【课件】3.2 函数与方程、不等式之间的关系 高中数学-RJB-必修第一册-第三章(共40张PPT)

(共40张PPT)
数学－RJB－必修第一册
3.2 　函数与方程、不等式之间的关系
第三章　　函数的概念与性质
重点：函数零点、方程的根与不等式的解集之间的关系，判断零点所在区间和零点个数.
难点：已知零点个数求参数，函数与方程、不等式的综合问题
1.理解函数的零点与方程的根、不等式的解集之间的关系.
2.能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在情况及求一元二次不等式的解集.
3.会根据函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会根据函数零点的情况求参数.
4.理解求函数零点近似值的基本思想，会用二分法求零点的近似值.
学习目标
知识梳理
一、函数的零点
注 意
1.函数的零点不是点，而是一个实数，当自变量取零点时，函数值为零.
2.方程f （x）=0的实数根=函数y=f （x）的零点=函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标.
【做一做1-1】
【做一做1-1】
【做一做1-1】
二、函数零点存在定理
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是连续不断的，
并且f（a）f（b）<0（即在区间两个端点处的函数值异号），
则函数y=f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，
即?x0∈（a，b），f（x0）=0.
【做一做2】若f（x）是定义在R上的单调函数，其零点同时在区间（-1，2），
（-1，4），（-1，8），（-1，16）内，那么下列说法一定正确的是 （　　）
A.函数f（x）在区间（-1，0）内有零点
B.函数f（x）在区间（-1，0）或（0，2）内有零点
C.函数f（x）在区间［2，16）内无零点
D.函数f（x）在区间（0，16）内无零点
【解析】由题意，得f（x）是定义在R上的单调函数且其零点存在，
可确定f（x）有唯一的一个零点在区间（-1，2）内，
故在区间［2，16）内无零点，C正确.
√
三、二分法
对于在区间［a，b］上连续不断且f （a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数y=f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【做一做3】
①③
例1
一　已知函数的含参解析式，求其零点
常考题型
判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点.
f（x）=ax+1（a∈R）.
求解此类含参问题要注意分类讨论，同时还要借助图像辅助求解.
解题归纳
1.讨论函数y=（ax-1）（x-2）的零点.


小试牛刀
例2
【解析】　原不等式可化为（x+1）（x+3）（x-3）≥0，
则对应方程的三个实数根分别为-1，-3，3.
如图所示，
在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过.
由图可知不等式（x+1）（x2-9）≥0的解集为{x|-3≤x≤-1或x≥3}.
【答案】　{x|-3≤x≤-1或x≥3}　　　
不等式（x+1）（x2-9）≥0的解集是　　　　.
二、穿根法解简单的高次不等式或分式不等式
穿根法解高次不等式的步骤
1.求函数相应方程及方程的根.
2.在数轴上标出各根.
3.把各根用平滑的曲线穿起来.
4.下结论，在数轴上方，则f（x）>0，在数轴下方，则f（x）<0.
穿根法口诀：奇过偶不过；奇重根穿而过，偶重根穿而不过.
穿根法方向：若x的最高次项系数为正，则从右上方穿；若x的最高次项系数为负，则从右下方穿.
解题归纳
例3
三、已知函数的解析式，判断其零点所在的区间
若f（x）是定义在R上的单调函数，其零点同时在区间（-1，2），（-1，4），（-1，8），（-1，16）内，那么下列说法一定正确的是（　　）
A.函数f（x）在区间（-1，0）内有零点
B.函数f（x）在区间（-1，0）或（0，2）内有零点
C.函数f（x）在区间［2，16）内无零点
D.函数f（x）在区间（0，16）内无零点
√
小试牛刀
√
解题归纳
已知函数的解析式，判断其零点所在的区间的方法
1.解方程法：当对应方程f（x）=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
2.利用零点存在定理：首先看函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0.若有，则函数y=f（x）在区间（a，b）内必有零点.
3.数形结合法：通过作函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
例4
四、利用零点存在定理，判断方程的根所在的区间
方程6-2x=ln x必有一根的区间是 （　　）
A.（2，3） B.（3，4） C.（0，1） D.（4，5）
√
例5
五、ax2+bx+c=0的根的分布问题
已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两实根，其中一实根在区间（-1，0）内，另一实根在区间（1，2）内，求m的取值范围；
小试牛刀
已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
若方程两不相等实根均在区间（0，1）内，求m的取值范围.
解题归纳
解决有关一元二次方程实根分布问题的一般步骤
1.首先画出符合题意的草图，将方程问题转化为函数问题.
2.结合草图考虑四个方面：
（1）Δ与0的关系；
（2）对称轴与所给端点值的关系；
（3）端点的函数值与零的关系；（4）开口方向.
3.写出由题意得到的不等式（组）.
4.由得到的不等式（组）去验证图像是否符合题意.
例6
六、已知函数的解析式，判断函数零点的个数
例6
六、已知函数的解析式，判断函数零点的个数
小试牛刀
√
解题归纳
判断函数y=f（x）的零点的个数的方法
1.解方程法，方程f（x）=0的实数根的个数就是函数f（x）的零点的个数.
2.借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断.
3.若函数图像易画出，则可依据图像与x轴的交点的个数来判断.特别地，对于形如y=h（x）-g（x）的函数，可通过函数h（x）与g（x）的图像的交点的个数来判断函数y=h（x）-g（x）的零点的个数.
例7
七、用二分法求函数零点所在区间
（2，3）
小试牛刀
√
解题归纳
用二分法求函数零点所在区间的步骤
1.确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε；
2.求区间（a，b）的中点c；
3.计算f（c）：
（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点；
（2）若f（a）·f（c）<0，则令b=c（此时零点x0∈（a，c））；
（3）若f（c）·f（b）<0，则令a=c（此时零点x0∈（c，b））.
例8
八、用二分法求方程的近似解
小试牛刀
小试牛刀
用二分法求方程的近似解的方法
小结
三个知识点：
1.函数的零点；2.函数零点存在定理；3.二分法.
八种题型
1.已知函数的含参解析式，求其零点；2.穿根法解简单的高次不等式或分式不等式；
3.已知函数的解析式，判断其零点所在的区间；4.利用零点存在定理，判断方程的根所在的区间;
5. ax2+bx+c=0的根的分布问题；6.已知函数的解析式，判断函数零点的个数；
7.用二分法求函数零点所在区间；8.用二分法求方程的近似解.
知易行难，重在行动
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