【课件】4.1 数列的概念 数学-RJA-选择性必修第二册(共45张PPT)

(共45张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第二册
4.1 数列的概念
第四章　数列
学习目标
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.
2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.
3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
重点：数列的概念和表示方法、了解数列是特殊的函数并能通过函数思想研究数列的重要性质、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列的前n项和求通项公式
难点：认识数列是特殊的函数并能通过函数思想研究数列的重要性质、数列通项公式的理解及应用、数列递推公式的认识及应用、由数列的前n项和求通项公式
知识梳理
一、数列的概念
1.定义:一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
【辨析比较】注意数列与集合的区别：
（1）集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；
（2）数列中的数是按确定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列.数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.如，但是不同的数列，集合写法是错误的，但数列可以为
2.表示：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项（首项），常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，
数列的一般形式：简记为{}.
【辨析比较】注意与的区别：
{}表示数列；
而只表示数列{}的第项.
二、数列与函数的关系
数列{}的每一项与它的序号的对应关系：
序号 1 2 3
项
因此，数列{}是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.
数列的图象:数列是自变量为离散的数的函数，其图象是以（，）为坐标的一系列无限或有限的孤立的点.
如，数列，其图象是直线上一系列孤立的点，而不是直线.
数列的单调性:与函数类似可以定义数列的单调性：
{}为递增数列
{}为递减数列
【注意】图象易作出时，也可以借助图象判断其单调性.
{}为常数列.（各项均相等的数列）
三、数列的通项公式
如果数列{}的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式. （数列的函数解析式） 如，；等.
四、数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
如，
【注意】通项公式与递推公式的异同点：
相同点：它们都是数列的表示方法，都可求出数列的任意一项.
不同点：通项公式可根据某项的序号n的值直接求出.递推公式需根据数列的第1项（或前几项）通过一次（或多次）赋值求出数列的项，直至求出所需的.
【提醒】并不是所有的数列都有通项公式和递推公式，并且数列的通项公式也不是唯一的.
五、求数列的通项公式的常用方法
1.由数列的前几项求数列的通项公式——观察法
观察法就是观察数列前面若干项的特征，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项的序号的联系，寻找数列各项共同的构成规律，找出各项与项的序号之间的函数关系，从而归纳出数列的通项公式的方法.
利用观察法求数列的通项公式应抓住以下几方面的特征：
（1）各项的符号特征. （2）分式中分子、分母的特征.
（3）相邻项的变化特征.
（4）拆项后的特征：对项进行拆分，把数列的项分成变化的部分和不变的部分，发现变化部分的规律特征.
（5）发现能否用分段形式表示的特征.
2.由递推公式求数列的通项公式——归纳法、累加法、累乘法
（1）归纳法
根据初值及递推公式写出数列的前几项，进而猜想出其通项公式.
（2）累加法
若已知首项，则形如的数列可用累加法求解
(其中函数可求和).
①若是关于的一次函数，则累加后可根据等差数列的前n项和公式求解；
②若是关于的指数函数，则累加后可根据等比数列的前n项和公式求解；
③若是关于的二次函数，则累加后可分组求解；
④若是关于的分式函数，则累加后常可裂项求解.
（3）累乘法
若已知首项，则形如＝的数列可用累乘法求解（其中函数可求积）.
3.由图形求数列的通项公式——观察法或借助递推公式
示例　图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.

（1）　 （2）　 （3） 　（4）
解：（方法一）在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为
1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1.
（方法二）观察图形可以发现，，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.于是，从第2个图形开始，每个图形中的着色三角形都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.因此，前4项满足：，，，，…，
然后根据累乘法可求得通项公式为.
四、数列的前项和
1.数列的前项和
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和称为数列的前项和，记作，即 .
2.数列的前项和公式
如果数列的前项和与它的序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前项和公式.
3.与之间的关系
. ①
. ②
-②，得 .
与之间的关系式：＝
【方法点拨】已知数列的前项和，或已知与之间的关系式，求数列的通项公式常利用与之间的上述关系式
（1）给出数列的前项和的关系式，求时，若适合，则用一个公式来表示，若不适合，则应分段表示.
