18.1.1 平行四边形的性质（第1课时）同步练习
一、选择题
1．已知平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是
A． B． C． D．
3．如图，在中，平分，，，则的长是
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知的周长为56，，则
A．4 B．12 C．24 D．28
5．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和之间的距离是
A． B． C． D．或
二、填空题
6．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为 ．
7．在中，，，连接，若，则线段的长为 ．
8．在□中，平分交于点，点将分为4和3两部分，则□的周长为 ．
9．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 ．
10．已知直线、、互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是 ．
11．如图，，在外角平分线上，且，的面积为，则的面积为 ．
12．如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，，，且，则的长是 ．
三、解答题
13．如图，□中，是边的中点，的延长线与的延长线相交于．
求证：．
14．如图，已知，在平行四边形中，点，分别在边，上，，连接，．求证：．
15．如图，在平行四边形中，．若平分．
（1）求证：；
（2）若，求：的度数．
16．如图1，在平行四边形中，过点作交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于点，连接，，猜想的形状并证明．
18.1.1 平行四边形的性质（第1课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
，
故选：．
2．如图，若平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是
A． B． C． D．
【解析】解：在中，，，
，
又，，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
，
即；
故选：．
3．如图，在中，平分，，，则的长是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
故选：．
4．已知的周长为56，，则
A．4 B．12 C．24 D．28
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长为56，
，
，
，
故选：．
5．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和之间的距离是
A． B． C． D．或
【解析】解：如图1，直线和之间的距离为：；
如图2，直线和之间的距离为：．
故选：．
二、填空题
6．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为 15 ．
【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
，
，
故答案为15．
7．在中，，，连接，若，则线段的长为 4或8 ．
【解析】解：作于，如图所示：
，
，
，，
，或，
四边形是平行四边形，
或8；
故答案为：4或8．
8．在□中，平分交于点，点将分为4和3两部分，则□的周长为 20或22 ．
【解析】解：平分，
，
∵□的边，
，
，
，
①当时，，，
□的周长，
②当时，，，
□的周长，
所以，□的周长为22或20．
故答案为：22或20．
9．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 30 ．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：30．
10．已知直线、、互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是 或 ．
【解析】解：①当直线与在直线的同一侧时，
与的距离是：．
②当直线与在直线的异侧时，
与的距离是：．
综上，直线与的距离是或．
故答案为：或．
11．如图，，在外角平分线上，且，的面积为，则的面积为 12 ．
【解析】解：过作于，
在外角平分线上，且，
，
的面积为：，的面积为：，
又，
的面积与的面积相等为．
故答案为：12．
12．如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，，，且，则的长是 ．
【解析】解：延长和交于，过点作于点，如图：
四边形为平行四边形，
，
，．
为的中点，
．
在和中，
，
，
，，
为边的中点，
，即，
，，且，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
三、解答题
13．如图，□中，是边的中点，的延长线与的延长线相交于．
求证：．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
．
14．如图，已知，在平行四边形中，点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
在与中，
．
15．如图，在平行四边形中，．若平分．
（1）求证：；
（2）若，求：的度数．
【解析】解：（1）四边形为平行四边形，
，．
．
，
．
．
在和中，
，
，
（2），
，
平分（已知），
；
又，
．
为等边三角形．
．
，
，
．
16．如图1，在平行四边形中，过点作交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于点，连接，，猜想的形状并证明．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
又平分，
，
，
，
；
（2）是等腰直角三角形，
证明：，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
是等腰直角三角形．
1318.1.1 平行四边形的性质（第2课时）同步练习
一、选择题
1．如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并、重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为
A．29 B．26 C．24 D．25
2．若平行四边形的两条对角线长为6 和16 ，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为的中点，若，则
A．3 B．6 C．9 D．12
4．已知的对角线与相交于，，则等于
A．8 B．4 C．14 D．10
5．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是
A．6 B．10 C．12 D．18
6．如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ．
8．如图，在平行四边形中，，，，则 ．
9．以对角线的交点为原点，平行于边的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点坐标为，则点坐标为 ．
10．如图，平行四边形的周长为36，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为 ．
三、解答题
11．如图，的对角线，交于点，直线过点，分别交，于点，．求证：．
12．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
13．如图，中，对角线和相交于点，的周长为15，，求对角线与的和是多少？
14．如图，的对角线、相交于点，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．连接并延长交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求的长，（用含的代数式表示）
（2）当四边形是平行四边形时，求的值
（3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
18.1.1 平行四边形的性质（第2课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并、重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为
A．29 B．26 C．24 D．25
【解析】解：如图，连接、，
则可得对角线，且与平行四边形的高相等．
平行四边形纸片的面积为120，，
，，
，
又，
则图形戊中的四边形两对角线之和为，
故选：．
2．若平行四边形的两条对角线长为6 和16 ，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是
A． B． C． D．
【解析】解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：边长，即边长．
只有选项在此范围内，故选．
3．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为的中点，若，则
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】解：平行四边形，
，．
又点是边中点，
，
