北京市东城区2013届高三上学期期末考试 数学文科试题（附解析）

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合，，，则等于
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【 解析】因为，所以，选B.
（2）复数等于
（A） (B) ( C) ( D)
【答案】D
【 解析】，选D.
（3）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【 解析】因为，，所以，解得，所使用，解得，选C.
（4）执行如图所示的程序框图，输出的的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【 解析】第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得，第四次循环得，但此时,不满足条件，输出，所以选A.
（5）“成立”是“成立”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【 解析】由得或。所以“成立”是“成立”的必要不充分条件，选B.
（6）已知，满足不等式组 则目标函数的最大值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【 解析】做出可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的的截距最大，此时最大，由题意知，代入直线得，所以最大值为12，选B.
（7）已知抛物线的焦点到其准线的距离是，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为
（A）32 （B）16 （C）8 （D）4
【答案】A
【 解析】由题意知，所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选A.
（8）给出下列命题：①在区间上，函数,,, 中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【 解析】①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。②由，可得，即，所以，所以②正确。③正确。④得，令，在同一坐标系下做出两个函数的图象，如图，由图象可知。函数有两个交点，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若向量，满足，，且，的夹角为，则 ， ．
【答案】
【 解析】，，所以。
（10）若，且,则　 ．
【答案】
【 解析】因为，所以为第三象限，所以，即。
（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

【答案】
【 解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。
（12）已知圆：，则圆心的坐标为 ；若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 ．
【答案】
【 解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为1.要使直线与圆相切，且切点在第四象限，所以有。圆心到直线的距离为，即，所以。
（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .
【答案】乙
【 解析】设原价为1，则提价后的价格:方案甲：,乙：，因为，因为，所以，即，所以提价多的方案是乙。
（14）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①，②若，；③
则 ； .
【答案】
【 解析】根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
（16）（本小题共13分）
已知为等比数列，其前项和为，且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
（17）（本小题共13分）
如图，在菱形中， ⊥平面，且四边形是平行四边形．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.
（18）（本小题共13分）
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围.
（19）（本小题共14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.
（20）（本小题共14分）
已知实数组成的数组满足条件：
①； ②.
(Ⅰ) 当时，求，的值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设,且，
求证：.
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）D （3）C （4）A
（5）B （6）B （7）A （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13）乙 （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）
.…………………………………………………4分
所以．……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）因为，
所以．
所以．………………………………………………………10分
当时，函数的最小值是，
当时，函数的最大值是．…………………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，.……………………………………1分
当时，.……………………………………………3分
因为是等比数列，
所以，即..…………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为.
则. ①
. ②
①-②得 ……………………9分

……………………………………11分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为，
所以平面.
又因为平面，
所以. ………………………………………………6分
（Ⅱ）当为的中点时，有平面.……7分
与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
是的中点，
因为是的中点，
所以.……………………10分
又平面，
平面，
所以平面.……………………13分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，，
又，所以.
又，
所以所求切线方程为 ，即.
所以曲线在点处的切线方程为.………6分
（Ⅱ）因为，
令，得或.………………………8分
当时，恒成立，不符合题意. ……………………………9分
当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，
则解得.……………………………………………11分
当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是或. …………………………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为.
由已知可得………………………………………………3分
解得，.
故椭圆的方程为．………………………………………………………6分
（Ⅱ）由已知，若直线的斜率不存在，则过点的直线的方程为，
此时，显然不成立．…………………………7分
若直线的斜率存在，则设直线的方程为．
则
整理得．………………………………………………9分
由
．
设．
故，① ． ②………………………………10分
因为，即．③
①②③联立解得． ………………………………13分
所以直线的方程为和．……………14分
（20）（共14分）
(Ⅰ)解：
由（1）得，再由（2）知，且.
当时，.得，所以……………………………2分
当时，同理得………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：当时，
由已知,.
所以
.………………………………………………9分
（Ⅲ）证明：因为，且.
所以,
即 .……………………………11分
)
.……………………………………………………………14分