2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册10.2事件的相互独立性 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
10.2 事件的相互独立性
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生. 因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
复习引入：
事件的关系或运算 含义 符号表示 概率表示
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
A发生导致B发生
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
A B
AUB或A+B
A∩B或AB
A∩B=Φ
A∩B=Φ,AUB=Ω
P(A)≤P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(AB)=P(A)P(B)
P(A)+P(B)=1
？
前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，还有什么值得研究的问题
探究 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
思考 以上试验中事件AB与A和B的概率有何联系
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异, 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A), P(B), P(AB)，你有什么发现
显然有P(AB)=P(A)P(B). 也就是积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 并把这种互不影响的事件称为相互独立事件.
通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．
根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．
由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A )=P( )=P(A)P( )成立．
因此，必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．
相互独立事件的定义：
对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
思考 必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
独立事件概率乘法公式
思考 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立
思考 我们知道，如果三个事件A, B, C两两互斥，那么概率加法公式
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；
但当三个事件A, B, C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立.
一般不成立
例1 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”, 那么事件A与事件B是否相互独立
B={(1,2), (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}，
解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, 且m≠n}，共12个样本点.
A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}，
AB={(1,2), (2,1)}.
因此，事件A与事件B不独立.
判断两个事件是否相互独立的方法：
3.转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立, 转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.
解：
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.
解：
方法总结：由简单事件通过运算得到复杂事件, 进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意:
1. 对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率.
已知两个事件A, B, 那么:
(1) A,B中至少有一个发生为事件A+B.
2. 对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”
“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
(2) A,B中至多有一个发生为事件 .
(3) A,B恰好有一个发生为事件 .
(5)A,B都不发生为事件 .
(4)A,B都发生为事件AB.
(6)A,B不都发生为事件 .
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
解：
1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？
练习
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教材249页
2.设样本空间Ω={a, b, c, d}含有等可能的样本点，且A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
解: A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}, AB={a}, AC={a}, BC={a}, ABC={a}. ∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.
P(A)P(B)P(C)=1/8, P(ABC)=1/4.
∴P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 即A,B,C三个事件两两独立, 但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
练习
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教材249页
3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为0.2×0.3= 0.06.
(2)甲、乙两地都不降雨的概率为( 1-0.2)×( 1-0.3)= 0.8×0.7= 0.56.
(3)解法一: 至少一个地方降雨的概率为
0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×( 1-0.3)= 0.44.
解法二: 由(2)知,甲、乙两地都不降雨的概率为0.56, 所以至少一个地方降雨的概率为1-0.56=0.44.
练习
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教材249页
1. 对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
2. 必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立.
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立.
课堂小结