，
．
故选：．
4．已知的对角线与相交于，，则等于
A．8 B．4 C．14 D．10
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
故选：．
5．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是
A．6 B．10 C．12 D．18
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
故选：．
6．如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为
A． B． C． D．
【解析】解：四边形是平行四边形
，
，．
．
点是的中点
．
与的面积比为
故选：．
二、填空题
7．如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为 100 ．
【解析】解：连接，，
四边形是平行四边形，
，，
．
在与中，
，
，
同理可得，，
．
故答案为：100．
8．如图，在平行四边形中，，，，则 ．
【解析】解：在平行四边形中，，，
在中，由勾股定理可知
四边形为平行四边形
，
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
9．以对角线的交点为原点，平行于边的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点坐标为，则点坐标为 ．
【解析】解：方法一：对角线的交点为原点，点坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
方法二：四边形为平行四边形，
点和关于对角线的交点对称，
又为原点，
点和关于原点对称，
点，
点的坐标为，
故答案为：．
10．如图，平行四边形的周长为36，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为 14 ．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为36，
，
点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长；
故答案为：14．
三、解答题
11．如图，的对角线，交于点，直线过点，分别交，于点，．求证：．
【解析】证明：的对角线，交于点，
，，
，
在和中
，
，
．
12．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【解析】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
．
13．如图，中，对角线和相交于点，的周长为15，，求对角线与的和是多少？
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长为15，，
，
，
．
14．如图，的对角线、相交于点，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．连接并延长交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求的长，（用含的代数式表示）
（2）当四边形是平行四边形时，求的值
（3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
【解析】解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
当时，四边形是平行四边形，
即，
，
当为秒时，四边形是平行四边形；
（3），
如图：
中，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
由勾股定理得：，
，
或（舍，
当秒时，点在线段的垂直平分线上．
1118.1.2 平行四边形的判定（第1课时）同步练习
一、选择题
1．如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
2．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，，，则图中一共有平行四边形
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
4．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是
A．一组对角相等 B．对角线互相平分
C．一组对边相等 D．对角线互相垂直
5．已知四边形，对角线与交于点，从下列条件中：①；②；③；④，任取其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、填空题
6．如图，点是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，理由是 ．
7．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形中，，，那么这个四边形是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 （将命题的序号填上即可）．
8．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形． （判断对错）
9．如图，是的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需增加的一个条件是 ．
10．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，已知，，，．若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ．
三、解答题
11．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（请根据题目提供的图形，写出已知、求证，并给予证明）．
12．如图，四边形中，，相交于点，是的中点，．
求证：四边形是平行四边形．
13．如图，在中，，点，分别是边，的中点，点在边上．若，求证：四边形是平行四边形．
14.如图，在四边形中，AD∥BC，．是边上一点，且．求证：．
18.1.2 平行四边形的判定（第1课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
【解析】解：、，，
又，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
、，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
、，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
2．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
【解析】解：
、，，，
，
，
，但不能推出其它条件，即不能推出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、根据，不能推出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、，，
四边形是平行四边形，故本选项正确；
、由，也可以推出四边形是等腰梯形，故本选项错误；
故选：．
3．如图，，，则图中一共有平行四边形
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【解析】解：，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，共9个，
故选：．
4．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是
A．一组对角相等 B．对角线互相平分
C．一组对边相等 D．对角线互相垂直
【解析】解：
、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
、、，
四边形是平行四边形，故本选项正确；
、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误．
故选：．
5．已知四边形，对角线与交于点，从下列条件中：①；②；③；④，任取其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解析】解：以①④作为条件，能够判定四边形是平行四边形．
理由：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
故选：．
二、填空题
6．如图，点是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
【解析】解：根据尺规作图的画法可得，，，
四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
7．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形中，，，那么这个四边形是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 ② （将命题的序号填上即可）．
【解析】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．故①错误；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形．故②正确；
