湘教版九年级数学上学期学案

茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的应用（4）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
列出一元二次方程的解决与商品销售利润有关的简单实际问题
重点难点
重点：能根据题意分析问题找出相等关系，设好未知数列出符合题意的一元二次方程
难点：分析题意找出等量关系
学习过程：
一、课前抽测：
（1）如果某商品的原来的产量为A，平均每次的增长或下降的百分率是X，经过连续两次变化后的产量达到B，则可以列出的方程是
（2）商品销售获得的利润=销售价—（ ），利润率=

二、合作探究
（1）某种儿童玩具每件的进价是20元，如销售每件这种玩具获得 的利润是5元，则每件玩具的销售价格是 元，利润率是
（2）某服装店将进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月可以售出300件，经过试销发现每件内衣每涨价1元，其销售量就减少1件，为了实现每月利润8000元，求每件内衣的定价是多少？
分析：设每件定价为元，则此时每件内衣获得的利润是（ ）元，相对原售价每件涨价了（ ）元，每月减少了（ ）件内衣的销售量，实际上每月销售的内衣是（
）件，根据题意可得的方程是 。
请解出方程，写出作答
三、展示质疑：
某商场销售一种名牌村衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件
若商场平均每天要盈利1200元，每件村衫应该降价多少元？
经过降价的措施，商场利润能否达到1300元
四、课堂练习：
某旅行社在某地组织旅游团到北京旅游参观，每人的旅费、参观门票等费用共需要3200元。如果把每人的受费标准定为4600元，那么只有20人参加旅游团；如果高于4600元时，没有人参加旅游团。从4600元每降低100元，参加的人数就增加10人，
（1）每人收费标准定为多少时，该旅行社从这个旅游团可以获得利润64000元
（2）有没有可能获得大于64000元的利润
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的小结与复习
主备人
邓胜艳
审核人
段回娇
学习目标
掌握一元二次方程的概念
能灵活的解一元二次方程
会建立一元二次方程的模型解决简单的实际问题
理解一元二次方程中 的作用
重点难点
重点：会用合适的方法解一元二次方程
难点：能用一元二次方程解决实际问题。
学习过程：
一、课前抽测：
1、下列方程中，关于X的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、解下列方程：
(1) (2)
3、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡56张，这个小组共有（　）人
（A）7　　（B）8　　（C）14　　（D）4
二、自主学习：
1、一元二次方程的定义及一般形式
定义 ⑴ ⑵
⑶
一般形式
2、一元二次方程的几种解法：
3、用公式法接一元二次方程的步骤① ②
③ ④
4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。
五、达标检测：
1、方程的解是____________________
2、方程的解是____________________
3、填上适当的数，使等式成立。
4、若X=1是一元二次方程的根，则a+b=______
5、若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
6、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番.在本世纪的头二十年（2001年－2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（　　）
（A）　（B） （C） （D）
7、 解下列方程：
（1） （2）
8、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的应用（1）
主备人
审核人
学习目标
建立一元二次方程模型解有关数与数之间的应用题
能灵活的运用根的判别式解题
重点难点
重点：能用一元二次方程解有关数与数之间的应用题
难点：能灵活的运用根的判别式
学习过程：
一、课前抽测：
1、解方程：
2、不解方程，判断方程的根的情况：
二、自主学习：
问题1、当取什么值时，一元二次多项式与一元一次多项式的值相等？
问题2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
三、合作探究：
通过上面问题2，可得到一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两个相等的实数根时， ；当方程没有实数根时， 。
注意：方程有实根时，①② 。
四、展示质疑：
展示1、当取什么值时，一元二次多项式的值等于40？
展示2、当取什么值时，一元二次方程
（1）有两个不相等的实数根 ？ (2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
五、达标检测：
1．当 时，代数式与代数式的值相等。
2、方程的一个根是4，则另一个根是 ， 。
3、已知与是同类项，求的值
4、若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 。
六、总结提升：
1．本节课要求我们能灵活运用根的判别式来解题。
2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的应用（二）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1 会建立一元二次方程模型解决与面积相关的实际问题，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性
2 感受数学的应用价值

重点难点
重点：建立一元二次方程模型解决实际问题；
难点：把实际问题化归为一元二次方程
学习过程：
一、课前抽测：
当为何值时，一元二次多项式与一元一次多项式的值相等？
二、自主学习：
问题一：
菱形的对角线有何性质？菱形的面积如何计算？
问题二：
见教材例5中的图形要求的无盖盒子底面积是指哪一部分面积？设截去小正方形的边长为，折后盒子的底面长为 宽为 。
三、合作探究：
上述两个问题中，你认为建立方程的关键是什么？（ 找等量关系）
2．你学习了那些面积公式？
3．求解一元二次方程面积问题的应用题的一般步骤是：
（1）找到对应要求的面积；
（2）把相应面积列成数学表达式；
（3）根据题意构造方程；
（4）解方程；
（5）根据实际验证结果，写出答案。
四、展示质疑：
展示1. 梯形的下底比上底长3cm，高比上底短1cm，面积为26 ，如果设上底为cm，依题意可得方程：_________________
展示2. 如图1，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．（部分参考数据：，，）
五、达标检测：
1 从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是35 ，那么原正方形铁片的面积是（ ）
A 25 , B 49 C 81 D 36
2 用一块长为40cm，宽为30cm的硬纸板，在四个角上截去四个相同的边长为xcm的小正方形，做成底面积为600的没有盖的长方体盒子，为求出x ，依题意得方程不正确的是（ ）
A (40-2x)(30-2x)=600 B 1200-2×40x-2x (30-2x)=600
C 4+2x (30-2x)+2×40x) =1200-600 D (40+x) (30+x)=600
3如图3将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园，花园中每个角的扇形都相同（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）求扇形的半径。
六、总结提升：
1．本节课我们重点学习了一元二次方程面积问题的应用题，它的解题步骤有哪些？
2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的应用（3）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
能建立一元二次方程模型解决增长率问题.
重点难点
重点：建立一元二次方程模型解决增长率问题.
难点：建立一元二次方程模型.
学习过程：
一、课前抽测：
教材P24练习1：
请你建立关于截去的小正方形的边长的方程
二、自主学习：
问题：
我校图书室2009年藏书5万册，2010年增加25%的藏书，这年藏书____________册，2011年再次增加25%的藏书，2011年藏书为_________册；若两年的增加率均为时，2011年的藏书又为_______________册.
三、合作探究：
若一商品的原产量为A，每次增长或下降的百分率为，经过一次的产量为B，则B= ，经过两次的产量为C，则C= .
四、展示质疑：
某城市现有人口100万，2年后为121万，求这个城市的人口的平均年增长率.
五、达标检测：
1．上海世博会的某纪念品原价为168元，连续两次降价﹪后售价为128元，则下列所列方程中正确的是（ ）
A .168（1+﹪）2=128 B .168（1-﹪）2=128
C .168（1-2﹪）=128 D .168（1-﹪）=128
2．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为多少？
六、总结提升：
本节课我们主要通过建立一元二次方程模型解决增长率问题，对于此类问题必须熟悉每个字母所代表的含义.
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的解法综合
主备人
审核人
段回娇
学习目标
巩固一元二次方程的概念
熟练掌握一元二次方程的解法

