第九章 图形的相似专题训练 比例式与等积式的证明方法同步练习（含答案）

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专题训练
比例式与等积式的证明方法
类型一 平行线法
1.如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE并延长，交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC，交DC于点F.求证：
2.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：AE·CF=BF·CE.
类型二 三点定形法
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
(1)求证：
(2)连接EF，求证：AE·CB=EF·AC.
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E，点F在边AB上，连接CF，交线段BE于点G，
(1)求证：∠ABD=∠ACF；
(2)连接EF，求证：FE·CG=EG·BC.
类型三 等线代换法
5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC=∠B，点E在AD上，CE=CD.求证：
6.如图，E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，过点E作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF，BE交于点G.
(1)求证：△CAF∽△CBE；
(2)若AF平分∥BAC，求证：AC2=2AG·AF.
类型四 等比（积）过渡法
7.如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，且
(1)求证：△AEF∽△ABC；
(2)若点D在边BC上，AD与EF交于点G，求证：
类型五 平方代换法
8.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD=∠B=∠BAE.
(1)求证：
(2)当E为CD的中点时，求证：
参考答案
1.四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAG=∠M，∠ABG=∠MDG.∴△∽△即 ，即 .
2.过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB，∴∠CMF=∠BDF.∵∠F=∠F,∴△∽△
∴∥∽△为AB的中点，∴，∴ 即AE·CF=BF·CE .
3.(1)∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED=∠ADB=90°.又∵∵EAD=∠DAB,∴△AED∽△ADB.∴
(2)同(1)，易得 ∴AE·AB=AF·AC.∴∴△EAF∽△CAB.∴ .∴AE·CB=EF·AC .
又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC.∴∠GDC=∠GCE.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∴∠ABD=∠ACF
(2)∵∠FBG=∠ECG,∠BGF=∠CGE,∴△BGF<∽△CGE .∴ 即 又∵∠FGE=∠BGC，∴△∽△
5.(1)∵CE=CD,∴∠CED=∠EDC.∵∠AEC+∠CED=180°,∠ADB+∠EDC=180°,∴∠AEC=∠ADB.∵∠DAC=∠B,∴△ACE∽△BAD.∴ ∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=CE.∴ .
(2)∵∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,∴△ACD∽△BCA.∴∴CD·BC.∵△ACE ∽
△BAD,∴∴AE·AD=BD·CE.∴2AE·AD=2BD·CE=BC·CD.∴AC =2AE·AD
6.(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.∵EF⊥AC.∴0°=∠ABC.又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△即 又∵∠ACF=∠BCE,∴△CAF∽△CBE
(2)∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE.∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF.∴∠BAF=∠CBE.∴∠BAF+∠AFB=∠CBE+∠AFB=180°-90°=90°，即∠AGB=90°.∴∠ABF=∠AGB.∵∠FAB=∠BAG,∴△ABF∽△AGB.∴ ∴AB2=AG·AF.∵在正方形ABCD中，易得 F·AF.
7.(1)∵又∵∠EAF=∠BAC，∴△AEF∽△ABC.
(2)∵△AEF∽△ABC,∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.∴易得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC.
∴ .
8.(1)∵∠ACD=∠B=∠BAE,∠BAC=∠BAE+∠CAE,∠AED=∠ACD+∠CAE,∴∠AED=∠BAC.
∵∠DAE=∠B,∴△AED∽△BAC.∴ .
(2)∵∠ADE=∠CDA,∠DAE=∠ACD,∴△DAE∽△∵E为CD的中点，∴DE=EC.
∽ ，即 ∴ .
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