③在四边形中，，，那么这个四边形不一定是平行四边形，筝形也满足该条件．故③错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行．故④错误；
故填：②．
8．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形． 错误 （判断对错）
【解析】解：一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，
故答案为：错误．
9．如图，是的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需增加的一个条件是 （答案不唯一） ．
【解析】解：如图，连接交于点，
四边形为平行四边形，
，，
当时，可得，则四边形为平行四边形，
可增加，
故答案为：（答案不唯一）．
10．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，已知，，，．若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ，，， ．
【解析】解：如图，
若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为或或．
故答案为：或或．
三、解答题
11．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（请根据题目提供的图形，写出已知、求证，并给予证明）．
【解析】已知：在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：在四边形中，，，，
，
，
，同理：，
四边形是平行四边形．
12．如图，四边形中，，相交于点，是的中点，．
求证：四边形是平行四边形．
【解析】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形．
13．如图，在中，，点，分别是边，的中点，点在边上．若，求证：四边形是平行四边形．
【解析】证明：，，
，
点、分别是、的中点，
，，
四边形是平行四边形．
14.如图，在四边形中，AD∥BC，．是边上一点，且．求证：．
【解析】证明：，
．
，
，
∴ AB∥BE，
∵AD∥BC，
四边形是平行四边形．
．
1018.1.2 平行四边形的判定（第2课时）同步练习
一、选择题
1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
2．下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．下列说法中：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数为 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC＝AD③∠A＝∠C④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
二、填空题
5．如图，，要使四边形成为平行四边形还需要添加的条件是 （只需写出一个即可）
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是 ．
7．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止），在运动以后，以、、、四点组成平行四边形的次数有 次．
8．已知四边形，从下列条件中：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
任取其中两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有 ．
9．如图，点、、、在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于，于，且．则当点、不重合时，与的关系是 ．
10．如图，在四边形中，，对角线，交于点，，，，则四边形的面积为 ．
11．如图，在中，，于点，且．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为，当为 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
12．如图，点、、、在一条直线上，，，．连接、，求证：四边形是平行四边形．
13．如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求的长．
14．已知：如图所示，在平行四边形中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．
（1）求证：、互相平分；
（2）若，，，求线段的长．
18.1.2 平行四边形的判定（第2课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
【解析】解：、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题；
、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
2．下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
选项不符合题意；
、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
选项不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
选项符合题意；
故选：．
3．下列说法中：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数为 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确；
②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；正确；
③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；正确；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；不正确；
故选：．
4. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC＝AD③∠A＝∠C④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
【解析】解：当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．
二、填空题
5．如图，，要使四边形成为平行四边形还需要添加的条件是 或 （只需写出一个即可）
【解析】解：在四边形中，，
可添加的条件是：，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：或．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是 ， ．
【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
故答案为：，．
7．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止），在运动以后，以、、、四点组成平行四边形的次数有 3 次．
【解析】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，
以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况：①点的运动路线是，方程为，
此时方程，此时不符合题意；
②点的运动路线是，方程为，
解得：；
③点的运动路线是，方程为，
解得：；
④点的运动路线是，方程为，
解得：；
⑤点的运动路线是，方程为，
解得：，
此时点走的路程为，此时不符合题意．
共3次．
故答案为：3．
8．已知四边形，从下列条件中：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
任取其中两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有 9种 ．
【解析】解：根据平行四边形的判定，符合四边形是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共9种．
故答案为：9种．
9．如图，点、、、在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于，于，且．则当点、不重合时，与的关系是 互相平分 ．
【解析】解：已知，于，于，且且点、不重合，
，即，
，
又已知，
，
，
，
，
，，
和互相平分．
故答案为：互相平分．
10．如图，在四边形中，，对角线，交于点，，，，则四边形的面积为 120 ．
【解析】解：，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
故答案为120．
11．如图，在中，，于点，且．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为，当为 或 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】解：如图1所示：
，
，
，
，即，
，
，
，
；
分两种情况：
①当点在点的上方时，如图2所示：
由题意得：，，，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
