(共20张PPT)
北师大版 七年级下
1.6.2完全平方公式的应用
情境引入
1.完全平方公式法则：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a－b) 2=a2－2ab+b2
数或代数式
2. 想一想：
（1）两个公式中的字母都能表示什么
（2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用
运用完全平方公式能使某些计算变得简便
合作学习
怎样计算1022， 1972更简单呢？
【思考】
能不能用完全平方公式进行简便计算？
把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a b)2 的形式
因为102比较接近______，所以102可以写成_____________,
1022可以写成_____________。
100
（100+2）
（100+2）2
【解】1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
因为197比较接近______，所以197可以写成_____________,
1972可以写成_____________。
200
（200-3）
（200-3）2
【解】1972
=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
通过上面的计算，你发现了什么？
完全平方公式在用于简便运算的应用时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 或者(a b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
提炼概念
典例精讲
【例2】 计算：
(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
(2) (a+b+3)(a+b－3)
= [(a+b) +3] [(a+b)－3]
= (a+b)2－32
=a2+2ab+b2－9；
(1) (x+3)2－x2
= x2+6x+9－x2
=6x+9
【解】
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)
= x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6
= 15x+19 .
做一做
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果，如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……
(1) 第一天有a个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2) 第二天有b个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
a2
b2
(a+b)2
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
因为(a+b)2=a2+2ab+b2
第三天多，多2ab.
a2+2ab+b2-a2-b2=2ab
归纳概念
总结归纳
讨论：（a+b）2与（a-b）2及a2+b2有怎样的联系？
能否用等式来表示它们之间的关系？
①(a+b)2-(a2+b2)=_____
② a2＋b2＝________－2ab＝________＋2ab
③ (a＋b)2－(a－b)2＝_____
2ab
(a＋b)2
(a－b)2
4ab
课堂练习
1.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是( ).
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C
2. 设（2a+3b）2=（2a-3b）2+A，则A= ．
解：∵（2a+3b）2=4a2+12ab+9b2， （2a-3b）2=4a2-12ab+9b2， ∴（2a+3b）2=（2a-3b）2+24ab， ∴A=24ab， 故答案为：24ab．
24ab
3.利用完全平方公式计算：
(1) 0.982 (2) 10012
解：(1) 原式 = （ 1 0.02）2
= 12 2 ×1×0.02 + 0.022
= 1 0.04 + 0.0004
= 0.9604
（2）原式 = （ 1000 + 1 ）2
= 10002 + 2 × 1000×1 + 12
= 1000000 + 2000 + 1
=1002001
4.运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解: (1)
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23；
(2)x2－xy＋y2的值；
解：x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30；
解：(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37.
(3)(x－y)2的值．
5.已知x＋y＝3，xy＝－7，求：
(1)x2＋y2的值；
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.利用完全平方公式进行简便运算。
完全平方公式在用于简便运算的应用时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 或者(a b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
2.完全平方公式常用变形：
(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab
(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.6.2完全平方公式的应用 教案
课题 1.6.2完全平方公式的应用 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.灵活掌握运用完全平方公式进行简便计算. 2.灵活应用乘法公式进行化简计算. 3.会利用公式变形进行整式乘法运算.
重点 运用完全平方公式进行一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.