重点难点
重点：熟练掌握一元二次方程的解法
难点：能根据所给一元二次方程的特点灵活运用恰当的方法解一 元二次方程
学习过程：
一、课前抽测：
(2) 一元二次方程的基本解法有 、 、 、
（3）方程的解是 ，方程的解是
二、合作探究：
活动一：说出一元二次方程的概念并写出一元二次方程的一般形式以及它的求根公式
练习：已知关于的 方程当它是一元二次方程。当它是一元 一次方程。
活动二：请选用恰当的方法解下列一元二次方程
① ②
③ ④

⑤ ⑥
三、展示质疑：
各组成员之间或组与组之间相互交流上述问题的处理看法
四、达标检测：
（1）方程的根是
（2）方程的解是
（3）若两个数的和 为10，积为16，设其中一个为，则列出的方程为 这两个数是
（4）用适当的方法解下列方程
① ② ③
五、总结提升：
1．本节课我们重点学习了什么 ？
2．通过这节课的学习，你对解一元 二 次方程还有存在什么疑难？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的解法(配方法1)
主备人
审核人
段回娇
学习目标
经历探究将一元二次方程的一般形式转化为的形式的过程，进一步理解配方法的意义
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想。

重点难点
重点：了解解一元二次方程配方法的解题过程及配方法的目的；
难点：解一元二次方程的配方法的步骤.
学习过程：
一、课前抽测：
解下列一元二次方程
① ②
二、自主学习：
问题一：填上适当的数，使下列等式成立：
(1) +____ = (2) ____ = (___)
(3) ____ = (____) （4）－x＋_____＝（x－____）2
问题二：由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
_____________________________________________________
三、合作探究：
请阅读教材第37页，解方程完成如下问题：
1、通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了 ，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。
3、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
①、移项，把常数项移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的
平方，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
四、展示质疑：
展示1.将下列二次多项式配方：
（1） （2）
展示2. 解下列方程
（1） （2）
五、达标检测：
解下列方程：（做完后同桌相互查找问题，进行纠正）
1、填上适当的数，使下列等式成立：
(1) (2)
(3) （ ）2=（x- ）2
2、将方程配方后，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
3、解下列方程：
(1) (2)
六、总结提升：
1．本节课我们重点学习了配方法的定义，你认为配方需要注意那些细节？
2.配方法的基本步骤是？
3．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的解法（公式法1）
主备人
邓胜艳
审核人
段回娇
学习目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。
培养学生准确快速的计算能力。

重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并会熟练地用它解一元二次方程
难点：对求根公式的推导的理解和应用
学习过程：
一、课前抽测：
用配方法解
二、自主学习：
你会用配方法解（）吗？（见教材P15-16页）
三、合作探究：
通过上面的计算可以发现，一元二次方程（）的解可直接用上面的公式，即求根公式：
注意：前提条件是
四、展示质疑：
展示1、用公式法解下列方程
（1） （2）
（4） （3）
总结求根公式法的步骤1、 2、
3、 4、
五、达标检测：
1．解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
六、总结提升：
1．本节课我们重点学习了用公式法解一元二次方程，前提条件是
步骤是

2．注意点：
（1）公式法是解一元二次方程的一般方法.
(2) 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的解法（公式法2）
主备人
邓胜艳
审核人
段回娇
学习目标
会用根的判别式判断一元二次方程根的情况，理解一元二次方程根的情况和根的判别式之间的关系。

重点难点
重点：掌握一元二次方程根判别式
难点：会用根的判别式进行应用
学习过程：
一、课前抽测：
用公式法解下列方程：
（1） (2)
(3)
二、合作探究：
通过上面的计算可以发现，根据的值的符号，可以判定一元二次方程 （）的根的情况，所以我们把叫作一元二次方程 （）的根的判别式。
1、当＞0时，有 ，其根为 。
2、当＞0时，有 ，其根为 。
3、当＞0时，没有 。
三、展示质疑：
展示1、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） （2）
（3） （4）
展示2、当取什么时，方程有两个相等的实数根？求这时方程的根。
展示3、已知关于的方程
求证：无论取何知，方程总有实数根。
四、达标检测：
1．不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） （2）
2、关于的方程有两个相等的实数根，则
已知关于的方程有不两个相等的实数根，求的取值范围
五、总结提升：
1、本节课我们重点学习根的判别式,一元二次方程
当时，方程有 实数根:
当时,方程有 实数根：；
当时，方程 实数根。
2、你还有什么疑惑？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的解法（十字交叉法）及韦达定理
主备人
审核人
学习目标
学习用十字交叉法解形如的一元二次方程
掌握由一元二次方程的求根公式推出一元二次方程中的两个根的和(积)与它的系数之间的关系（韦达定理）