即：当时，四边形是平行四边形，
解得：；
②当点在点的下方时，如图3所示：
根据题意得：，，，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
即：当时，四边形是平行四边形，
解得：；
综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形；
故答案为：或．
三、解答题
12．如图，点、、、在一条直线上，，，．连接、，求证：四边形是平行四边形．
【解析】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
13．如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求的长．
【解析】（1）证明：，
，．
是中点，
．
在与中，
．
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点．
，，
，
．
在中，，，，
．
在中，，，，
，
．
14．已知：如图所示，在平行四边形中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．
（1）求证：、互相平分；
（2）若，，，求线段的长．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
、互相平分；
（2），，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
过点作于点，
在中，，，
，
，
．
1318.1.2 平行四边形的判定（第3课时）同步练习
一、选择题
1．下列说法错误的是
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”
C．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2．中，，，，点、、分别是三边的中点，则的周长为
A．4.5 B．9 C．10 D．12
3．如图是屋架设计图的一部分，其中，点是斜梁的中点，、垂直于横梁，，则的长为
A． B． C． D．
4．如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为
A．8 B．7 C．6 D．5
5．如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是
A． B． C． D．
6．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是
A． B． C． D．
7．如图，、是的中线，、分别是、的中点，则等于
A． B． C． D．
8．如图，已知中，点是边上的中点，平分，于点，若，，则的长为
A．12 B．11 C．10 D．9
二、填空题
9．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，的平分线交于点，若，，则的长为 ．
10．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是 ．
11．如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形周长为14，则的长为 ．
12．如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，，，，，则的度数为 ．
三、解答题
13．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于点，交于点，连接，求线段的长．
14．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数．
15．如图，点、、分别是、、中点，且是的角平分线．求证：．
16．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
17．如图，在中，平分，于点，点是的中点．
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，中，，，求线段的长．
18.1.2 平行四边形的判定（第3课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法错误的是
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”
C．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【解析】解：、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
选项不符合题意；
、等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”，
选项符合题意；
、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
选项不符合题意；
、角平分线上的点到角两边的距离相等，
选项不符合题意；
故选：．
2．中，，，，点、、分别是三边的中点，则的周长为
A．4.5 B．9 C．10 D．12
【解析】解：点、、分别是三边的中点，
、、为的中位线，
，，，
的周长，
故选：．
3．如图是屋架设计图的一部分，其中，点是斜梁的中点，、垂直于横梁，，则的长为
A． B． C． D．
【解析】解：，，
，
、垂直于横梁，
，
点是斜梁的中点，
．
故选：．
4．如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】解：连接，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
点，分别为线段，上的动点，
当点与点重合时，最大，此时，
长度的最大值为：，
故选：．
5．如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是
A． B． C． D．
【解析】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
同理，，
，
，
，
故选：．
6．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是
A． B． C． D．
【解析】解：点，分别是，的中点，
，
故选：．
7．如图，、是的中线，、分别是、的中点，则等于
A． B． C． D．
【解析】解：连接，连接并延长交于点，
是中位线，
，，，
，
、是、的中点，
，
在与中，
，
，
，是中点，
，
是中位线，
，
．
故选：．
8．如图，已知中，点是边上的中点，平分，于点，若，，则的长为
A．12 B．11 C．10 D．9
【解析】解：如图，延长交于，
在和中，
，
，
，，
又是的边的中点，
是的中位线，
，
，
故选：．
二、填空题
9．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，的平分线交于点，若，，则的长为 1 ．
【解析】解：连接并延长交于，
点、分别为边、的中点，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：1．
10．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是 ．
【解析】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点，
，，又，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形周长为14，则的长为 14 ．
【解析】解：，，分别是边，，的中点，
，，，，
四边形为平行四边形，
四边形周长为14，
，
．
故答案为14．
12．如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，，，，，则的度数为 ．
【解析】解：连接，如图所示：
、分别是边、的中点，
，，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
13．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于点，交于点，连接，求线段的长．
【解析】解：在和中，
，
．
，
，则．
又，
是的中位线．
．
答：的长为．
14．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数．
【解析】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
同理，，
，
，
．
15．如图，点、、分别是、、中点，且是的角平分线．求证：．
【解析】证明：连接，
点、、分别是、、中点．
，，
四边形是平行四边形，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
16．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【解析】（1）证明：平分，
．
，
．
在与中，
，
．
（2），
，
．
是的中点，，
．
17．如图，在中，平分，于点，点是的中点．
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，中，，，求线段的长．
【解析】（1）证明：在和中，
，
，，
，，
；
（2）解：分别延长、交于点，
在和中，
，
，，
，，
．
1518.2.1 矩形（第1课时）矩形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为
