第2课时 二次根式的性质
知识点 1 ()2=a(a≥0)的应用
1.计算:
(1)()2= ;(2)2= ;
(3)()2= ;(4)()2= ;
(5)()2= ;(6)()2= .
2.把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式:
(1)3= ;(2)= .
3.在实数范围内分解因式:x2-7= .
4.计算:
(1)()2; (2)2;
(3)(-)2; (4)(5)2;
(5)(-2)2; (6)-(2)2;
(7)2; (8)-22.
知识点 2 =a(a≥0)的应用
5.计算:(1)= ;
(2)== ;
(3)= ;
(4)= ;
(5)(x≥1)= .
6.下列各式中正确的是 ( )
A.=-8 B.-=-8 C.=±8 D.=±8
7.计算的结果为 ( )
A.π-4 B.4-π C. D.
8.计算:
(1); (2);
(3)-; (4).
9.是否存在整数x,使它同时满足下列两个条件:①与都有意义;②的值是整数 若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
知识点 3 代数式的概念
10.下列不是代数式的为 ( )
A.(x≥-2) B.2022 C.5a+8=7 D.a≠
11.体积为V、高为h且底面为正方形的长方体的底面边长用代数式表示为 .
12.已知=2x-1,则x的取值范围是 ( )
A.x≥ B.x≤ C.x> D.x<
13.(2020攀枝花)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简+-的结果是 ( )
A.-2 B.0 C.-2a D.2b
14.(教材习题16.1T9(2)变式)使是整数的正整数m的最小值是 .
15.已知0
16.计算:(1)(-)2-+(-2)2;
(2)-()2.
17.在实数范围内分解因式:
(1)x4-9;
(2)a2-2a+5.
18.观察下列等式:
第1个等式:=1+1;
第2个等式:=2+;
第3个等式:=3+;
第4个等式:=4+;
第5个等式:=5+;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)第6个等式为 ;
(2)根据规律用含n(n为正整数)的式子表示出第n个等式,并加以证明.
第2课时 二次根式的性质
1.(1)9 (2) (3)0 (4)5 (5)m (6)ab
2.(1)()2 (2)2
3.(x+)(x-)
4.解:(1)原式=11.
(2)原式=.
(3)原式=0.5.
(4)原式=50.
(5)原式=4×5=20.
(6)原式=-22×()2=-4×3=-12.
(7)原式==.
(8)原式=(-2)2×2=2.
5.(1)8 (2)7 7 (3)9 (4)-1 (5)x-1
6.B
7.B 因为π-4<0,所以=4-π.
8.解:(1)=0.2.
(2)==.
(3)-=-=-.
(4)==.
9.解:存在.
根据题意,得解得14≤x≤17.
因为的值是整数,所以x=16.
10.C
11. 设底面边长为x,
根据题意,得V=x2h,所以x=,
所以长方体的底面边长为.
12.A 因为=-2x),所以1-2x≤0,解得x≥.
另解:由二次根式的非负性可得2x-1≥0,解得x≥.
13.A 由数轴可知-2所以a+1<0,b-1>0,a-b<0,
所以+-
=|a+1|+-b|
=-(a+1)+(b-1)+(a-b)+b-1+a-b
=-2.
故选A.
14.2
15.2a 因为0所以原式=-=-=a++a-=2a.
16.解:(1)原式=6-5+4=5.
(2)原式=17-13=4.
17.解:(1)x4-9=(x2+3)(x+)(x-).
(2)a2-2a+5=(a-)2.
18.解:(1)=6+
(2)=n+.
证明如下:
==n+.
因为n为正整数,所以n+>0,
所以=n+.16.1 第1课时 二次根式的概念
知识点 1 二次根式的概念
1.式子,,,,分别表示的是非负数6,8,0.96,,0的 ,我们把这样形如
的式子叫做二次根式.