重点难点
重点：1.掌握用十字交叉法解形如的一元二次方程
2.一元二次方程的两个根的和(积)与它的系数之间的关系（韦达定理）及运用
学习过程：
一、课前检测
分解因式①= 。②=
二 、合作探究：
活动一：结合上面两个自测题小组讨论形如的二次三项式怎样分解因式，从而理解怎样解形如的一元二次方程
活动二：方程的判别式是 ，求根公式是
其中 ， ，请你求出 ， 。你能用文字语言概括出这两个式子的结论
三、展示质疑：
（1）请用十字相乘法解下列一远而次方程
① ②
③ ④
（2）已知方程的两个根分别是，不解方程直接完成下列各小题
① ， 。 ②
③ ④
四、达标检测：
（1）方程的根是
（2）方程的解是
（3）若是方程=0的两个根 ， 。 ，
（4）知方程的一个根是—3，求方程的另一个根及k的值
五、总结提升：
1．本节课我们重点学习了用十字交叉法解形如的一元二次方程以及一元二次方程根与系数之间的关系及运用
2．通过这节课的学习，你对解决本节课要求解决的问题还有存在什么疑难？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的解法（因式分解法）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
进一步巩固直接开平方法解一元二次方程；
掌握因式分解法解一元二次方程；
能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
重点难点
重点：因式分解法解一元二次方程.
难点：能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法
学习过程：
一、课前抽测：
1．解方程
2．分解因式：
（1） （2）
二、自主学习：
你能借鉴上述分解因式对抽测中的方程提出其它解法吗？
问题一：解方程
另解：它的右边为0，左边因式分解得 =0
于是得 =0或 =0
所以 或
问题二：
解方程
分析：它的右边为0，左边因式分解得 =0
于是得 或
所以 或
三、合作探究：
以上解方程的方法是如何使二次方程降为一元一次的？
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为 的形式，
再使 ，从而将一元二次方程化为两个一元一次方程来解，这种解法叫做因式分解法.
2、如果，那么或，这是因式分解法的根据.如：如果，那么或_______，即或_______.
四、展示质疑：
展示1.
解方程
展示2.
解方程
展示3.
解方程
五、达标检测：
1．说出下列方程的根：（1） （2）
2．下面是小刘同学对一方程的解答过程，请你判断它是否正确，若不正确，帮他改正.
解方程
解：方程两边同除以得
3．解方程

六、总结提升：
1．本节课我们主要学习了因式分解法（平方差公式、提取公因式）解一元二次方程；
2．因式分解前，首先得通过移项将方程右边化为0；
3．解方程时不要在方程两边轻易除以公因式.
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
一元二次方程的解法（直接开平方法）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1．会利用直接开平方法解解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；
2．培养学生的转换思想；
重点难点
重点：利用直接开平方法解一元二次方程；
难点：将方程转化成直接开平方的形式.
学习过程：
一、课前抽测：
1．下列是一元二次方程的有
A. B. C. D.
2．36的平方根是________,的平方根是____________.
二、自主学习：
问题一：
若，则=______________；若，则=__________
问题二：
解方程
三、合作探究：
请你根据上述两个问题归纳：
1、形如或的一元二次方程可利用平方根的
定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法；
2、如果方程能化成或的形式，那么可得 ，
或 .
四、展示质疑：
展示1. 解方程
展示2. 解方程
展示3. 解方程
五、达标检测：
1．解方程
2．解方程
3．解方程
六、总结提升：
1．本节课我们主要学习了直接开平方法解一元二次方程； 。
2．直接开平方法解一元二次方程的条件： 。
教（学）反思：
《一元二次方程》课堂测试题
一、选择题(每小题3分，共24分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
2、方程的解为（ ）A. x＝2 B. x1＝，x2＝0 C. x1＝2，x2＝0 D. x＝0
3、解方程的适当方法是（ ）
A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法
4、已知m方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A.—1 B.0 C.1 D.2
5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为 D.3y2-4y-2=0化为
6、从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A.9cm2 B.68cm2 C.8cm2 D.64cm2
二、填空题(每小题3分，共18分)
7、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
8、配方：x2 —3x+ __ = (x —__ )2； 4x2—12x+15 = 4( )2＋6
9、方程的解是________,方程的解是__________。
10、若方程mx2+3x-4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
11、已知代数式x(x－5)+1与代数式9x-6的值互为相反数，则x= .
12、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .
三、解答题(每小题7分，共28分)
13、解下列方程：
① ②x2 —4x+1=0
③3x2+5(2x+1)=0 ④ 3(x-5)2=2(5-x)
四、应用题
14、（10分）某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年捐款1.44万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
15.（10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。求鸡场的长和宽。
16、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根。求此三角形的周长。
xkb1.com
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
建立一元二次方程的模型
主备人
审核人
段回娇
学习目标
了解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式 （，以及一般形式中的相关概念；
能熟练地把一元二次方程整理成一般形式；
3．能从实际问题中抽象出方程知识.
重点难点
重点：了解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式 ，以及一般形式中的相关概念；
难点：一元二次方程的概念理解.
学习过程：
一、课前抽测：
下列是一元一次方程的有
① ② ③ ④
二、自主学习：
问题一：
问题1：已知一个长方形的面积为6m2，其中长比宽多1m，若长为m，则可得方程为
问题二：
见教材P2问题1和问题2
三、合作探究：
上述三个问题中对应的三个方程整理后共有几个未知数？
2．方程左边含有未知数的最高次项的次数是几次？
3．我们把上面这种类型的方程叫什么方程？
4．判断一个方程是一元二次方程的标准有（1） 整式方程、（2） 只含有 、 （3） ，且二次项的系数不为0 .
5．一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是 、 、 .
四、展示质疑：
展示1.将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
展示2. 在下列关于的方程中，是一元二次方程的有 （填序号）
① ② ③ ④
展示3.关于的方程是一元二次方程，求实数的值.
五、达标检测：
1．下列方程中，是一元二次方程的有 （填序号）
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 、 、 .
3．把方程化为一般形式是
4．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是
5．已知方程是关于的一元二次方程，求实数的值.
六、总结提升：
1．本节课我们重点学习了一元二次方程的定义，你认为应该从哪些方面把握好定义的应用？
2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
比例的基本性质，黄金分割
主备人
邓胜艳
审核人
学习目标
1、理解比例的基本性质。
2、能根据比例的基本性质求比值。
3、能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。
4、了解黄金分割的概念
重点难点
重点：比例的基本性质。
难点：比例的基本性质的灵活运用
学习过程：
一、课前抽测：
1、下列四组线段中，成比例的是 （ ）
A 3,6,7,9 B 3,6,9,18 C 2,5,6,8 D 1,2,3,4
2、已知线段成比例，其中，则等于
二、自主学习：
问题1：如果四条线段a、b、c、d是成比例线段，即=
那么吗？
问题2、如果，则
问题3：如果，那么
问题4：美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？
三、合作探究：
通过上面问题1，可得到比例的基本性质： (a、b、c、d都不为零)
说明：由==>ad＝bc的形式是唯一的，而由ad＝bc=>=的形式不唯一。
黄金分割：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中项（即），就叫做线段AB被点C黄金分割，点C叫做黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比。
黄金分割比为，较长线段AC=AB，较短线段BC= AB
四、展示质疑：
展示1、已知，则下列式子中成立的是（ ）
A B C D 以上都不成立
展示2、若，则
展示 3、已知，求的值
五、达标检测：
1 、若，则的值为 。
2、若，且，则
3、若点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则AM= AB,BM= AB.
六、总结提升：
1、比例的基本性质：
2、由ad＝bc=>哪些比的形式：

