第九章 专题训练 数学思想方法在相似三角形中的应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 第九章 专题训练 数学思想方法在相似三角形中的应用（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-04 18:01:26 | ||
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文档简介
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专题训练
数学思想方法在相似三角形中的应用
类型一 运用方程思想进行计算
1.如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的边BC上运动，GF与AB相交于点H，∠E=60°，若CG=3，AH=7，则菱形ABCD的边长为( )
A.8 B.9
第1题图 第2题图
2.三个边长分别为2，3，5的正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿.
3.如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也相应停止运动.当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少
4.如图，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.
(1)求证：
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长.
类型二 运用数形结合思想解坐标系中的相似问题
5.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(-2，3)，C(-1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′，B′，C′，则下列说法正确的是( )
A.△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(1，0)
B.△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(0，0)
C.△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D.△A′B′C′与△ABC不是相似图形
第5题图 第6题图
6.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为＿＿____＿.
7.如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，过点C作CD⊥x轴，垂足为D.求证：△ACD∽△ABC.
类型三 建立相似三角形模型解决实际问题
8.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=240 cm，AB=120 cm，球目前在点G的位置，AG=80 cm，小丁瞄准边BC上的点F将球打过去，经过点F反弹后碰到边CD上的点H，再经过点H反弹后，球刚好弹到边AD的中点E处落袋.
(1)求证：△BGF∽△DHE；
(2)求BF的长.
类型四 运用分类讨论思想解决动态探究问题
9.如图，在矩形ABCD中，AB=6 m，BC=8 m，动点P以2 m/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1 m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P，Q两点移动的时间为t s(0＜t＜5).
(1)当t的值为多少时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ABC相似
(2)在P，Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等 若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
参考答案
1.B 2. 3.75
3.设运动了t s.根据题意，得AP=2t cm，CQ=3t cm，则AQ=(16-3t) cm.当△APQ∽△ABC时即解得当△APQ∽△ACB时， 即，解得t=4.∴当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是16 s或4 s.
4.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC.由折叠的性质，可知∠APO=∠B=90°，AP=AB，∴∠APD+∠OPC=90°.∵∠C=90°,∴∠POC+∠OPC=90°.∴∠POC=∠APD.∴△∽△∴ .
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴△OCP与△PDA的相似比为1:2 .∴设AB= x，则DC= x，PA=AB= x，DP= x-4.∴在Rt△APD中，由勾股定理，得
即 解得x=10，即AB=10 .
5.B
6.(-9，-2)或(3，2) 解析：首先根据直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得当点B′在第一象限时，坐标为(3，2)；当点B′在第三象限时，坐标为(-9，-2).解答此类问题时，要注意分类讨论，防止漏解.
7.过点C作CH⊥OB于点H.由A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，∠AOB=90°，CD ⊥x轴，得∽△
8.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°.由题意，得∠GFB=∠HFC，∠FHC=∠EHD.∵∠C=∠D=90°,∴∠HFC+∠FHC=∠HED+∠EHD=90°.∴∠HED=∠HFC.∴∠GFB=∠HED.∵∠B=∠D,∴△BGF∽△DHE .
(2)如图，延长AD交FH的延长线于点N，过点N作NM⊥BC交BC的延长线于点M.易得NM=AB=120 cm，△NDH≌△EDH，∴CM=ND=ED.∵E为AD的中点，∴M=90°,∠GFB=∠HFC,∴△GBF∽△NMF.∴ ∴.∴BF=90 cm .
9.(1)由题意，得在△中， ∴①当∠PQC=∠B=90°时，△CQP∽△CBA，则 即 解得 ②当∠PQC=∠BAC时，△CQP∽△CAB，则 即 解得 当t的值为或 时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ABC相似.
(2)不能 理由：过点P作PH⊥BC于点H.由题意，得∠PHC= ∥∠HPC=∠BAC.∵∠PCH=∠ACB,∴△∽△当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，则 即 整理，得 20=-55＜0，此时方程无实数根，∴四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等.
