………..…………10分
． ……………………….11分
（方法一）-=．
当n=1时不符合题意，
当n=2时，符合题意，
猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（）
观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n
以下用数学归纳法证明如下：
(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；
(2)假设n=k（k≥2）时，(k+1)<2k,
当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,
对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即<成立．
综上，满足题意的n的最小值为2. ……………………………………………..13分
（方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．
，
并且，
当时，.