3黄金分割比为 ，较长线段AC= AB，较短线段BC= AB
教学反思：
学习反思
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
相似三角形性质与判定（2）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
掌握相似三角形的判定定理（2）；
运用类比的思想方法，探究出相似三角形的对应高及对应面积的比；
运用相似三角形的性质解决有关问题.
重点难点
重点：两三角形相似的判定定理2及它的应用.
难点：利用判定定理2探究出相似三角形的面积比与相似比的关系.
学习过程：
一、课前抽测：
二、自主学习：自学教材P74-75例4
有两个三角形△ABC和△A’B’C’
问题一：若∠A=∠A’=30°，则△ABC∽△A’B’C’吗？
问题二：若∠A=∠A’=30°，若∠B=∠B’=60°，则△ABC∽△A’B’C’吗？
问题三：若∠A=∠A’=45°，若∠B=∠B’=45°，则△ABC∽△A’B’C’吗？
三、合作探究：
探究1：判定定理2
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
即： 的两个三角形相似.
探究2：如图，△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，
AD与A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，
则（1）△ABD和△A’B’D’相似吗？为什么？
（2）
（3）
结论：相似三角形面积的比等于 .
四、展示质疑：
展示1．如右图，（1）若=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．
（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．
（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．
展示2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，
那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是（ ）．
A．△DBE B．△ADE C．△ABD D．△BDC
展示3. 如上题图，已知等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC，（1）求证：△BCD∽△ABC
（2）求 的值．
五、达标检测：
六、总结提升：
教学反思：
学习反思
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
相似三角形的性质与判定（3）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
掌握两三角形相似的判定定理3；
会利用判定定理3判定三角形相似，并解决三角形相关边角问题.
重点难点
重点：两三角形相似的判定定理3的应用
难点：利用判定定理2证明三角形相似
学习过程：
课前抽测：
1．一个三角形变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，
则面积扩大为原来的 ______ 倍。
2．如图，在△ABC中，DE//BC，若，
则△ADE与△ABC的面积比为 .
二、自主学习：自学教材P77
问题：如图，在中，D、E分别在边AB和AC上，
（1）若D、E分别为边AB和AC的中点，则 ，，
（2）若D、E均为靠近点A的三等分点，则 ，，
在（1）、（2）的情况下与分别相似吗？
上述两种情况下，两三角形总有两条对应边 ，且有一个角 ，而两三角形一定 .
三、合作探究：
判定定理3：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应 ，
且 ，那么这两个三角形相似.
即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
四、展示质疑：
展示1.已知在与中，∠C=∠=90°，AC=3，BC=2，，求证：∽
展示2. 已知在与中，∠C=∠F，AC=3.5,BC=2.5,DF=2.1,EF=1.5
求证：∽ （2）若AB=4.5,求DE的长.
展示3. 已知在与中，∠=∠=90°，AB=5，AC=3，，求证：∽
五、达标检测：
1.如右图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，
AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（ ）．
A．
2. 如左下图，若AC2=CD·CB，则△_______∽△_______，∠ADC=________．
3. 如右上图，ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（ ）．
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
六、总结提升：
1．本节课我们重点学习了判定两三角形相似的定理3；
2．通过这节课的学习，会利用判定定理3解决相似三角形的边角及证明问题.
教（学）反思：
相似三角形的性质和判定测试
姓名 得分
填空题 (每题3分,共30分)
1、相似三角形对应 、 、 的比都等于相似比．
2、相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ．
3、如图，要使ΔABC∽ΔACD，从角的角度，需补充的条件是　　　　　　　　　　　　．
4、已知ΔABC∽ΔA′B′C′，若AC＝1，A′C′＝2，则ΔA′B′C′与ΔABC的相似比是　　　　　　．
5、已知ΔABC∽ΔA′B′C′，ΔABC的周长是20cm，ΔA′B′C′的周长是12cm，ΔABC的最长边为8cm，则ΔA′B′C′的最长边是　　　　　cm．
6、如图，P是ΔABC的边AB上一点，若ΔAPC∽ΔACB，，则∠1＝∠　　　　．
7、在ΔABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝8，在AC上取一点M，当AM的长为　　　　 时，
ΔAMB∽ΔABC．
（第11题） （第13题）
8、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。
9、若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 ；若△ABC的面积为18cm2,则△A′B′C′的面积为 cm2。
10、两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别是40°和30°，则另一个三角形的最大内角的度数是　　　　　　．
二、选择题 (每题3分,共30分)
11、如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC与D，DE⊥AB与E，若AD=3，DE=2，则AC=（ ）
A、 B、 C、 D、
12、下列三角形中，一定相似的是（　 ）
　A．两个等腰三角形　B．两个直角三角形　C．两个等边三角形　D．两个钝角三角形
13、如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则图中相似三角形的对数是（　 　）
　A．3对　　　　B．4对　　　　　C．5对　　　　　D．6对
14、下列说法中不正确的是（ ）
　A．有一个角是30°的两个等腰三角形相似；B．有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
　C．有一个角是90°的两个等腰三角形相似；D．有一个角是120°的两个等腰三角形相似；
15、下列说法不正确的是（ ）
两对应角相等的三角形是相似三角形；
B、两对应边成比例的三角形是相似三角形；
C、三边对应成比例的三角形是相似三角形；
D、以上有两个说法是正确。
16、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ ）
A、2对 B、3对 C、4对 D、5对
(第16题) (第17题) (第18题)
17、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（ ）
A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C、 D、
18、如图，RtΔABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，AB＝5，AC＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD＝( )
　 A．2　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．
19、已知D、E为△ABC的边AB、AC上的两点，且AB=8，AC=6，AD=4，AE=3，
：=（ ）
A、1∶2 B、1∶4 C、1∶3 D、2∶5
20、我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1 000万的地图上的面积约是（　　）
A．960平方千米 B．960平方米 C．960平方分米 D．960平方厘米
三、解答题（40分）
21、如图6，已知△ABC∽△DEF，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求线段DF，FC的长．
22、已知∠A=∠D,AD、BC交于点O。
（1）、试说明△AOB∽△DOC。
（2）、若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长。
23如图，．
求证：（1）∠BAD＝∠CAE．　　（2）ΔABD∽ΔACE．
24如图，在ΔABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线．
求证：（1）ΔABC∽ΔBCD；　（2）BC2=CD·CA
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
相似三角形的性质和判定（1）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1．理解相似三角形的定义并能利用定义解决有关的问题；
2．掌握相似三角形的判定定理1并会利用它判定两三角形是否相似.
重点难点
重点：相似三角形的判定定理1.
难点：相似三角形判定定理1的应用.
学习过程：
一、课前抽测：
1．若，则 ；
2．若，则.
二、自主学习：
自学教材P71-73，并完成下列目标
目标一：相似三角形的定义：三个角 ，且三条边 的两个三角形叫做相似三角形，若与相似，且、、分别与、、对应，则记作：∽，读作相似于，对应边的比叫做相似比，即：.
注：若∽，则， ， ；且
目标二：
两三角形相似的判定定理1： .
三、合作探究：
填写下表
全等三角形
相似三角形
定义
能够完全 的两个三角形
对应角 ，对应边 的两个三角形
图形性质
形状、大小
形状 、大小
表示方法


