无理数 教学设计
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文档简介
《无理数》
一、教学目标
从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别。
2、让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对 数进行分析、猜测、探索的方法。
3、培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想。
4、情感态度价值观：培养学生对数学的好奇心与求知欲。
二、教学重难点
重点：无理数意义。
难点：无理数与有理数的本质区别。
三、教具准备：学生自备两个面积为1的正方形。
四、设计理念
让学生主动参与合作交流,探索、发现，注重知识形成的过程
五、教学方法
启发式、探索式教学
六、教学过程
教师：同学们，这是什么？你们知道吗？
学生：这是骰子!
教师：它有什么用处？
学生：打麻将用!
教师：是的．打麻将要用它．但是，除了打麻将以外，它还有什么用处呢？
教师：我来告诉大家吧．骰子还有一个新用处，而且与我们的数学有关
老师在黑板上写个“0”。
请两位同学上台来，要一位同学在讲台上掷骰子，另一位同学在小数点后面写上骰子掷出的点数．
随着骰子一次次地掷、点数一次次地记，黑板上出现了一个不断延伸的小数：0.3154265123……
这时，老师突然喊“暂停”。
教师：同学们，如果骰子不断地掷下去，点数不停地记下去，那么我们在黑板上能得到一个什么样的小数？它会有多少位？
有学生回答：能得到一个有无限小数
教师：是循环小数吗？
学生：不是
教师：为什么
学生：点数是掷骰子掷出来的，并没有什么规律
教师：不错．这样得到的小数，与我们已经学过的有限小数、无限循环小数不同，是一类新数．
然而，第一个发现这样的数的人却被抛进大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？
多媒体演示无理数的历史：这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理。
毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大海。
他这一死，使得这类数的计算推迟了500多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失。
他为真理付出了宝贵的生命。那无理数到底是怎样被发现的呢？
我们来动动手。将我们事先准备的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。然后思考下面的问题：（1）大正方形的面积是多少？（2）设大正方形的边长为a则它的面积可以怎样表示？
剪拼可以有很多种方式，我们以课件的第一种为例议一议：
（1）a可能是整数吗？说说你的理由。
（2）a可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。
（3）a可能是分数吗？说说你的理由。
找同学回答：
（1）a不可能是整数，也不可能是分数。因为整数的平方仍是整数，如：1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，------------，
（2）分数的平方仍是分数，如：1/2 ×1/2=1/4，1/3 ×1/3=1/9，1/4 ×1/4=1/16，---------
所以a既不可能是整数也不可能是分数。
教师：既然这个数不是整数也不是分数，那么它一定不是有理数，那面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
思考：
（1）三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？用计算器进行探索。
（3）a可能是有限小数吗？分组讨论并整理出结果。
学生：通过验证，发现a=1.41421356---------，它是一个无限不循环小数。
师：我们发现了面积为2的正方形的边长的值是一个无限不循环小数
师：（总结）无限不循环小数叫做无理数。
另外，我们十分熟悉的圆周率也是一个无限不循环小数，因此它也是。再如0.1010010001-------（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。也是无理数。总之一句话，只要是无限不循环小数的都称做无理数。
例题教学：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－π,－3.14, 1.732，0.03，18， 0.484848 ……0.3131131113…… （两个3之间依次多一个1）
练习一：A组：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
-1,0.1, π,301230123012……， 2.3020020002……
B组：下列说法对不对？如果不对，请说明理由。
⑴无限小数都是无理数
⑵无理数都是无限小数
⑶不循环小数是无理数
⑷面积为3的正方形的边长是无理数
练习二： A组：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.304, - 2 π, 0 ，-5，0.1212212221…(两个1之间依次多1个2)
2、用计算器探索面积为3的正方形的边长。（探索到十分位）
B组：多媒体课件演示
小结：谈谈你的收获。
设计思路：
骰子，这是大多数同学都很熟悉的东西．让学生自己用它来产生一个具体的、位数可以不断延伸的小数，这就为学生们提供了一个可以“感触”的无理数模型，使他们在接受“无理数”这一难懂的概念时，因为有了生活经验作基础，而变得较为亲切．
探究a到底是怎样的一个数这一过程中，给学生提供探究活动的充分的时间和空间，从学生已有的思维水平和认知结构出发，提出在学生的能力范围内的探究问题，让学生思维活动起来，让学生探究过程感到一定的难度，而又不产生严重的挫折感，充分暴露出学生的思维过程，体验无理数的概念的初步形式。让学生熟悉求无理数近似值的估算方法，体验a的取值是一个无限不循环小数，体会无理数的无限不循环的特点。
一、教学目标
从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别。
2、让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对 数进行分析、猜测、探索的方法。
3、培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想。
4、情感态度价值观：培养学生对数学的好奇心与求知欲。
二、教学重难点
重点：无理数意义。
难点：无理数与有理数的本质区别。
三、教具准备：学生自备两个面积为1的正方形。
四、设计理念
让学生主动参与合作交流,探索、发现，注重知识形成的过程
五、教学方法
启发式、探索式教学
六、教学过程
教师：同学们，这是什么？你们知道吗？
学生：这是骰子!