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专题训练
数学思想方法在相似三角形中的应用
类型一 运用方程思想进行计算
1.如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的边BC上运动，GF与AB相交于点H，∠E=60°，若CG=3，AH=7，则菱形ABCD的边长为( )
A.8 B.9
第1题图 第2题图
2.三个边长分别为2，3，5的正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿.
3.如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也相应停止运动.当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少
4.如图，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.
(1)求证：
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长.
类型二 运用数形结合思想解坐标系中的相似问题
5.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(-2，3)，C(-1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′，B′，C′，则下列说法正确的是( )
A.△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(1，0)
B.△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(0，0)
C.△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D.△A′B′C′与△ABC不是相似图形
第5题图 第6题图
6.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为＿＿____＿.
7.如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，过点C作CD⊥x轴，垂足为D.求证：△ACD∽△ABC.
类型三 建立相似三角形模型解决实际问题
8.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=240 cm，AB=120 cm，球目前在点G的位置，AG=80 cm，小丁瞄准边BC上的点F将球打过去，经过点F反弹后碰到边CD上的点H，再经过点H反弹后，球刚好弹到边AD的中点E处落袋.
(1)求证：△BGF∽△DHE；
(2)求BF的长.
类型四 运用分类讨论思想解决动态探究问题
9.如图，在矩形ABCD中，AB=6 m，BC=8 m，动点P以2 m/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1 m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P，Q两点移动的时间为t s(0＜t＜5).
(1)当t的值为多少时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ABC相似
(2)在P，Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等 若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
参考答案
1.B 2. 3.75
3.设运动了t s.根据题意，得AP=2t cm，CQ=3t cm，则AQ=(16-3t) cm.当△APQ∽△ABC时即解得当△APQ∽△ACB时， 即，解得t=4.∴当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是16 s或4 s.
4.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC.由折叠的性质，可知∠APO=∠B=90°，AP=AB，∴∠APD+∠OPC=90°.∵∠C=90°,∴∠POC+∠OPC=90°.∴∠POC=∠APD.∴△∽△∴ .
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴△OCP与△PDA的相似比为1:2 .∴设AB= x，则DC= x，PA=AB= x，DP= x-4.∴在Rt△APD中，由勾股定理，得
即 解得x=10，即AB=10 .
5.B
6.(-9，-2)或(3，2) 解析：首先根据直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得当点B′在第一象限时，坐标为(3，2)；当点B′在第三象限时，坐标为(-9，-2).解答此类问题时，要注意分类讨论，防止漏解.
7.过点C作CH⊥OB于点H.由A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，∠AOB=90°，CD ⊥x轴，得∽△
8.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°.由题意，得∠GFB=∠HFC，∠FHC=∠EHD.∵∠C=∠D=90°,∴∠HFC+∠FHC=∠HED+∠EHD=90°.∴∠HED=∠HFC.∴∠GFB=∠HED.∵∠B=∠D,∴△BGF∽△DHE .
(2)如图，延长AD交FH的延长线于点N，过点N作NM⊥BC交BC的延长线于点M.易得NM=AB=120 cm，△NDH≌△EDH，∴CM=ND=ED.∵E为AD的中点，∴M=90°,∠GFB=∠HFC,∴△GBF∽△NMF.∴ ∴.∴BF=90 cm .
9.(1)由题意，得在△中， ∴①当∠PQC=∠B=90°时，△CQP∽△CBA，则 即 解得 ②当∠PQC=∠BAC时，△CQP∽△CAB，则 即 解得 当t的值为或 时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ABC相似.
(2)不能 理由：过点P作PH⊥BC于点H.由题意，得∠PHC= ∥∠HPC=∠BAC.∵∠PCH=∠ACB,∴△∽△当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，则 即 整理，得 20=-55＜0，此时方程无实数根，∴四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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