性质
对应角 ，对应边
对应角 ，对应边的 相等
区别与联系
☆（1）找对应元素的方法一样(大对大，小对小)
(2)全等三角形是相似比为1的 三角形，但相似三角形 全等
四、展示质疑：
展示1.已知∽，且，，，，求的长及的度数.
展示2. 一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长分别为_________时，这两个三角形相似．
展示3. 如右下图所示的三个三角形中相似的是：
五、达标检测：
1．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ）．
A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 B．△ABC与△A1B1C1不一定相似
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2 D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
2. 已知∽，且,,求的度数.
3．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
4．已知△ACP∽△ABC，AC=4，AP=2，则AB的长为________．
六、总结提升：
1．本节课学习了相似三角形的定义及判定定理1；
2．无论是证明两三角形相似，还是利用三角形相似解决边或角的问题关键是找准对应的边与角.
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
相似多边形（1）
主备人
审核人
学习目标
1、了解相似多边形概念。
2、了解相似多边形的本质特征并能判断两个多边形相似。
重点难点
重点：了解相似多边形概念。
难点：判断两个多边形相似。
学习过程：
一、课前抽测：
1、对应角 ，对应边 的两个三角形叫做 。
2、相似三角形的性质：
。
3、相似三角形的判定方法： ， ， 。
二、自主学习：
通过预习教材P82～83内容，试着完成下面各题：
问题1、对应角 ，对应边 的两个多边形叫做 ，它的对应边之比叫做 。
问题2、判断两个多边形相似时，一要看各个角是否 ，二要看各边是否 ，两个条件缺一不可，它是判定多边形相似的唯一依据。
问题3、相似多边形的性质：相似多边形的对应边之比 ，对应的对角线之
比 ，周长之比为 ，面积之比 。

三、展示质疑：
展示1、若两个相似多边形的周长比是4:9，则它们的对应边的比是 ，对应对角线的比是 ，它们面积的比是 。
展示2、已知四边形ABCD 四边形A1B1C1D1，∠B=60°,∠C=120°,∠D=40°，则∠A1=

展示 3、如果两个相似多边形的面积比为9:25，第一个多边形的周长为36，那么第二个多边形的周长为 。
四、达标检测：
1 、若两个相似多边形的周长比是36:9，它们面积的比是 。
2、如果两个相似的多边形的面积比为3:4，它们的周长比为 。
3、两个相似的五边形的对应边之比为1:2，其中一个五边形的最短边为3㎝，则另一个五边形的最短边为 。
五、总结提升：
1、相似多边形的性质：
。
2、相似多边形的判定方法：
。
注意：两个条件缺一不可。
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
线段的比，成比例线段
主备人
审核人
学习目标
1、了解两条线段的比和比例线段的概念；
2、能根据条件写出比例线段；
3、比例线段在实际问题中的应用。
重点难点
重点：比例线段的概念。
难点：根据具体问题发现等量关系，找出比例式
学习过程：
一、课前抽测：
1、什么是相似形？（举例）
2、相似形具有的性质？
二、自主学习：
完成P64做一做
问题：如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？
三、合作探究：
在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这 ，记为a：b或
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)线段的长度单位有多种，但求比值必需在同一长度单位下，且比值一定是正数，而比值与采用的长度单位无关。
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.
一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即=，那么这四条线段a、b、c、d叫做 ，简称比例线段。
注意：a:b=c:d =，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项，d，叫做a,b,c的第四比例项。
注意这里的字母是泛指，概念只与位置有关，第四比例项必须描述清楚是谁的第四比例项。
四、展示质疑：
展示1、已知线段a=1cm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么?
想一想:你是否还可以写出其他几组成比例的线段.
展示2、某同学要测量学校国旗旗杆的高度，在同一时刻测得某同学身高为1.5,影长是1，旗杆影长为8，则旗杆高度为 。
五、达标检测：
1 、已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是