（2）给出通项与前项和之间的关系式求，要先依据已有关系式构造一个关于通项和的关系式，然后两式相减消去，转化为关于和的递推关系式来求解.
（3）给出通项与前项和之间的关系式求，要利用＝-（n≥2）先消去，转化为关于和的递推关系来求解.
常考题型
一、数列中项的求解与判断
例1 ［2020·天津经济技术开发区第一中学高二检测］已知数列{an}的通项公式an＝（n∈N*），则是这个数列的 （　　）
A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第12项
【解析】　由题意得an＝＝，解得n＝10（n＝-12舍去）.
故选C.
【答案】　C
训练题
1.［2020·安徽安庆一中高一期末］已知数列{an}的通项公式是an＝2-3n，则该数列的第五项是 （　　）
A.-13 B.13 C.-11 D.-16
2.［2020·北京八十中高二检测］已知数列{an}的通项公式为an＝n2-n，则下列各数中不是数列中的项的是 （　　）
A.2 B.40 C.56 D.90
A
B
◆利用通项公式判断一个数是否为数列中的项的一般方法
1.令通项等于已知的数，得到关于n的方程；
2.解方程；
3.若方程有正整数解，则该数是数列中的项，若方程没有正整数解，则该数不是数列中的项.
◆已知通项公式求数列中的指定项的一般方法
将要求项的项数n代入已知的通项公式，计算得到的数就是要求的项.
二、求数列的通项公式
1.由数列的前几项求通项公式
例2 已知数列{an}的前几项，求该数列的通项公式：
（1）3，5，9，17，33，…；（2），2，，8，，…；
（3）1，，，，…；（4）5，55，555，5 555，….
【解】（1）因为a1＝3＝21+1，a2＝5＝22+1，a3＝9＝23+1，a4＝17＝24+1，a5＝33＝25+1，…，所以该数列的一个通项公式为an＝2n+1.
（2）观察可知，各项都可以化成分母为2，分子为对应项数的平方的形式，所以该数列的一个通项公式为an＝.
（4）因为数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式是bn＝10n-1，所以将题中数列各项改写可得5＝×9，55＝×99，555＝×999，
5 555＝×9 999，…，
由此可得该数列的一个通项公式为an＝（10n-1）.
◆观察法求通项公式
1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，一般是通过观察每一项的特点，找出通项与项数n之间的关系及变化规律，用项数n表示出第n项；
2.找规律时可使用添项（加1减1，乘2除2）、通分、分割等方法，也可转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整.
◆常见数列的通项公式
(1) 1，2，3，4，5，…，an＝n.
(2) 1，3， 5， 7， 9，…，an＝2n-1.
(3) 1，2，4，8，16，…，an＝2n-1.
(4) 1，4，9，16，25，…，an＝n2.
(5) 1，0，1，0，1，0，…，an＝.
(6) 0，1，0，1，0，1，0，…，an＝.
(7)9，99，999，9 999，…，an＝10n-1.
B
C
B
2.利用函数知识求数列的通项公式
例3 已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an是项数n的一次函数.
求{an}的通项公式，并求a2020.
【点拨】
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集（或其子集），其图象是一些孤立的点，因此，可以利用函数的观点研究数列问题.
训练题 已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第　 　项.
4
3.由数列的前n项和求通项公式
例4 ［2020·四川宜宾高一检测］已知数列{an}的前n 项和Sn＝3n+1，则它的通项公式是an＝　　　　.
【解析】　∵ 数列{an}的前n项和为Sn＝3n+1，
∴ a1＝S1＝4，Sn-1＝3n-1+1（n≥2）.
又∵ an＝Sn-Sn-1（n≥2），
∴ an＝3n+1-（3n-1+1）＝2·3n-1（n≥2），
检验，当n＝1时，a1＝2·31-1＝2≠S1＝4，∴ an＝
【答案】
◆已知数列的前n项和求通项公式的一般步骤
1.先利用a1＝S1求出a1；
2.用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn-Sn-1 （n≥2）便可求出当n≥2时an的解析式；
3.对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则可以把数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.
【注意】
利用公式an＝ 求通项公式时必须对n进行分类讨论，因为当n＝1时，Sn-1是无意义的.讨论后还必须检验能否合并，能合并的必须合并.
