【课件】3.1.2 函数的单调性-第2课时 高中数学-RJB-必修第一册-第三章(共30张PPT)

(共30张PPT)
数学－RJB－必修第一册
3.1.2 　函数的单调性
（第2课时）
第三章　　函数的概念与性质
重点：会借助单调性求最值.
难点：掌握求二次函数在闭区间上的最值．
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.会借助单调性求最值.
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
学习目标
知识梳理
一、函数的最大值、最小值
!
对定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤ f()(f(x)≥ f()）成立,也就是说,y=f(x)的图象不能位于直线y= f()的上(下)方
【做一做1】 设函数f(x)=2x-1(0≤x<1),则f(x)(　　)
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.既有最大值,又有最小值
D.既无最大值,也无最小值
解析:∵函数f(x)=2x-1在x∈[0,1)上单调递增,
∴f(x)在x=0时取得最小值,无最大值.
答案:B
二、最值
拓展知识
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在定义域R上,当a>0时,
【做一做2】 函数y=-x2+2x的最大值是　　　.
答案:1
总结归纳
函数的最值与单调性的关系
1.函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个定义域上的性质,是“整体”性质.
2.若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
3.若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
三、直线的斜率的定义
四、函数递增、递减的充要条件
◎函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0，
◎函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.
五、函数的平均变化率
【做一做2】二次函数y=x2在［1，3］上的平均变化率是　　　　.
【解析】　由题意，得Δx=3-1=2，Δy=32-12=8，故所求的平均变化率为 =4.
【答案】　4
一　图像法求最值
常考题型
【例1】 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图像,确定函数的最值,并写出值域.
分析:讨论x与1的大小,化函数f(x)为分段函数.
图像如图所示,
由图像知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,
没有最小值,
所以其值域为(-∞,2].
图像法求函数y=f(x)的最值的步骤
(1)画出函数y=f(x)的图像;
(2)依据函数最值的几何意义,借助图像写出最值.
解题归纳


小试牛刀
(1)画出f(x)的图像;
(2)利用图像找出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图像如图所示.
(2)由图像可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
二、利用函数的单调性求最值
(1)判断f(x)在区间[1,2]和[2,3]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
分析:(1)证明单调性的流程为:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
解:(1)设x1,x2是区间[1,3]上的任意两个实数,且x1即f(x)在区间[1,2]上是减函数.
当2≤x1∴f(x1)∴f(x)的最大值为5.
解题归纳
利用函数的单调性求函数最值的步骤:
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)借助最值与单调性的关系写出最值.
延伸探究
解:任取2≤x1∵2≤x1∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0.
∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)三、二次函数的最值问题
【例3】 已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
分析:抛物线开口方向确定,对称轴不确定,需根据对称轴的不同情况分类讨论.可画出二次函数相关部分的简图,用数形结合法解决问题.
解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.
当a≥1时,函数图像如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最小值为f(1)=3-2a;
当-1当a≤-1时,函数图像如图(3)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最小值为f(-1)=3+2a.
解题归纳
求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
小试牛刀
在本例条件下,求函数f(x)的最大值.
解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.
小试牛刀
当a≥1时,函数图像如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,
最大值为f(-1)=3+2a;
当0≤a<1时,函数图像如图(2)所示,可知
函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3+2a;
当-1函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(1)=3-2a;
当a≤-1时,函数图像如图(4)所示,可知
函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最大值为f(1)=3-2a.
小结
五个知识点：
1.函数的最大值、最小值；2.最值；3.直线斜率的定义；
4.函数递增、递减的充要条件；5.函数的平均变化率.
三种题型：
1.图像法求最值；
2.利用函数的单调性求最值；
3.二次函数的最值问题.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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