2、线段AB=10，CD=2，则AB:CD=
3、某中学请张工程师设计学校的矩形花坛的平面图，这个花坛长为20m，宽为12m。
(1)在比例尺为1:100的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少？
(2)在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？
(3)花坛长和宽实际比是多少？
(4)你发现这两个比有什么关系？
六、总结提升：
1、理解两条线段的比及比例线段的概念；
2、判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
公理与定理
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1．了解公理与定理的概念，以及他们之间的内在联系；
2．了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；
3．掌握教材十条公理和已学过的定理.
重点难点
重点：公理和定理的区别和联系.
难点：一个定理的逆定理有无与书写.
学习过程：
一、课前抽测：
1．判断下列命题的真假，并说明理由.
（1）如果四边形ABCD是正方形，那么它是菱形.
（2）如果|a|=3，那么a=3.
2.写出上述两个命题的逆命题.
命题（1）的逆命题：
命题（2）的逆命题：
二、自主学习：
阅读教材P42-P43做一做，并完成下列两个知识目标.
目标一：
人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为 ；运用基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫 ；如果一个定理的逆命题也是 ，则称它是原定理的 ，这两个定理互为 .
目标二：
熟记教材上彩色标记的十条公理与定理.
三、合作探究：
探究1：教材P43动脑筋
探究2：教材P43做一做
四、展示质疑：
展示1：三角形全等的判断定理有 、 、 、 .
展示2：下列命题有逆定理吗？如果有，把它定出来.
两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等；
平行四边形的对边相等；
（3）角平分线上任意一点到角两边的距离相等.
五、达标检测：
1．下面命题中：
（1）旋转不改变图形的形状和大小， （2）轴反射不改变图形的形状和大小
（3）连接两点的所有线中，线段最短，（4）三角形的内角和等于180°
属于公理的有 （填序号）
2．推理：如图：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知)
∴AD=CD,CD=DB( 等腰三角形的性质) ∴AD=DB( )
括号里应填的依据是（ ）
A 旋转不改变图形的大小
B 连接两点的所有线中线段最短
C等量代换
D 整体大于部分
3．定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的
逆定理是：

六、总结提升：
1．本节课我们主要学习了公理与定理的概念，并需要进一步熟悉常用的公理与定理；
2．本节课需要我们加强逆命题或逆定理的书写.
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
命题与定理
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1、了解定义是对于一个概念的特征性质的描述，理清所学过的定义。2、了解命题、真命题、假命题的含义
3、会把简单命题写成“如果┄那么┄”的形式
4、要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举出
反例，奠定推理论证的基础。
重点难点
重点：会判断一个命题的真假
难点：会写一个命题的逆命题
学习过程：
一、课前抽测：
1、两组对边分别平行的四边形是
2、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是
3、能够完全重合的两个图形叫做
垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的
到三角形三边的距离相等的点是这个三角形的（ ）
三条中线的交点
三条角平分线的交点
三条高的交点
三条边的垂直平分线的交点
二、自主学习：
一：教材：了解定义是对于一个概念的特征性质的描述
二：教材①弄清命题的概念，②真命题与假命题的含义以及命题的结构③“证明”及“互逆命题”的定义
三、合作探究：
1、下列语句中，属于定义的是：（ ）
两点确定一条直线
同角的余角相等
两直线平行，内错角相等
点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
2、说出：（1）两点间的距离的定义：
（2）一元二次方程的定义： 。
3、命题的概念的认识
判断下列语句在表述形式上,哪些对事情作了判断?哪些没有对事情作出判断?
对顶角相等（2）画一个角等于已知角（3）两直线平行,同位角相等
（4）a,b两条直线平行吗？（5）鸟是动物（6）若a2=4,求a的值（7）若a2=b2，则a=b
归纳总结：什么是命题
。
4．真命题与假命题
真命题：如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题。
假命题：如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题
下列命题，哪些是真命题，哪些是假命题？对于假命题请举出反例。
等角的补角相等
平行于同一条直线的两条直线互相平行
如果ab=0，那么a=0
两条直线相交，只有一个交点
如果两个角的两边互相平行，那么这两个角一定相等
5．命题的结构
下列命题的叙述方式有什么共同点？
如果a=b且b=c，那么a=c
如果ab=0，那么a=0或b=0
如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等
归纳：在“如果┄那么┄”形式的命题中，“如果”连结部分是 “那么”连结部分是 。
（1）说一说：
①命题“如果a是实数，那么a有且只有两个平方根”，它的条件是
结论是 。
②命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，它的条件是 结论是
（2）把下列命题改写成“如果┄那么┄”的形式，并指出其条件与结论。
①对顶角相等
②同位角相等，两直线平行
③同号两数相加，符号不变
④等边三角形的三边相等
⑤平行四边形是轴对称
⑥负数没有平方根
6．“证明”及“互逆命题”的定义
（1）.说出下列命题的条件和结论，并且指出它是真命题还是假命题：
①如果三角形ABC为等边三角形，那么它的两个内角都为60度
②如果三角形ABC的每个内角都为60度　，那么三角形ABC是等边三角形.
上述两个命题是否为互逆命题？（2.）判断下列命题是真还是假？说出理由.
（1）如果m是自然数，那么m是整数；
（2）如果m是整数，那么m是自然数.
命题（2）是不是命题（1）的逆命题？
教（学）反思
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
2.1 证明（一）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1．了解证明的含义，理解证明的必要性；
2.能用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定解有关几何问题
3.了解证明的基本步骤和书写格式。培养推理意识和表达能力。

重点难点
重点：用平行线的性质、判定定理、三角形的性质定理证明有关几何问题;用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定证明有关几何问题证明有关几何问题
难点：正确填写理由以及寻找证明思路
学习过程：
一、课前抽测：
1.平行线性质定理是：两平行线被第三条直线所截，
2．平行线判定定理是：同位角 ，两直线平行，
3. 角平分线的性质是：角平分线上的点
二、自主学习：
问题一：
什么叫证明？
问题二：证明的书写应注意哪些问题？
三、合作探究：
证明的依据可以是 、 、 等
2．证明的基本步骤是：
（1）写出已知、求证；
（2）写出条件；
（3）在条件后的括号内填写理由；
（4）写出结论；
（5）在条件后的括号内填写理由。
四、展示质疑：
展示1. 见教材练习1
展示2. 见教材练习3
五、达标检测：
1如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（ ）
A 35° B 55° C 45° D 60°
2 (2007 资阳) 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则
∠1+∠2等于（ ）
A 90° B 135° C 270° D 315°

3∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4，则PD等于（ ）
A 4 B 3 D 2 C 1
六、总结提升：
1．证明的基本步骤有？
2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
2.1 证明（三）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1 体会反正法的含义，掌握三角形外心的性质。
2巩固综合法证题的能力，

重点难点
重点：培养演绎推理的能力
难点：利用反证法的证题思想。
学习过程：
课前抽测：
如图，已知△ABC中，∠ABC与
∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边
的高AD上，那么△ABC一定是__________三角形
二、自主学习：
1.什么叫线段的中垂线？它有何性质？
2.三角形中垂线定理：三角形的三条边的中垂线交与__________ ，并且