教师：它有什么用处？
学生：打麻将用!
教师：是的．打麻将要用它．但是，除了打麻将以外，它还有什么用处呢？
教师：我来告诉大家吧．骰子还有一个新用处，而且与我们的数学有关
老师在黑板上写个“0”。
请两位同学上台来，要一位同学在讲台上掷骰子，另一位同学在小数点后面写上骰子掷出的点数．
随着骰子一次次地掷、点数一次次地记，黑板上出现了一个不断延伸的小数：0.3154265123……
这时，老师突然喊“暂停”。
教师：同学们，如果骰子不断地掷下去，点数不停地记下去，那么我们在黑板上能得到一个什么样的小数？它会有多少位？
有学生回答：能得到一个有无限小数
教师：是循环小数吗？
学生：不是
教师：为什么
学生：点数是掷骰子掷出来的，并没有什么规律
教师：不错．这样得到的小数，与我们已经学过的有限小数、无限循环小数不同，是一类新数．
然而，第一个发现这样的数的人却被抛进大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？
多媒体演示无理数的历史：这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理。
毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大海。
他这一死，使得这类数的计算推迟了500多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失。
他为真理付出了宝贵的生命。那无理数到底是怎样被发现的呢？
我们来动动手。将我们事先准备的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。然后思考下面的问题：（1）大正方形的面积是多少？（2）设大正方形的边长为a则它的面积可以怎样表示？
剪拼可以有很多种方式，我们以课件的第一种为例议一议：
（1）a可能是整数吗？说说你的理由。
（2）a可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。
（3）a可能是分数吗？说说你的理由。
找同学回答：
（1）a不可能是整数，也不可能是分数。因为整数的平方仍是整数，如：1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，------------，
（2）分数的平方仍是分数，如：1/2 ×1/2=1/4，1/3 ×1/3=1/9，1/4 ×1/4=1/16，---------
所以a既不可能是整数也不可能是分数。
教师：既然这个数不是整数也不是分数，那么它一定不是有理数，那面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
思考：
（1）三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？用计算器进行探索。
（3）a可能是有限小数吗？分组讨论并整理出结果。
学生：通过验证，发现a=1.41421356---------，它是一个无限不循环小数。
师：我们发现了面积为2的正方形的边长的值是一个无限不循环小数
师：（总结）无限不循环小数叫做无理数。
另外，我们十分熟悉的圆周率也是一个无限不循环小数，因此它也是。再如0.1010010001-------（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。也是无理数。总之一句话，只要是无限不循环小数的都称做无理数。
例题教学：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－π,－3.14, 1.732，0.03，18， 0.484848 ……0.3131131113…… （两个3之间依次多一个1）
练习一：A组：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
-1,0.1, π,301230123012……， 2.3020020002……
B组：下列说法对不对？如果不对，请说明理由。
⑴无限小数都是无理数
⑵无理数都是无限小数
⑶不循环小数是无理数
⑷面积为3的正方形的边长是无理数
练习二： A组：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.304, - 2 π, 0 ，-5，0.1212212221…(两个1之间依次多1个2)
2、用计算器探索面积为3的正方形的边长。（探索到十分位）
B组：多媒体课件演示
小结：谈谈你的收获。
设计思路：
骰子，这是大多数同学都很熟悉的东西．让学生自己用它来产生一个具体的、位数可以不断延伸的小数，这就为学生们提供了一个可以“感触”的无理数模型，使他们在接受“无理数”这一难懂的概念时，因为有了生活经验作基础，而变得较为亲切．
探究a到底是怎样的一个数这一过程中，给学生提供探究活动的充分的时间和空间，从学生已有的思维水平和认知结构出发，提出在学生的能力范围内的探究问题，让学生思维活动起来，让学生探究过程感到一定的难度，而又不产生严重的挫折感，充分暴露出学生的思维过程，体验无理数的概念的初步形式。让学生熟悉求无理数近似值的估算方法，体验a的取值是一个无限不循环小数，体会无理数的无限不循环的特点。