【课件】4.2.5 正态分布 数学-RJB-选择性必修第二册-第四章-概率与统计(共45张PPT)

(共45张PPT)
数学-RJ·B-选择性必修第二册
4.2.5　正态分布
第四章 概率与统计
学习目标
1.了解正态曲线和正态分布.
2.掌握正态曲线的特点，并会根据正态曲线的对称性解决相关问题.
3.理解正态分布的意义.
重点：正态分布密度曲线所表示的意义、特点.
难点：现实生活中什么样的随机变量服从正态分布；正态分布密度曲线所表示的意义.
知识梳理
一 正态曲线
二 正态分布
三、 “小概率事件”的含义
四、标准正态分布
例1
一　正态分布概率密度函数的解析式
常考题型
一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸（单位：mm）分别如下：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求正态变量的概率密度函数解析式.
确定正态变量的概率密度函数解析式的方法
确定正态变量的概率密度函数解析式，关键是确定对应分布总体的数学期望和标准差，通常用样本的数学期望和标准差来估计（代替）.
解题归纳
训练题
1.
训练题
2.
如图所示是一条正态曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差.
例2
二　正态曲线的特点及应用
［2020·广东高二期末］设X~N（μ1， ），Y~N（μ2， ），这两条正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 （　　）
A.μ1>μ2，σ1>σ2 B.P（X>μ1）μ2）
C.μ1<μ2，σ1>σ2 D.P（Y≤μ1）【解析】　由图可得μ1<μ2，由于σ表示标准差，σ越小曲线越瘦高，故σ1<σ2，故A，C均不正确；根据图象可知P（X>μ1）＝0.5，P（X>μ2）<0.5，P（Y≤ μ1）<0.5，P（X≤μ2）>0.5，所以P（X>μ1）>P（X>μ2），P（Y≤μ1）【答案】　D
解题归纳
训练题
D
2.把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是 （　　）
A.曲线C2仍然是正态曲线
B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比C1的大2
D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比C1的大2
D
正态分布N（μ1， ）（σ1>0）和 N（μ2， ）（σ2>0）中μ与σ的大小比较的方法
1.根据其统计意义，分别计算总体的均值和标准差来判断.
2.根据图象特征，从对称轴的左右位置和图象高矮胖瘦来判断.
解题归纳
例3
三　正态分布的概率计算
已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X≤4）＝0.88，则P（0A.0.88 B.0.76 C.0.24 D.0.12
【解题提示】　正态曲线关于直线x＝μ对称，利用已知条件求解概率即可.
【解析】　如图所示.∵ 随机变量X服从正态分布N （2，σ2），μ＝2，对称轴是直线x＝2，P（X≤4）＝0.88，
∴ P（X≥4）＝P（X≤0）＝1-0.88＝0.12，
∴ P（0【答案】　B
1.［2020·重庆南开中学高二期末］设随机变量X~N（3，1.52），P（X≤4）＝0.7，则P（X≤2）＝（　　）
A.0.3 B.0.4 C.0.2 D.0.1
训练题
A
2.［2020·山西省范亭中学高二期末］已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2），且P（20.01
四　正态分布的应用
<1>由特殊区间求概率
例4
若随机变量X服从正态分布N（5，1），则P（6A.0.135 8 B.0.135 9 C.0.271 6 D.0.271 8
解题归纳
训练题
B
1.［2020·吉林延边二中高三开学考试］某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（　　）
A.10 B.9 C.8 D.7
训练题
C
解题归纳
<2> 3σ原则的应用
例5
［2020·安徽六安一中高二期末］某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布N（10，0.12），今从该厂上午和下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82 cm和10.31 cm，则可认为 （　　）
A.上午生产情况异常，下午生产情况正常
B.上午生产情况正常，下午生产情况异常
C.上午和下午生产情况均正常
D.上午和下午生产情况均异常
【解题提示】　生产的零件外直径符合正态分布，根据3σ原则，写出零件大多数直径所在的范围，把所得的范围同两个零件的外直径进行比较，得到结论.
【解析】　因为零件外直径X~N（10，0.12），
所以根据3σ原则，外直径在10-3×0.1＝9.7（cm）与10+3×0.1＝ 10.3（cm）之外时为异常.
因为从上午和下午生产的零件中各随机取出一个，9.7<9.82<10.3，10.31> 10.3，所以下午生产情况异常，上午生产情况正常.故选B.
【答案】　B
假设检验的一般步骤
第一步，提出统计假设.假设统计变量服从正态分布N（μ，σ2）.
第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）.
第三步，作出推断.如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果a?（μ-3σ，μ+3σ），由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
解题归纳
训练题
1.某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ（单位：m）服从正态分布N（4，0.25），质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于ξ服从正态分布N（4，0.25），由正态分布的性质可知，正态分布N（4，0.25）在（4-3×0.5，4+3×0.5）即（2.5，5.5）之外取值的概率只有0.002 7，而5.7?（2.5，5.5），这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可认为该批零件是不合格的.
训练题
2.一建筑工地需要的钢筋的长度（单位：m）服从正态分布，其中μ＝8， σ＝0.2.质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于 7 m.这时，他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋呢，还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？
解：由于钢筋的长度服从正态分布N（8，0.22），则钢筋的长度在（8-3×0.2，8+3×0.2）即（7.4，8.6）之外的概率约为0.002 7，而7?（7.4，8.6），这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可认为钢筋不能继续使用，应让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机.
<3>正态分布的综合应用
例7
为调查某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据.根据这100个数据，制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图如图所示.
（1）估计这100名学生每周课外阅读时间的平均数 和样本方差s2.（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
（2）由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2.
①求P（0.8【解题提示】　（1）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数 和样本方差s2.
（2）①利用正态分布的对称性即可求得P（0.8②由①知位于（0.8，8.3］的概率为0.818 6，且ξ服从二项分布，由二项分布的均值公式得答案.
求正态分布给定区间的概率的一般思路
利用正态曲线的对称性，将正态变量在所求区间内的概率转化为特殊区间内的概率的形式，然后再由概率特殊值进一步求解是解决此类问题的一般思路.
解题归纳
五　标准正态分布的应用
例8
乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间ξ（单位：min）服从正态分布N（50，102）；第二条路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N（60，42）.问：如果有65 min时间可以利用，应走哪一条路线？
【解题提示】　在ξ~N（50，102）与ξ~N（60，42）下，分别求出P（ξ≤65），作比较选路线.求P（ξ≤65）时，转化为标准正态分布去处理.
小结
1.正态曲线关于直线x=μ对称．
2.σ（σ>0）的大小决定正态曲线的“胖”“瘦”．
3.P（μ-σ4.解决正态分布运算的方法：数形结合思想（借助概率密度函数的图像与性质解题）、转化思想（将正态总体N（μ，化成标准正态总体N（0，1）来研究求解）、“3σ”原则．
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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