A．5 B． C． D．
2．如图，在长方形中，平分交于点，连接，若，，则长方形的周长为
A．20 B．22 C．24 D．26
3．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论：其中正确的结论有
①是等边三角形；
②是等腰三角形；
③；
④；
⑤．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
4．如图，矩形的对角线，相交于点，且．过点作于点，则等于
A． B． C． D．
5．如图，长方形中，，．点为射线上的一个动点，与△关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
二、填空题
6．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是 ．
7．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形则满足条件的点有 个．
8．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为，宽为的矩形花池，如图，他将画线工具固定在一根木棍的中点处．画线时，使点，都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是 ．
9．如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则 ．
10．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为 ．
三、解答题
11．如图，在矩形中，，求证：．
12．如图，四边形是长方形，．点是延长线上一点，点是上一点，并且，．则与有什么数量关系？为什么？
13．已知：在矩形中，点在边上，连接，且，过点作于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于的线段．
14．如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
15．如图所示，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18.2.1 矩形（第1课时）矩形的性质 同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为
A．5 B． C． D．
【解析】解：矩形中，两条对角线与相交于点，，
，
又，，
，
，
故选：．
2．如图，在长方形中，平分交于点，连接，若，，则长方形的周长为
A．20 B．22 C．24 D．26
【解析】解：四边形是长方形，
，，
，，
，
则，
平分交于点，
，
，
，
，
，
长方形的周长为：．
故选：．
3．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论：其中正确的结论有
①是等边三角形；
②是等腰三角形；
③；
④；
⑤．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
【解析】解：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
矩形中：，
是等边三角形，是等边三角形，故①正确；
，，
，
是等腰三角形，故②正确；
，
，，故③错误；
，故④错误；
，
，故⑤正确；
故选：．
4．如图，矩形的对角线，相交于点，且．过点作于点，则等于
A． B． C． D．
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
5．如图，长方形中，，．点为射线上的一个动点，与△关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
【解析】解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，
△，
，
，
，
、、三点共线，
，，
，
，
；
②当点在线段的延长线上时，如下图，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
综上所知，或18．
故选：．
二、填空题
6．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是 4 ．
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
即，
故答案为：4．
7．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形则满足条件的点有 5 个．
【解析】解：如图，作或的垂直平分线交于，
如图，在上作点，使，同理，在上作点，使，
如图，在长方形外上作点，使，同理，在长方形外上作点，使，
综上所述，符合条件的点有5个．
故答案为：5．
8．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为，宽为的矩形花池，如图，他将画线工具固定在一根木棍的中点处．画线时，使点，都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是 ．
【解析】解：连接，如图：
由题意可知为的斜边中线，
，
，
，，
点的运动轨迹为四个圆心分别在点，，，，半径为的四分之一圆，以及和上的一段线段．
长为，宽为的矩形花池的面积为．
种植年花的区域的面积是：．
故答案为：．
9．如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则 ．
【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
，，，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
10．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，连接，过点作于，交于．
四边形是矩形，点是的中点，
点是对角线，的交点，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
11．如图，在矩形中，，求证：．
【解析】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
12．如图，四边形是长方形，．点是延长线上一点，点是上一点，并且，．则与有什么数量关系？为什么？
【解析】解：，
理由如下，四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
．
13．已知：在矩形中，点在边上，连接，且，过点作于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于的线段．
【解析】证明：（1）四边形是矩形，，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），，的长度等于，
理由如下：，
，
，
，
，
，
，
，
．
14．如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
；
（2）解：由（1），
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
．
15．如图所示，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
在和中，，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
，，
，
由（1）知，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
，
而中，，
，
，
．
1718.2.1 矩形（第2课时）矩形的判定 同步练习
一、选择题
1．下列说法正确的是
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的邻边一定相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有三个角为直角的四边形为矩形
2．四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是
A． B． C． D．
3．平行四边形的对角线和交于点，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是
A． B． C． D．
4．如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
二、填空题
5．一组对边平行，且有两个直角的四边形是矩形． （判断对错）
6．如图，在平行四边形中，若，则四边形是 ．
7．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，试添加一个条件： 使四边形为矩形．
8．（1）如图所示，小迪用四根长度分别为，，，的木条和直角尺按照图示要求搭了一个四边形木框，搭出的木框（木框的宽度忽略不计）的形状是 ；
（2）用（1）中的四根木条重新组合，搭出（1）中形状的木框的最大面积是 ．
三、解答题
9．如图，是的中线，，且，连接，．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
10．如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求和的长．
11．如图，中，，是边上的高，点是中点，延长到，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