2.下列各式中一定是二次根式的为 ( )
A. B. C. D.
3.若是二次根式,则x的值可以是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.下列各式中,哪些是二次根式 指出二次根式中的被开方数.
,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).
知识点 2 二次根式有意义的条件
5.二次根式中字母x的取值范围是 ( )
A.x>2 B.x≠2 C.x≥2 D.x≤2
6.当x>1时,下列各式无意义的是 ( )
A. B. C. D.
7.(2021湘西州)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
8.(2021营口)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
9.(2021南京)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
10.(2021郴州)使式子有意义的x的取值范围是 .
11.使式子有意义的x的取值范围是 .
12.(教材练习T2变式)求使下列各式有意义的字母的取值范围:
(1);(2);(3).(4);(5);(6).
13.已知二次根式.
(1)求x的取值范围;
(2)求当x=-2时,二次根式的值;
(3)若二次根式的值为零,求x的值.
知识点 3 二次根式的实际应用
14.某种正方形合金板材的成本m(元)与它的面积n2(m2)有如下关系:m=n2.试用含m的式子表示n(n>0),则n= .
15.若一个长方形的面积是10 cm2,它的长与宽的比为5∶1,则它的长为 cm,宽为
cm.
知识点 4 二次根式的非负性
16.若+=0,则x= .
17.(2021遂宁)若|a-2|+=0,则ab= .
18.二次根式的最小值是 ,此时x的值为 .
19.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥1且x≠2 B.x≤1 C.x>1且x≠2 D.x<1
20.当x 时,式子有意义.
21.若y=-2成立,则(x+y)2= .
22.若+在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
23.若式子+有意义,则x的取值范围是 .
24.物理学中的自由落体公式:s=gt2,g是重力加速度,它的值约为10米/秒2.如果物体降落的高度s=10米,那么它降落的时间约是多少秒 (结果保留根号)
25.已知a,b分别是等腰三角形的两边长,且a,b满足b=4++3,求此三角形的周长.
16.1 第1课时 二次根式的概念
1.算术平方根 (a≥0)
2.A 3.A
4.解: ,(x≥3),,(xy>0)是二次根式,其中被开方数依次是0,x-3,(x+1)2,.
5.C
6.B 当x>1时,x2+2>0,式子有意义.
当x>1时,1-x<0,式子无意义.
当x>1时,x-1>0,式子有意义.
当x>1时,x+1>0,式子有意义.
故选B.
7.x≥ 8.x≤ 9.x≥0 10.x>0
11.x<4 若式子有意义,则4-x>0,解得x<4,即x的取值范围是x<4.
12.解:(1)由题意,得x+5≥0,所以x≥-5.
(2)由题意,得3-a≥0,所以a≤3.
(3)由题意,得2a+1≥0,所以a≥-.
(4)x≤0.
(5)全体实数.
(6)x>-.
13.解:(1)根据题意,得3-x≥0,解得x≤6.
(2)当x=-2时,===2.
(3)因为二次根式的值为零,
所以3-x=0,
解得x=6.
14. 15.5 16.0
17.-4 因为|a-2|+=0,
所以a-2=0,a+b=0,解得a=2,b=-2,
故ab=2×(-2)=-4.
18.0 2
19.A 根据“分式有意义,分母不等于零”和“二次根式的被开方数是非负数”
得x-2≠0且x-1≥0,解得x≥1且x≠2.故选A.
20.=1
21.4 要使与同时有意义,必须满足x≥4且x≤4,所以x=4,那么y=-2,
所以(x+y)2=(4-2)2=22=4.
22.x≥-且x≠-1
根据题意,得
解得x≥-且x≠-1.
23.1≤x≤2
24.解:由s=gt2可得t=≈=(秒).
答:物体降落的时间约是秒.
25.解:由题意,得3a-6≥0,2-a≥0,所以a=2,所以b=4.因为三角形的三边长需满足三角形的三边关系,所以三角形的三边长分别为4,4,2,所以三角形的周长=4+4+2=10.