难点 灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题叙述一下完全平方公式。师：完全平方公式数学表达式：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a -b) 2=a2－2ab+b2思考一下怎样计算1022， 1972更简单呢？能不能用完全平方公式进行简便计算？把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a b)2 的形式 教师出示正确答案。解 1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a b)2 的形式 教师出示正确答案。1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32=40000-1200+9 =38809 思考自议此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程．虽然问题本身难度不大，学生容易解决，但是通过在解题之前的观察与忠考，使学生养成认真审题的好习惯，同时对于知识的掌握更有深度，也为后面乘法公式的综合应用奠定了良好的活动基础． 能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．
讲授新课 提炼概念 完全平方公式在用于简便运算的应用时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 或者(a b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．三、典例精讲【例2】 计算：(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2 =6x+9(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3]= (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9；(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)= x2+10x+25－(x2－5x+6) = x2+10x+25－x2+5x－6= 15x+19 .对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．让我们做一个应用题。一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。如果来一个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果，如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？请你用所学的公式解释自己的结论。(1) 第一天有a个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2) 第二天有b个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？（1）a2（2）b2（3）(a+b)2（4）第三天多，多2ab因为(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab完全平方公式常见的变形公式有：(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab 巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养。 巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 数学源自于生活，通过生活当中的一个有趣的分糖场景，使学生 进一步巩固了(a+b)2=a 2+2ab+b 2，同时帮助学生进一步理解了(a+b)2 与 a 2+b 2 的关 系.同时通过问题串的形式，层层递进，适合学生的思维梯度，学生通过自主探 究和交流学到了新的知识，巩固了旧的知识。
课堂检测 四、巩固训练 1.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是( ).A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C2. 设（2a+3b）2=（2a-3b）2+A，则A= ． 24ab3.利用完全平方公式计算：(1) 0.982 (2) 100124.运用乘法公式计算:(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.5.已知x＋y＝3，xy＝－7，求：(1)x2＋y2的值；(2)x2－xy＋y2的值；(3)(x－y)2的值．解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23；解：x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30；解：(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37. ．
课堂小结 这节课你学到了什么？运用完全平方公式进行简便运算时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 还是(a b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．常用变形(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab
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1.6.2完全平方公式的应用 学案
课题 1.6.2完全平方公式的应用 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.灵活掌握运用完全平方公式进行简便计算. 2.灵活应用乘法公式进行化简计算. 3.会利用公式变形进行整式乘法运算.
重点 运用完全平方公式进行一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.
难点 灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.
教学过程
导入新课 【引入思考】说一说什么是完全平方公式：___________________________________________________________________________________________________________________________________________(a+b) 2=__________________________(a -b) 2=__________________________（1）两个公式中的字母都能表示什么？（2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用？（3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗？【思考】怎样计算1022， 1972更简单呢？能不能用公式进行简便计算？用哪个公式？把 1022 和1972改写成 (a+b)2 还是(a b)2 的形式 因为102比较接近______，所以102可以写成_____________,1022可以写成_____________。试着算一算。因为197比较接近______，所以197可以写成_____________,1972可以写成_____________。试着算一算。通过上面的计算，你发现了什么？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
新知讲解 提炼概念 完全平方公式在用于简便运算的应用时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 或者(a b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．典例精讲 【例】计算：(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .做一做一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。如果来一个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果，如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……（1）第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天有(a+b)个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？总结归纳讨论：（a+b）2与（a-b）2及a2+b2有怎样的联系？能否用等式来表示它们之间的关系？①(a+b)2-(a2+b2)=_____② a2＋b2＝________－2ab＝________＋2ab③ (a＋b)2－(a－b)2＝_____
课堂练习 巩固训练 1.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是( ).A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b22. 设（2a+3b）2=（2a-3b）2+A，则A= ． 3.利用完全平方公式计算：(1) 0.982 (2) 100124.运用乘法公式计算:(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.5.已知x＋y＝3，xy＝－7，求：(1)x2＋y2的值；(2)x2－xy＋y2的值；(3)(x－y)2的值． 答案引入思考解 1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a b)2 的形式 教师出示正确答案。1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32=40000-1200+9 =38809提炼概念典例精讲 例2 (1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2 =6x+9(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3]= (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9；(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)= x2+10x+25－(x2－5x+6) = x2+10x+25－x2+5x－6= 15x+19 .做一做（1）a2（2）b2（3）(a+b)2（4）第三天多，多2ab因为(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab巩固训练C2. 24ab3.4.5.解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23；解：x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30；解：(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37.
课堂小结 这节课你学到了什么？运用完全平方公式进行简便运算时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 还是(a b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．常用变形(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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