12．如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
（1）求证：
①；
②四边形是矩形；
（2）若，求的长．
18.2.1 矩形（第2课时）矩形的判定 同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法正确的是
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的邻边一定相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有三个角为直角的四边形为矩形
【解析】解：、矩形的对角线互相平分且相等，
选项不符合题意；
、矩形的邻边一定垂直，不一定相等，
选项不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，
选项不符合题意；
、有三个角为直角的四边形为矩形，
选项符合题意；
故选：．
2．四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是
A． B． C． D．
【解析】解：可添加，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形是矩形．
故选：．
3．平行四边形的对角线和交于点，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是
A． B． C． D．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
、时，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、，
，
，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项符合题意；
故选：．
4．如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
【解析】解：，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
即的最小值是4.8，
故选：．
二、填空题
5．一组对边平行，且有两个直角的四边形是矩形． 错误 （判断对错）
【解析】解：错误，直角梯形也满足此条件，但不是矩形；
故答案为：错误．
6．如图，在平行四边形中，若，则四边形是 矩形 ．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形，
故答案为矩形．
7．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，试添加一个条件： （答案不唯一） 使四边形为矩形．
【解析】解：添加条件：；理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形；
故答案为：（答案不唯一）．
8．（1）如图所示，小迪用四根长度分别为，，，的木条和直角尺按照图示要求搭了一个四边形木框，搭出的木框（木框的宽度忽略不计）的形状是 矩形 ；
（2）用（1）中的四根木条重新组合，搭出（1）中形状的木框的最大面积是 ．
【解析】解：（1）根据三个角是直角的四边形是矩形可得：搭出的木框（木框的宽度忽略不计）的形状是矩形；
（2）用（1）中的四根木条重新组合，搭出（1）中形状的木框的最大面积是，
故答案为：矩形，．
三、解答题
9．如图，是的中线，，且，连接，．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
【解析】证明：（1）是的中线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）当满足时，四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，，
四边形是矩形．
10．如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求和的长．
【解析】（1）证明：，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长是4．
设，则，在中，根据勾股定理列方程，求出．
在中，．
11．如图，中，，是边上的高，点是中点，延长到，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：点是中点，
，
又，
四边形为平行四边形，
是边上的高，
，
，
四边形为矩形；
（2）解：四边形为矩形，
，
点是中点，
，，
又，
．
12．如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
（1）求证：
①；
②四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：①平分，
，
，
，
在与中，
，
，
；
②点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
818.2.2 菱形（第1课时）菱形的性质 同步练习
一、选择题
1．关于菱形，下列说法错误的是
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线相等
2．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
3．如图，在菱形中，对角线、相交于点，为的中点且，则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为
A．48 B．24 C．14 D．12
5．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为
A． B． C． D．
6．已知，如图，在菱形中．
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，；
（2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是
A． B．如果，那么
C． D．
7．如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，对角线、交于点，且，，过点作垂直，交于点，则的值为
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的周长是 ．
10．如图，是菱形的对角线，是上的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别是点和，若菱形的周长是，面积是，则的值是
．
11．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，，分别为线段，的中点．若线段的长为，则的长为 ．
12．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
13．如图，在菱形中，过点分别作于点，作于点．求证：．
14．如图，菱形的边长为2，，、分别是边，上的两个动点，且满足．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
15．如图，菱形，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，，求的长．
16．菱形中，，点在边上，点在边上．
（1）如图1，若是的中点，，求证：是的中点．
（2）如图2，若，，求的度数．
18.2.2 菱形（第1课时）菱形的性质 同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．关于菱形，下列说法错误的是
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线相等
【解析】解：菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
对角线相等不是菱形的性质，
故选：．
2．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【解析】解：、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故选：．
3．如图，在菱形中，对角线、相交于点，为的中点且，则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：四边形是菱形，
，，
又点是边的中点，
．
故选：．
4．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为
A．48 B．24 C．14 D．12
【解析】解：菱形的两条对角线分别长8、6，
故选：．
5．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为
A． B． C． D．
【解析】解：如图1，图2中，连接．
图1中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
6．已知，如图，在菱形中．
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，；
（2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是
A． B．如果，那么
C． D．
【解析】解：．连接，
由作图知，是的垂直平分线，则，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选项正确；
