北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试 数学理试题（附解析）

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于
A． B． C． D．
【答案】A
【 解析】，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A.
2.“”是“直线与圆 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【 解析】要使直线与圆 相交，则有圆心到直线的距离。即，所以，所以“”是“直线与圆 相交”的充分不必要条件，选A.
3.执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【 解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环，此时满足条件输出，选C.
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则此双曲线的方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【 解析】由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，选B.
5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种
【答案】D
【 解析】若选1男3女有种；若选2男2女有种；若选3男1女有种；所以共有种不同的选法。选D.
6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【 解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【 解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，所以。即，选B.
8. 在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【 解析】过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .
【答案】
【 解析】因为是等差数列，所以。是等比数列，所以，因为，所以，所以。
10. 如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.
若，，则= ， （用表示）.
【答案】；
【 解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，在直角三角形中，，所以，由相交弦定理知，，即，解得
11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 .
【答案】或
【 解析】先做出不等式对应的区域，阴影部分。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所以有或直线与垂直，所以，综上或。
12. 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．
【答案】，
【 解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为2，所以所求直线方程为，即垂直于极轴的直线的极坐标方程为。
13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．
【答案】
【 解析】,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。
14. 将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
【答案】；
【 解析】因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
16. （本小题满分14分）
在长方体中，，点在棱上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？
若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的
长．
17. （本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90，100]
2
b
合计
▓
▓
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.
18. （本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
19.（本小题满分14分）
已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.
20. （本小题满分13分）
将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（理工类） 2013.1
一、选择题：
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
A
C
B
D
C
B
A
二、填空题：
题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案
；
或

；
（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
…………………………………………2分
……………………………………………4分
所以函数的最小正周期为. …………………………………………6分
由，，则.
函数单调递减区间是，. ………………………9分
(Ⅱ)由，得. ………………………………………11分
则当，即时，取得最小值. …………………13分
（16）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ……………………2分
在矩形中，因为，
所以．
所以面． ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系．
依题意可知，，
，
设的长为，则，
．
假设在棱上存在点，使得∥平面．
设点，则，
．
易知．
设平面的一个法向量为，
则，即．………………………………………………7分
令得，，所以．
因为∥平面，等价于且平面．
得，所以．
所以，，所以的长为．………………………………9分
（Ⅲ）因为∥，且点，
所以平面、平面与面是同一个平面．
由（Ⅰ）可知，面，
所以是平面的一个法向量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的长为． …………………………………………………………14分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，． ………………4分
（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
种情况． ………………………………………………………………6分
设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则
.
所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． …………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为，则
，，．
所以，的分布列为
…………………………………………12分
所以，． ……………………………………13分
（18）（本小题满分13分）
解：函数的定义域为，
． …………………………………………………1分
（Ⅰ）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）函数的定义域为．
（1）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………4分
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； ………………5分
由，即，得．………………………6分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………7分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………8分
（Ⅲ））因为存在一个使得，
则，等价于.…………………………………………………9分
令，等价于“当 时，”.
对求导，得. ……………………………………………10分
因为当时，，所以在上单调递增. ……………12分
所以，因此. …………………………………………13分
另解：
设，定义域为，
.
依题意，至少存在一个，使得成立，
等价于当 时，. ………………………………………9分
（1）当时，
在恒成立，所以在单调递减，只要，
则不满足题意. ……………………………………………………………………10分
（2）当时，令得.
（ⅰ）当，即时，
在上，所以在上单调递增，
所以，
由得，，
所以. ……………………………………………………………………11分
（ⅱ）当，即时，
在上，所以在单调递减，
所以，
由得.…………………………………………………………………12分
（ⅲ）当，即时，
在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增，
，等价于或，解得，
所以，.
综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………13分

（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，
由解得,所以.
因为△的面积为，解得.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
（Ⅱ）由得，显然.…………………5分
设,
则，………………………………………………6分
,.
又直线的方程为，由解得，
同理得.所以,……………………9分
又因为
.…………………………13分
所以,所以以为直径的圆过点. …………………………………14分
（20）（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9
（Ⅱ）当时，数表为
此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. …………………………………………………………6分
猜想“特征值”为. ……………………………………………………………7分

（Ⅲ）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.
①当这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………10分
②当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，
当它们中的一个数与在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有.
综上可得. ………………………………………………………………13分