第九章 图形的相似 章末复习（含答案）
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《第九章 图形的相似》
章末复习
考点突破
考点一 成比例线段
1.如果四条线段的长度3，x，5，y满足，那么下列各式中一定不成立的是( )
2.同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是8米，而同一时刻，量得某一身高为1.5米的同学的影长为1米，则旗杆的高度是＿＿＿＿米.
考点二 平行线分线段成比例
3.如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，则BE∶EC为( )
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3
第3题图 第4题图
4.如图，AD∥BE∥CF，AC，DF相交于点O，OA·OB：BC=4∶8∶3，若DF=45，则OF的长为____________.
考点三 三角形相似的判定与性质的应用
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G.若BG=8，则△CEF的周长为( )
A. 16 B.17 C. 24 D. 25
第5题图 第6题图
6.如图，四边形ABCD为矩形，E为BC上的一点，满足AB·CF=BE·CE，连接DE，延长EF交AD的延长线于点M.若AF ，∠DEF=15°，则∠M的度数为________°.
7.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且
(1)求证：△ABC∽△AFD；
(2)若AD=2，BC=5，△ADE的面积为4，求：△BCE的面积.
考点四 相似三角形的实际应用
8.如图所示为一种雨伞的截面图，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF=40 cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭.若AB=3AE，AD=3AO，此时B，D两点间的距离为( )
A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.120 cm
第8题图 第9题图
9.如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，则栏杆端点D离地面的距离为＿＿＿米.
10.如图，有五本形状为长方体的书放置在矩形书架中，其中四本竖放，第五本斜放.每本书的厚度为4 cm，高度为20 cm.
(1)找出图中的相似三角形，并证明；
(2)当CD=16 cm时，求书架的宽BF.
考点五 位似
11.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标为(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是( )
A.-2a+3 B.-2a+1 C.-2a+2 D.-2a-2
素养提升
12.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
第12题图 第13题图
13.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，连接BE，则下列结论中，错误的是( )
A.FA:FB=1:2 B.AE:BC=1:2 C.BE:CF=1:2 D.S△ABE:S△FBC=1:4
14.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E，F在边AD上，BF和CE交于点G.若则阴影部分的面积为( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
第14题图 第15题图
15.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°.若点B的坐标为(6，0)，则点C的坐标为＿_____＿＿.
16.把两块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式拼接在一起，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则
17.如图，在△ABC中，点D在边AC上，DE∥BC，DF∥AB.
(1)求证：△DFC∽△AED；
(2)若，求的值.
18.小明想用镜子测量一棵松树的高度.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在点D处，人在点H处时正好在镜子中看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.7 m，量得CD=12 m，CF=1.8 m，DH=3.8 m，请求出这棵松树的高.
19.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上一点， 连接CH并延长，交AB于点G，连接GE并延长，交AD的延长线于点F.
(1)求证
(2)若 CGF=90°,求的值.
参考答案
[考点突破]
1.C 2.12 3.B 4. 33 5.A 6.60
7.(1∵∠BAF=∠DBC,∴∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF，即∠AFD=∠ABC.∵∴△ABC∽△AFD.
(2)由(1)，得△ABC∽△AFD，∴∠ADE=∠ACB.∵∠AED=∠BEC,∴△ADE∽△BCE.∵AD=2,BC=5,∴∴S△BCE=25 .
8.D 9.2.4
10.(1)△CDE∽△EFG ∵∠CDE=∠EFG=∠CEG=90°,∴∠CED+∠GEF=90°,∠EGF+∠GEF=90°.∴∠CED=∠EGF.∵∠CDE=∠EFG=90°，∴△CDEC∽△EFG .
(2)由题意，可知EG=4 cm，CE=20 cm，CD=16 cm.∵∠CDE=90°,∴ .∵△∽△即解得EF= ∴BF=BD+DE+EF=∴书架的宽BF为 .
11.A
[素养提升]
12.C 13.C 14.C 15.(2, 16.
17.(1)∵DF∥AB,DE∥BC,∴∠DFC=∠B,∠AED=∠B.∴∠DFC=∠AED.又∵DE∥BC，∴∠C=∠ADE.∴△DFC∽△AED .
(2)由(1)，知△DFC和△AED的相似比为 .
18.根据反射定律，得∠ECF=∠ACB，∠GDH=∠ADB.∵AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,∴∠ABC=∠EFC=∠GHD=90°.∴△FEC∽△BAC,△GDH∽△ADB.∴ 设AB=x m，BC=y m，则解得 ∴这棵松树的高为10.2 m .
19.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB.∴∠CEH=∠GBH.又∵∠EHC=∠BHG，∴△CEH∽△GBH. .
(2)过点E作EM⊥AB于点M，则易知EM=BC=AD，AM=DE.∵E为CD的中点，∴DE=EC.设DE=EC=3 a，则由四边形ABCD是矩形，可知AB=CD=6 a.由(1)，得 5 a.∵易得∠EDF=∠EGC=90°，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△∴GE·EF= ∵CD∥AB，∴∠FDE=∠A.又∵∠F=∠F，∵△FDE∽△在Rt△EMG中，易得 .
