青岛版九年级数学下册 5.4二次函数的图象和性质（第1课时） 课件 (共20张PPT)

(共20张PPT)
学习目标
1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验;
2．会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a对二次函数图象的影响;
3．能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
一般地,形如
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
二次函数:
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢 通常怎样画一个函数的图像
还记得如何用
描点法画一个
函数的图象呢？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表
… 9 4 1 0 1 4 9 …
(2) 描点
(3) 连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.
y=x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
请画函数y=－x2的图像
解: (1) 列表
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
y=－x2
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作图正确吗 为什么
x
y
o
x
y
o
y=x2的图像叫做抛物线y=x2
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2
从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条曲线，这条曲线叫做抛物线
y=x2
y=－x2
实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或者向下，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c
x
y
o
x
y
o
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
y=x2
y=－x2
从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图像
解:(1)列表
(2)描点
(3)连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
1
2
共同点:
不同点:
开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，对称轴是y轴，
除顶点外,图像都在x轴上方
开口大小不同
函数y= x2,y=2x2的图像与函数y=x2的图像相比,有什么共同点和不同点
1
2
性质：a>0，图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小，反之越大
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
y= 2x2
y= 0.5x2
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
在同一直角坐标系中画出函数y=－ x2和y=－2x2的图像
1
2
y=－ x2
1
2
y=－2x2
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=- x2
…








…
0
-2
-2
-8
-8
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…









…
0
-2
-2
-8
-8
函数y=－ x2,y=－2x2的图像与y=-x2的图像相比,有什么共同点和不同点
1
2
共同点:
不同点:
开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
开口大小不同
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
y=－ x2
1
2
y=－2x2
y=x2
性质：当a＜0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。
二次函数y=ax2的性质
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
y= 2x2
y= 0.5x2
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
y=－ x2
1
2
y=－2x2
y=x2
a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线开口的大小，|a|越大开口越小
思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2
与抛物线y= -ax2呢？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2
既关于x轴对称，又关于原点对称。抛物线y=ax2
与抛物线y= -ax2也有同样的关系。
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
O
O
观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是( )
(A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等;
(B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应.
(C) 对任一个实数y,有两个x和它对应.
(D) 对任意实数x,都有y＞0.
x
y
o
A
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），当x〈0时，y随着x的 ；当x〉0时，y随着x的 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
小结
我们这节课学习了什么？