人教A版2019必修第一册分层设类练2.2基本不等式（Word含答案解析）

人教A版2019必修第一册分层设类练
2.2基本不等式
一、由基本不等式比较大小
基础训练
1．若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，则下面结论正确的有（ ）
A．若，则
B．
C．若，则有最大值
D．若，则
稳步提升
3．已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．当a，时，下列不等关系不成立的是（ ）
A． B． C． D．
尖子拔高
5．若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
二、由基本不等式证明不等关系
基础训练
7．设，，且，则“”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
稳步提升
9．已知实数，满足，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
尖子拔高
11．已知，，，下列不等式正确的个数有（ ）
①，②，③，④.
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知、、，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、基本不等式求积的最大值
基础训练
13．已知，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
14．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
稳步提升
15．已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则有最小值2
B．若，则有最大值5
C．若，则有最大值
D．有最小值
尖子拔高
16．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
17．已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C． D．
四、基本不等式求和的最小值
基础训练
18．已知x>2，求的最小值___________．
19．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
稳步提升
20．设，且，则的最小值为_______________．
21．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，，，则的最小值为5
C．若，，，则xy的最小值为1
D．若，，，则的最小值为
尖子拔高
22．已知，，且，则的最小值为________.
23．已知正实数满足，则的最大值为_________；的最小值为_________.
参考答案：
1．CD
解：
结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.
【解析】
，当且仅当时等号成立，
则或，
则，
即AB错误，D正确.
对于C选项，，C选项正确.
故选：CD
2．AC
解：
根据基本不等式及其推理分别判断各选项.
【解析】
因为，，
若，则，当且仅当且，即，时取等号，A正确；
因为，即，当且仅当时取等号，
所以，B错误；
若，则，当且仅当时取等号，C正确；
若，则，解得，所以，D错误.
故选：AC.
3．AC
解：
结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.
【解析】
当时，，所以BD选项错误.
A，，当且仅当时，等号成立，A正确.
C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.
故选：AC
4．ABD
解：
应用特殊值法：令判断A，令判断B，令判断D，由重要不等式判断C.
【解析】
A：当时，显然不成立；
B：当时，不成立；
C：由重要不等式知：当且仅当时等号成立；
D：当时，不成立.
故选：ABD
5．ABD
解：
结合基本不等式，作差法比较大小等讨论求解即可.
【解析】
解：由于，则，
又，所以，
又，即.
故选：ABD
6．ABCD
解：
对于A由两边平方得，可判断；对于B，可判断；对于C，右边用重要不等式可判断;对于D左边用重要不等式，右边用不等式性质可判断.
【解析】
由，则.
对A，由两边平方得 ，所以A正确.
对B， ，所以B正确.
对C，由B有，又，所以C正确.
对D，因为，又，所以D正确.
故选: ABCD
【思路】
本题考查用重要不等式证明不等式，应用不等式性质判断不等式是否成立，属于中档题.
7．AB
解：
A应用基本不等式有判断必要性，再由特殊值法判断充分性；B应用基本不等式可得判断选项条件的必要性，特殊值法判断选项条件的充分性；C、D应用特殊值法判断选项条件的必要性即可.
【解析】
由，且，
A：时，，而时存在使，符合要求.
B：时有，而时存在使，故推不出，符合要求；
C：时，存在使，不符合要求；
D：时，存在使， 不符合要求；
故选：AB
8．AD
解：
利用判断A；利用判断B；利用判断C；利用判断D；
【解析】
因为，，，
对于A，，则，即，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，结合，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD
【思路】
关键点点睛：本题主要考查基本不等式的应用，完全平方差公式及三次公式的应用是解题的关键，考查了学生的转化求解问题的能力，属于中档题.
9．AD
由实数，满足，分离出，对ABCD一一验证.
对A.构造基本不等式；对BCD，把代入，消去b，用基本不等式或函数求最值.
【解析】
对于A：，
即.故A正确；
对于B：，
，不一定成立，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D: ，故D正确.
故选：AD
【思路】
利用基本不等式求最值：
（1）直接利用求最值；
（2）根据a 、b的等式关系，消元，再用基本不等式（或函数）求最值
10．AB
解：
对于A：利用基本不等式“1”的妙用直接证明；
对于B：利用基本不等式直接证明；
对于C：利用基本不等式直接证明出，即可判断；
对于D：直接得到，即可判断.
【解析】
对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.
所以成立.故B正确；
对于C：因为，所以，所以.
记，则，所以，所以
，即.故C错误；
对于D：因为所以.故D错误.
故选：AB
11．D
解：
由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可．
【解析】
因为，，，
所以，得，当且仅当时取等号，②对；
由，当且仅当时取等号，①对；
由得，所以，当且仅当时取等号，③对；
由，当且仅当时取等号，④对
故选：D
12．BD
解：
A、C特殊值法，令即可排除；B由不等式性质判断；D应用基本不等式判断即可.
【解析】
A：当时，，错误；
B：由，则，故，正确；
C：当时，，错误；
D：由，又，则，正确；
故选：BD
13．B
解：
利用基本不等式求得最大值.
【解析】
，当且仅当时等号成立.
故选：B
14．D
解：
根据、、，利用基本不等式依次求解最值即可.
【解析】
对于A，（当且仅当时取等号），，A错误；
对于B，（当且仅当时取等号），，B错误；
对于C，（当且仅当时取等号），，C错误；
对于D，（当且仅当时取等号），，D正确.
故选：D.
15．AC
解：
将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC选项；利用特值法判断选项D。
【解析】
对于A，，，，
，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；
对于B，，，，，
当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；
对于C，，，，
，
当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：AC
16．BC
解：
利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；
【解析】
，且，，
对于A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
，，故D错误；
故选：BC
17．BD
解：
依题意得出的取值范围，由此可得的范围，即可判断A的正误；利用基本不等式可判断B、C的正误；根据基本不等式及二次函数知识即可判断D的正误.
【解析】
因为，所以，所以.
对于A：由可得，所以，故A错误；
对于B： ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C：因为，所以当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对于D：因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，当时取最大值，
此时，
此时两次取等号条件不一致，故，故D正确.
故选：BD.
【思路】
方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
18．
解：
利用基本不等式求最值即可.
【解析】
∵
∴，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：
19．D
解：
利用基本不等式进行求解.
【解析】
因为，，
所以
（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.
故选：D.
20．
解：
根据式子结构，对等价变换转化为，利用基本不等式求最值.
【解析】
因为，且
所以
，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：．
21．D
解：
选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，
选项B：由基本不等式进行判断即可，
选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，
选项D：对式子进行变形得到，再利用基本不等式进行判断即可．
【解析】
解：选项A：，当且仅当时可以取等号，
但题设条件中，故函数最小值取不到3，故A错误；
选项B：若，，，
则，当且仅当时不等式可取等号，故B错误；
选项C：当且仅当时取等号，
令，，解得，即，故xy的最大值为1，故C错误；
选项D：，，
，
当且仅当时取等号，
又因为，故时等号成立，
即最小值可取到， 故D正确．
故选：D．
22．12
解：
，展开后利用基本不等式可求．
【解析】
∵，，且，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为12．
故答案为：12．
23． 1
解：
由已知可得，利用基本不等式可得解，第二空变形代数式结合运用“1”妙用的代换，再利用基本不等式求最值，即可得答案；
【解析】
，
，
当且仅当，即时等号成立，的最大值为，
，
，
等号成立当且仅当，即时等号成立，
的最小值为1.
故答案为：；1.