三、合作探究：
1.反证法的思想：假设 不成立，经过 ，得出 。
2．反证法证明的基本步骤是：
（1）写出已知、求证；
（2）写出结论的反面；
（3）利用证明思路推出新的结论；
（4）说明新结论存在矛盾；
（5）下结论（说明原结论成立）。
四、展示质疑：
展示1. 见教材练习1
展示2. 见教材练习7
五、达标检测：
1.如图（1），在平面四边形中，，为垂足．如果，则 （　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
六、总结提升：
1．证明的基本步骤有？
2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
2.1 证明（三）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1 体会反正法的含义，掌握三角形外心的性质。
2巩固综合法证题的能力，

重点难点
重点：培养演绎推理的能力
难点：利用反证法的证题思想。
学习过程：
课前抽测：
1如图，已知△ABC中，∠ABC与
∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边
的高AD上，那么△ABC一定是__________三角形
2.
二、自主学习：
问题一：等腰三角形质定理是：等腰三角形两底角 ；等腰三角判定定理是：
问题二：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边并且
问题三： 平行四边形的性质是：平行四边形的对边 ，对角线
判定定理：能判定四边形的条件有：①一组对边 ；②两组对边 ；
③两组对边 ；④对角线
三、合作探究：
1.证明的书写要求应有哪些注意点？
2．证明的基本步骤是：
（1）写出已知、求证；
（2）写出条件；
（3）在条件后的括号内填写理由；
（4）写出结论；
（5）在条件后的括号内填写理由。
四、展示质疑：
展示1. 见教材例4
展示2. 见教材例5
五、达标检测：
1.如图（1），在平面四边形中，，为垂足．如果，则 （　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
六、总结提升：
1．证明的基本步骤有？
2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教（学）反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
5.1用频率估计概率
主备人
审核人
学习目标
1、学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率；
2、通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化与估计的数学思想方法。

重点难点
重点：通过对事件发生频率的分析来估计发生的概率；
难点：大量重复实验得到频率稳定值的分析。
学习过程：
课前抽测：
1、什么是频率？怎样计算频率？
自主学习：
1． 叫作随机事件，举例：
2． 叫作随机事件的概率；
三、合作探究：
1. 在随机现象中，一个随机事件发生与否，事先无法预料，表面上看似无规律可循，但当我们大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现 性，因此，做了大量试验后，可以用一个事件发生的 作为这个事件的 。
2如图是某商场设立的一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组数据统计
（1）计算并完成表格
（2）请估计当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率是多少？
（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？
四、展示质疑：
有两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是4和5，从每组牌中各摸出一张称为一次试验，小明一共进行了50次试验
（1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
（2）小明做了50次游戏，作了如下统计，请完成统计表。
（3）根据上表，制作相应的频数分布直方图
（4）你认为哪种情况的频率最大？
（5）如果经过次数足够大的试验，请你估计两张牌数字和等于9的频率是多少？牌面数字和等于8和10的概率又是多少？
五、达标检测：
1、某校进行篮球“三分球”投篮比赛，下表是对篮球运动员投三分球的测试结果：
投篮次数
10
50
100
150
200
命中次数
9
40
70
108
144
命中频率
（1）根据上表，估计该运动员投三分球命中的概率是多少？
(2)根据上表，假设运动员有60次投蓝机会，估计他能得多少分？
六、总结提升：
1．频率与概率的关系是？
2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教学反思：
学习反思
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
5.2用列举法计算概率
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1、能利用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。
2、养成良好的学习习惯，提高及时地回顾反思能力。

重点难点
重点：概率的概念；
难点：例举法的两种方法。
学习过程：
课前抽测：
1、抛掷一枚硬币试验，落地后可能出现几种情况？
2、抛掷两枚硬币，落地后可能出现几种情况？
自主学习：
抛掷A、B两枚硬币试验，可能出现的结果有： 、 、
、 四种。
三、合作探究：
为了既不重复、有不遗漏地列举出所有这些等可能的结果，可采用树状图或列表的方法列举所有结果。
1、用树状图列举简单事件发生的概率

通过树状图，可以比较直观地列举出所有的等可能的四种结果，从而计算出每种结果发生的概率。
应用树状图列举通常采取的步骤有哪些？
2、列表分析结果，计算概率
正面
反面
正面
反面
从表中可看出：两枚硬币朝上的面出现“一正一反”的结果有两种，共有四种等可能的结果，所以 P（一正一反）==
四、展示质疑：
1、袋中装有一个红球和一个黄球，他们的质地、大小都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇动后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是多少？
2、张明与王红只分得一张足球票，到底谁去呢？王红出主意用手中的三张扑克牌来决定谁去，规则如下：
牌面分别为1、2、3的三张扑克牌，将牌洗匀后，随机摸出一张，记数放会混匀，再摸一张，将两次牌面数字求和。如果和为4，王红去，如果和为2则张明去，否则重抽。
张明认为规则不公平,而王红认为很公平。两人争论不休。你认为公平吗？
五、达标检测：
1、某校有A、B、C三个餐厅，甲、乙两名学生各随机选取一个餐厅用餐，求甲、乙两人在同一餐厅用餐的概率。
2、小红有红、蓝、白三件上衣，有红、蓝两条裤子，各任取一件，恰好同色的概率是多少？
六、总结提升：
1．求概率的方法：（1）利用概率的定义直接求概率；（2）用树形图和________________求概率；（3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率．2．通过这节课的学习，你还有哪些不懂之处？
教学反思：
学习反思
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
概率复习课
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1、能利用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。
2、养成良好的学习习惯，提高及时地回顾反思能力。