训练题
1.［2020·山东青岛高二检测］数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝3n2-2n，则an＝　 　　　.
2.［2020·重庆市松树桥中学校高一检测］数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n-1（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝　　　　.
3.已知Sn是数列{an}的前n项和，且log3（Sn+1）＝n+1，则数列{an}的通项公式为　　 　　.
6n-5，n∈N*　
an＝
【答案】
7
C
C
◆累加法
1.适用范围：若数列{an}满足an+1-an＝f（n）（n∈N*）且f（n）可求和，可用累加法求通项公式.
2.一般步骤
（1）在an+1-an＝f（n）（n∈N*）中分别令n＝1，2，3，…，n-1，得a2-a1＝f（1），
a3-a2＝f（2），
a4-a3＝f（3），…，
an-an-1＝f（n-1）.
（2）将以上（n-1）个等式相加得an-a1的结果.
（3）将已知a1的值代入求得通项公式.
◆累乘法
1.适用范围：若数列{an}满足＝f（n），n∈N*且f（n）可求积，可用累乘法求通项公式.
2.一般步骤
（1）在＝f（n），n∈N*中分别令n＝1，2，3，…，n-1，得＝f（1），＝f（2），
＝f（3），…，＝f（n-1）.
（2）将以上（n-1）个等式相乘得的结果.
（3）将已知a1的值代入求得通项公式.
三、数列的性质及其应用
1.数列的单调性
例6 已知数列{an}中，an＝3n2-n，判断数列{an}的单调性.
【解】（方法一）an＝3n2-n，an+1＝3（n+1）2-（n+1），
则an+1-an＝3（n+1）2-（n+1）-（3n2-n）
＝6n+2>0（n∈N*），
即an+1>an，
故数列{an}是递增数列.
（方法三）令y＝3x2-x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝<1，
则函数y＝3x2-x在上单调递增，
故数列{an}是递增数列.
◆判断数列的单调性的方法
1.定义法
直接利用数列的增减性的定义判断.
2.作差法
数列{an}是递增数列?an+1-an>0；数列{an}是递减数列?an+1-an<0.
3.作商法
数列{an}各项都是正数，则数列{an}是递增数列>1；
数列{an}是递减数列0<<1.
4.函数法
设an＝f（n），n∈N*，若f（x）在（0，+∞）上是增函数，则数列{an}是递增数列；若f（x）在（0，+∞）上是减函数，则数列{an}是递减数列.
训练题
1.若an＝2n2+λn+3（其中λ为实数），n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为　 　　　.
2.［2020·人大附中高三检测］在数列{an}中，已知an＝n2+λn，n∈N*，则“a1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（-6，+∞）
C
2.数列的最值
例7 ［2020·安徽高三期末］数列{（25-2n）2n-1}的最大项所在的项数为　　　　.
【解析】　令an＝（25-2n）2n-1，
当n≥2时，设an为最大项，则
即 解得≤n≤.
而n∈N*，所以n＝11.
又n＝1时，有a1＝23所以数列{（25-2n）2n-1}的最大项所在的项数为11.
【答案】　11
◆数列中最大项和最小项的求法
方法一：解不等式组
1.求最大项的方法：设an为最大项，则有
2.求最小项的方法：设an为最小项，则有
方法二：利用函数的单调性
因为数列是一种特殊的函数，所以可以利用函数的单调性求最值，但要特别注意数列中的n为正整数.
训练题
1.已知an＝-n2+25n（n∈N*），则数列{an}的最大项是 （　　）
A.a12 B.a13 C.a12或a13 D.a10或a11
2.［2020·上海高二检测］已知an＝（n∈N*），设am为数列{an}的最大项，则m＝　　　　　.
C
8
3.数列的周期性
例8 已知正项数列{xn}满足xn+2＝，n＝1，2，3，…，若x1＝1，x2＝2，则x2019＝　　　　　.
【答案】　2
训练题 ［2020·湖北沙市中学高一期末］已知数列{an}满足an+1·（1-an）＝1，且a1＝，则a2020＝ （　　）
A.3 B. C. D.
B
◆利用数列的周期性求数列中的项的一般步骤
1.根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，直至出现重复的项；
2.确定该数列的周期；
3.利用周期性求出要求的项.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
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