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《第九章 图形的相似》
章末复习
考点突破
考点一 成比例线段
1.如果四条线段的长度3，x，5，y满足，那么下列各式中一定不成立的是( )
2.同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是8米，而同一时刻，量得某一身高为1.5米的同学的影长为1米，则旗杆的高度是＿＿＿＿米.
考点二 平行线分线段成比例
3.如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，则BE∶EC为( )
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3
第3题图 第4题图
4.如图，AD∥BE∥CF，AC，DF相交于点O，OA·OB：BC=4∶8∶3，若DF=45，则OF的长为____________.
考点三 三角形相似的判定与性质的应用
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G.若BG=8，则△CEF的周长为( )
A. 16 B.17 C. 24 D. 25
第5题图 第6题图
6.如图，四边形ABCD为矩形，E为BC上的一点，满足AB·CF=BE·CE，连接DE，延长EF交AD的延长线于点M.若AF ，∠DEF=15°，则∠M的度数为________°.
7.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且
(1)求证：△ABC∽△AFD；
(2)若AD=2，BC=5，△ADE的面积为4，求：△BCE的面积.
考点四 相似三角形的实际应用
8.如图所示为一种雨伞的截面图，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF=40 cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭.若AB=3AE，AD=3AO，此时B，D两点间的距离为( )
A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.120 cm
第8题图 第9题图
9.如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，则栏杆端点D离地面的距离为＿＿＿米.
10.如图，有五本形状为长方体的书放置在矩形书架中，其中四本竖放，第五本斜放.每本书的厚度为4 cm，高度为20 cm.
(1)找出图中的相似三角形，并证明；
(2)当CD=16 cm时，求书架的宽BF.
考点五 位似
11.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标为(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是( )
A.-2a+3 B.-2a+1 C.-2a+2 D.-2a-2
素养提升
12.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
第12题图 第13题图
13.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，连接BE，则下列结论中，错误的是( )
A.FA:FB=1:2 B.AE:BC=1:2 C.BE:CF=1:2 D.S△ABE:S△FBC=1:4
14.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E，F在边AD上，BF和CE交于点G.若则阴影部分的面积为( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
第14题图 第15题图
15.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°.若点B的坐标为(6，0)，则点C的坐标为＿_____＿＿.
16.把两块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式拼接在一起，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则
17.如图，在△ABC中，点D在边AC上，DE∥BC，DF∥AB.
(1)求证：△DFC∽△AED；
(2)若，求的值.
18.小明想用镜子测量一棵松树的高度.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在点D处，人在点H处时正好在镜子中看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.7 m，量得CD=12 m，CF=1.8 m，DH=3.8 m，请求出这棵松树的高.
19.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上一点， 连接CH并延长，交AB于点G，连接GE并延长，交AD的延长线于点F.
(1)求证
(2)若 CGF=90°,求的值.
参考答案
[考点突破]
1.C 2.12 3.B 4. 33 5.A 6.60
7.(1∵∠BAF=∠DBC,∴∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF，即∠AFD=∠ABC.∵∴△ABC∽△AFD.
(2)由(1)，得△ABC∽△AFD，∴∠ADE=∠ACB.∵∠AED=∠BEC,∴△ADE∽△BCE.∵AD=2,BC=5,∴∴S△BCE=25 .
8.D 9.2.4
10.(1)△CDE∽△EFG ∵∠CDE=∠EFG=∠CEG=90°,∴∠CED+∠GEF=90°,∠EGF+∠GEF=90°.∴∠CED=∠EGF.∵∠CDE=∠EFG=90°，∴△CDEC∽△EFG .
(2)由题意，可知EG=4 cm，CE=20 cm，CD=16 cm.∵∠CDE=90°,∴ .∵△∽△即解得EF= ∴BF=BD+DE+EF=∴书架的宽BF为 .
11.A
[素养提升]
12.C 13.C 14.C 15.(2, 16.
17.(1)∵DF∥AB,DE∥BC,∴∠DFC=∠B,∠AED=∠B.∴∠DFC=∠AED.又∵DE∥BC，∴∠C=∠ADE.∴△DFC∽△AED .
(2)由(1)，知△DFC和△AED的相似比为 .
18.根据反射定律，得∠ECF=∠ACB，∠GDH=∠ADB.∵AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,∴∠ABC=∠EFC=∠GHD=90°.∴△FEC∽△BAC,△GDH∽△ADB.∴ 设AB=x m，BC=y m，则解得 ∴这棵松树的高为10.2 m .
19.(1)∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB.∴∠CEH=∠GBH.又∵∠EHC=∠BHG，∴△CEH∽△GBH. .
(2)过点E作EM⊥AB于点M，则易知EM=BC=AD，AM=DE.∵E为CD的中点，∴DE=EC.设DE=EC=3 a，则由四边形ABCD是矩形，可知AB=CD=6 a.由(1)，得 5 a.∵易得∠EDF=∠EGC=90°，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△∴GE·EF= ∵CD∥AB，∴∠FDE=∠A.又∵∠F=∠F，∵△FDE∽△在Rt△EMG中，易得 .
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