．，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
故选项错误；
．，，
，
故选项正确；
．，
，
，
故选项正确．
故选：．
7．如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则
A． B． C． D．
【解析】解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
垂直平分，
，
．
故选：．
8．如图，在菱形中，对角线、交于点，且，，过点作垂直，交于点，则的值为
A． B． C． D．
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
在中，，
，
的值为，
故选：．
二、填空题
9．已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的周长是 ．
【解析】解：菱形的两条对角线长为和，
菱形的两条对角线长的一半分别为和，
根据勾股定理，边长，
所以，这个菱形的周长是，
故答案为：．
10．如图，是菱形的对角线，是上的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别是点和，若菱形的周长是，面积是，则的值是 2 ．
【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
11．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，，分别为线段，的中点．若线段的长为，则的长为 8 ．
【解析】解：如图，连接并延长，交于点，连接，
四边形为菱形，，
，
，，
点为的中点，
，
，
，
，，
点为的中点，点为的中点，
，分别为和的中点，
是的中位线，
，
，
，分别为和的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
12．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ．
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
13．如图，在菱形中，过点分别作于点，作于点．求证：．
【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
．
14．如图，菱形的边长为2，，、分别是边，上的两个动点，且满足．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
【解析】（1）证明：菱形的边长为2，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：等边三角形．
理由：，
，，
，
，
是等边三角形．
15．如图，菱形，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：如图，作于，连接．
、关于对称，
，，
垂直平分，
，，
在菱形中，，，
，，
又，
，，
，
四边形中，，
，
又，
是等边三角形；
（2）当时，，，
是等腰直角三角形，
又，
，
由（1）可得，，
中，．
16．菱形中，，点在边上，点在边上．
（1）如图1，若是的中点，，求证：是的中点．
（2）如图2，若，，求的度数．
【解析】证明：（1）如图1所示：连接．
在菱形中，，
，．
等边三角形．
是的中点，
．
，
．
．
．
．
，
，
是的中点；
（2）如图2所示：连接．
是等边三角形，
，．
．
，
，．
．
在和中，，
．
．
，
是等边三角形．
，
，
．
1618.2.2 菱形（第2课时）菱形的判定 同步练习
一、选择题
1．如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．如图，在四边形中，对角线、互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是
A． B． C． D．
4．如图平行四边形中，，．，分别是边和的中点，于点，则
A． B． C． D．
5．如图中，平分，交于，交于，若，则四边形的周长是
A．24 B．32 C．40 D．48
二、填空题
6．如图，已知四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为 ．
7．顺次连接四边形各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线、的关系是 ．
8．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
9．如图，①以点为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点、；②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③分别连接、、．若，则的大小为 ．
10．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为 ．
三、解答题
11．如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接，求证：四边形是菱形．
12．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
13．如图，在中，，点是中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作于点，，，求的长．
14．在四边形中，对角线、相交于点，且垂直平分，平分．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，过点作，交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形除外）．
15．如图，四边形是平行四边形对角线，交于点，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
18.2.2 菱形（第2课时）菱形的判定 同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是
A． B． C． D．
【解析】解：能判定四边形是菱形的是，理由如下：
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
故选：．
2．下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解析】解：．对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
．四条边相等的四边形是菱形，故符合题意；
．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：．
3．如图，在四边形中，对角线、互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是
A． B． C． D．
【解析】解：添加一个条件为，理由如下：
四边形中，对角线、互相平分，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
故选：．
4．如图平行四边形中，，．，分别是边和的中点，于点，则
A． B． C． D．
【解析】解：平行四边形中，，
四边形为菱形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
，
故选：．
5．如图中，平分，交于，交于，若，则四边形的周长是
A．24 B．32 C．40 D．48
【解析】解：，，
四边形为平行四边形，，
平分，
，
，
平行四边形为菱形．
，
四边形的周长．
故选：．
二、填空题
6．如图，已知四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为 ．
【解析】解：添加，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可使它成为菱形．
7．顺次连接四边形各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线、的关系是 ．
【解析】解：为菱形
又、、、为四边中点
，
．
故答案为．
8．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
【解析】解：由题意得：矩形矩形，
，，，，，
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形的周长，
故答案为：．
9．如图，①以点为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点、；②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③分别连接、、．若，则的大小为 ．
【解析】解：由题意可得：，
四边形是菱形，
，，
，
故答案为：．
10．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为 5 ．
【解析】解：由条件可知，，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：5．
三、解答题
11．如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接，求证：四边形是菱形．