重点难点
重点：概率的概念；
难点：例举法的两种方法。
学习过程：
课前抽测：
1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．
2．在一种掷骰子攻城游戏中规定：掷一次骰子几点朝上，攻城者就向城堡走几步．某游戏者掷一次骰子就走六步的槪率是____________．
三、【考点链接】1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件），__________________叫做必然事件，______________________叫做不可能事件.2．_________________________叫频率，_________________________叫概率.3．求概率的方法：（1）利用概率的定义直接求概率；（2）用树形图和________________求概率；（3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率．四、合作探究：某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．电脑单价A型:6000元；A型:6000元；B型:4000元；C型:2500元；D型:4000元；E型:2000元； （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？ （3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台． 五、达标检测
1．小明周末到外婆家，走到十字路口处有三条通路，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是________．2．在中考体育达标跳绳项目测试中，1min跳160次为达标，小敏记录了他预测时，1min跳的次数分别为145，155， 140，162，164，则他在该次预测中达标的概率是_________．3．有一道四选一的选择题，某同学完全靠猜测获得结果，则这个同学答对的概率是________．4．在一所4000人的学校随机调查了100人，其中有76人上学之前吃早饭，在这所学校里随便问一个人，上学之前吃过早餐的概率是________．
5. 书架上有数学书3本，英语书2本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是（ ） A． B． C． D．6．下列事件你认为是必然事件的是（ ）A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮; B．明天是晴天C．打开电视机，正在播广告; D．太阳总是从东方升起
7．图（2）是中国象棋棋盘的一部分，图中红方有两个马，黑方有三个卒子和一个炮，按照中国象棋中马的行走规则（马走日字，例如：按图（1）中的箭头方向走），红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？
六、总结提升：
从做题中你领悟到了什么？
教学反思：
学习反思
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
4.1正弦和余弦（1）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
使学生理解锐角正弦的定义，会求直三角形中锐角的正弦值.
通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯.
重点难点
重点：理解和掌握锐角正弦的定义，根据定义求锐角的正弦值.
难点：探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”.
学习过程：
一、课前抽测：
判断两个三角形相似的定理有哪些？
二、合作探究：
1.如右图一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北
方向，轮船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此
时灯塔A在船的北偏西60°的方向；试问：C处和灯塔A的
距离AC约等于多少米（精确到10m）？
启发：
(1).你能建立一个方位图，根据题意把这个实际问题转化为数学问题吗？
(2). 能否使用已学的直角三角形的有关知识来解决？
2. 每位同学拿出有一个锐角为60°的直角三角板，量出60°角的对边长度和斜边长度，并计算: (精确到0. 1).
与同桌和前后桌的同学交流计算结果，你有什么发现？你能证明这个结论吗？
发现:
证明：
3. 现在你能解决轮船航行到C处时与灯塔A的距离约等于多少米的问题吗？
三、自主学习：教材P101 第一、二段
定义：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫角的正弦，记作Sin
即：. 如右图
四、展示质疑：
1.如图：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC=3， AB=5，求
(1)∠A的正弦SinA.
(2)∠B的正弦SinB.
五、达标检测：
1．如图，在直角三角形ABC中，角C=90,BC=5,AB=13. 求
(1) sinA的值； (2)sinB的值.
2．对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1，你认为对吗？为什么？
3．在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值（ ）
A扩大2倍 B不变 C缩小2倍 D无法确定。
六、总结提升：
这节课我们主要学习了直角三角形中，锐角的正弦定义.(由教师引导，学生交流完成)如右图：SinA= ；SinB= .
教学反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
4.1正弦和余弦（2）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1．能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2．能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角.
重点难点
用函数的观点理解正弦、余弦.
学习过程：
一、课前抽测：
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝_____
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,sinB=_____.
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=，则BC=_____
二、自主学习：教材P102 例2 — P103例3
例2.分别求sin30°和sin60°的值.

例3.求sin45°的值.
三、合作探究：
如图：△ABC和△DEF都是直角三角形，，
在Rt△ABC中，∠A的相邻的直角边（简称邻边）为AC,
斜边为AB，在Rt△DEF中，∠D的邻边为DF,斜边为DE，
则：，为什么？
理由一：
理由二：
从而有：在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的邻边与斜边的比值为一个 ，且等于角的对边与斜边的比值.
定义：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫角的余弦，
记作cos，即：. 如右图
且有：；
四、展示质疑：
求cos30°，cos60°，cos45°的值.
五、达标检测：
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5,AB=7. 求cosA，cosB，sinA ，sinB的值.
2．对于任意锐角α，都有0＜cosα＜1，你认为对吗？为什么？
3．在△ABC中，∠C＝90°，cosB=，AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高.
六、总结提升：
这节课我们主要学习了直角三角形中，锐角的余弦定义.(由教师引导，学生交流完成)如右图：cosA= ，cosB= .
，
sin30°= ，sin60°= ，sin45°=
cos30°= ，cos60°= ，cos45°=
教学反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
4.1正弦和余弦（3）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1．理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值；
2．能用函数的观点理解正弦、余弦.
重点难点
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值.
学习过程：
一、课前抽测：
1. 如右图：在Rt△ABC中，cosA= ，cosB= .
，
2.sin30°= ，sin45°= ，sin60°=
cos30°= ，cos45°= ，cos60°=
二、合作探究：
1. 观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，得到结论：锐角α越大时，它的正弦值 ；
从cos15°，cos30°，cos75°的值，得到结论：锐角α越大时，它的余弦值 .
2.计算下列各式的值（把记成）
（1） （2）
（3）
归纳：对任意锐角有：= ，你能利用正（余）弦的定义证明吗？
证明：
三、展示质疑：
1.设是锐角，且sin=，求cos的值.
2. 设是锐角，且cos=，求sin的值.
3. 在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，试求最小角的三角函数值.

四、达标检测：
求下列各式的值.
（1） （2）
（3）
（4）
五、总结提升：
1.对任意锐角有： ；
2. 锐角越大时，它的正弦值 ；而余弦值 .
教学反思：
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案
授课时间： 月 日 班级 姓名 组长批改
课 题
4.2正切（3）
主备人
审核人
段回娇
学习目标
1．理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；
2．了解计算一个锐角的正切值的方法.
重点难点
重点：理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值.
难点：计算一个锐角的正切值的方法.
学习过程：
一、课前抽测：
1． .
2. 如右图：在直角三角形中，对锐角：
，cos= ，
二、合作探究：
如图：如果锐角A的大小已确定，我们可以作出无数
个相似的RtAB1C1，RtAB2C2， RtAB3C3……，那么
有：Rt△AB1C1∽___ __∽_ ___……
根据相似三角形的性质，
得：＝_________＝_________＝……
由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的
邻边的比值也是一个_________
三、自主学习：教材P109
正切的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边.我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______.
即：tanA＝________
思考： tanA与sinA、cosA的关系.
.
四、展示质疑：
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，
则tanA＝________，tanB＝______.
2. 求、、的值.
3.已知，是锐角，求、、的值.

五、达标检测：
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=，
求tanA与tanB的值.
2. 求下列各式的值：
（1）1+ （2）
3.已知，是锐角，求、的值.
30°
45°
60°
sin
cos
tan
六、总结提升：
1.填表：（特殊角的三角函数值）
2. Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边，则 ，
教学反思：