北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试 数学文试题（附解析）

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（文史类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合，集合，则 等于
A． B． C． D．
【答案】D
【 解析】,所以，选D.
2．已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于
A． B． C． D．
【答案】A
【 解析】，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A.
3.“”是“直线与圆 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【 解析】要使直线与圆 相交，则有圆心到直线的距离。即，所以，所以“”是“直线与圆 相交”的充分不必要条件，选A.
4. 执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【 解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环，此时满足条件输出，选C.
5. 已知，，且，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】B
【 解析】因为，所以，当且仅当，即取等号，所以选B.
6. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【 解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
7. 已知函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【 解析】当时，由得，此时。当时，由得。即，因为，所以，即，选D.
8. 在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【 解析】过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，则的值为 .
【答案】
【 解析】因为是等比数列，所以，所以。是等差数列。所以。
10.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则= ．
【答案】
【 解析】根据余弦定理可得，所以。
11.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 .
【答案】
【 解析】先做出不等式对应的区域如图。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域，三角形的高为1，所以，所以，当时，,所以，解得。
12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（，），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .
【答案】，
【 解析】由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，离心率、.
13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．
【答案】
【 解析】由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。
14. 将连续整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
【答案】；
【 解析】因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
16. （本小题满分14分）
在长方体中，，是棱上的一点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若是棱的中点，在棱上是否存在点，
使得∥平面？若存在，求出线段的长；
若不存在，请说明理由．
17. （本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90，100]
2
b
合计
▓
▓
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
18. （本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
19. （本小题满分14分）
已知直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点，且当时，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点.
试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.
20. （本小题满分13分）
将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（文史类） 2013.1
一、选择题：
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
A
A
C
B
C
D
A
二、填空题：
题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案
；

；
（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
…………………………………………2分
……………………………………………4分
所以函数的最小正周期为. …………………………………………6分
由，，则.
则函数单调减区间是，. ………………9分
(Ⅱ)由，得. ………………………………………11分
则当，即时，取得最小值. …………………13分
（16）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ………………………………………………………………2分
在矩形中，因为，所以．……………………4分
所以面. ………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，所以面，
由（Ⅰ）可知，面， …………………………………………7分
所以． …………………………………………………………………8分
（Ⅲ）当点是棱的中点时，有∥平面． ………………………9分
理由如下：
在上取中点，连接．
因为是棱的中点，是的中点，
所以∥，且．……10分
又∥，且．
所以∥，且，
所以四边形是平行四边形，
所以∥．…………………………11分
又面，面，
所以∥平面． …………………………………………………………13分
此时，． …………………………………………………………14分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，．……………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，
共15种情况．…………………………………………………………………………6分
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件， …………7分
有，共9种情况． ……………8分
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是．
答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率. ……………10分
（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件，有共7种情况． …………………………………………………………………………11分
所以
答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． ………………………………13分
（18）（本小题满分13分）
解：， ……………………………………………1分
令．
（Ⅰ）当时，函数，，．
曲线在点处的切线的斜率为． …………………………2分
从而曲线在点处的切线方程为，
即． ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）函数的定义域为． 设，
（1）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减．……………6分
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；……………8分
由，即，得．………………………9分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………11分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，
由解得.
所以，解得. ……………………………………………3分
所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分
（Ⅱ）由得，显然. …………5分
设,则. ……………6分
,.
又直线的方程为，
解得，
同理得.
所以, …………………………………………9分
又因为
.…………………13分
所以,所以以为直径的圆过点. ………………………………14分
（20）（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ……………………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9
（Ⅱ）当时，数表为
此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25
当时，数表为
此时，数表的“特征值”为. …………………………………………………………6分
猜想“特征值”为. …………………………………………………………………7分
（Ⅲ）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………13分