【解析】证明：，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
；
．
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形．
12．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：补充的条件是：．
证明：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
13．如图，在中，，点是中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作于点，，，求的长．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
．
14．在四边形中，对角线、相交于点，且垂直平分，平分．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，过点作，交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形除外）．
【解析】（1）证明：垂直平分，
，，
平分，
，
又，，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
图中所有与面积相等的三角形有，，，．
15．如图，四边形是平行四边形对角线，交于点，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
．
118.2.3 正方形 同步练习
一、选择题
1．下列说法不正确的是
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
2．菱形，矩形，正方形都具有的性质是
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当时，它是矩形
②时，它是菱形
③当时，它是菱形
④当时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
4．如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
5．一个正方形的对角线长为2，则其面积为 ．
6．如图，在中，，点、分别是边、的中点．延长到点，使，得四边形．当 时，四边形是正方形．
7．如图，两个正方形边长分别为2、，图中阴影部分的面积为 ．
8．如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于，于，则的最小值为 ．
9．如图，在四边形中，，，，，若，，则的长度为 ．
10．如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①当时，则；②；③的周长不变；④．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
11．如图，若在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
12．正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
13．如图，长方形的顶点、的坐标分别为、，，正方形的顶点在边上，且点的坐标为．
（1）长方形的面积为 ；（用含的式子表示）
（2）正方形的边长为 ；
（3）求阴影部分的面积．（用含的式子表示）
14．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
15．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
18.2.3 正方形 同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法不正确的是
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【解析】解：、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项不符合题意；
、四条边都相等的四边形是菱形，故选项符合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；
、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；
故选：．
2．菱形，矩形，正方形都具有的性质是
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【解析】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：．
3．已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（ ）
①当时，它是矩形
②时，它是菱形
③当时，它是菱形
④当时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
【解析】解：①若，则是菱形，选项说法错误；
②若，则是菱形，选项说法正确；
③若，则是矩形，选项说法错误；
④若，则是矩形，选项说法错误；
故选：．
4．如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【解析】解：过点作于，于．
两张长方形直尺的宽度相等，
，
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形．
当时，这个四边形是正方形，
这个四边形一定是轴对称图形，
故选：．
二、填空题
5．一个正方形的对角线长为2，则其面积为 2 ．
【解析】解：方法一：四边形是正方形，
，，
由勾股定理得，，
．
方法二：因为正方形的对角线长为2，
所以面积为：．
故答案为：2．
6．如图，在中，，点、分别是边、的中点．延长到点，使，得四边形．当 90 时，四边形是正方形．
【解析】解：当时，四边形是正方形，
理由是：，，
，
，为的中点，
，平分，
，，
，
为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
即当时，四边形是正方形，
故答案为：90．
7．如图，两个正方形边长分别为2、，图中阴影部分的面积为 ．
【解析】解：阴影部分的面积
8．如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于，于，则的最小值为 ．
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，
于，于，
四边形为矩形，
，
当时，取得最小值，
此时是等腰直角三角形，
，
的最小值为；
故答案为：．
9．如图，在四边形中，，，，，若，，则的长度为 6 ．
【解析】解：过点作于点，延长使，连接，
，，
，
四边形是矩形
四边形是正方形
，，
，，
，
，
，
，且，
，
在中，，
，
故答案为：6
10．如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①当时，则；②；③的周长不变；④．其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【解析】解：①：正方形中，，
当时，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②：如图，将绕点顺时针旋转得，
则，
则在和中，
，
，
，
，
，
故②正确；
③：，
，
的周长为：
，
和均为正方形的边长，故的周长不变．故③正确；
④如图，将绕点逆时针旋转得，
，
，
在和中，
，
，
，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题
11．如图，若在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【解析】解：，，理由如下：
如图，延长交于点，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即．
，．
12．正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【解析】（1）证明：逆时针旋转得到，
，，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
则．
13．如图，长方形的顶点、的坐标分别为、，，正方形的顶点在边上，且点的坐标为．
（1）长方形的面积为 ；（用含的式子表示）
（2）正方形的边长为 ；
（3）求阴影部分的面积．（用含的式子表示）
【解析】解：（1）长方形的顶点、的坐标分别为、，，
，，
长方形的面积，
故答案为：；
（2）的坐标为，点的坐标为，
，
故答案为：2；
（3）解：
．
14．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
【解析】（1）证明：矩形，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
四边形是正方形；
（2）平分，
，
在和中，
，
，
；
（3）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
15．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）的值是定值，定值为6，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是定值．
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