第3课时 三角形的中位线
1 三角形的中位线
1.(2021桂林)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若DE=4,则BC= .
图
2.(2021南京)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点B的横坐标是 .
3.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,△ABC的周长为8,则△ADE的周长为 .
图
4.(2021青海)如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为 .
5.如图,在△ABC中,DE是中位线.
(1)若∠ADE=60°,求∠B的度数;
(2)若BC=8 cm,求DE的长.
2 三角形的中位线与平行四边形
6.(教材练习T1变式)如图,以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为 .
8.如图,已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点.求证:AE与DF互相平分.
9.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN.若AB=14,AC=20,则MN的长是 ( )
A.2 B.3 C.6 D.17
图
10.如图,△ABC的中位线DE=5 cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8 cm,则△ABC的面积为 cm2.
11.如图,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=6,依次连接△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连接△A2B2C2的三边中点,得△A3B3C3……则△AnBnCn的周长为 .
12.如图,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,过点E作EF∥CD,交BC的延长线于点F,连接CD.
(1)求证:DE=CF;
(2)求EF的长.
13.已知:如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
14、如图,B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.
(1)求证:PM=PN;
(2)∠MPN的度数为 . 18.1.2 第1课时
从两组对边或对角或对角线的角度判定平行四边形
1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中,AD∥BC,要判定四边形ABCD是平行四边形,还需满足 ( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
2.小红同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图①所示的四边形ABCD,并写出了已知和求证.
已知:如图①,在四边形ABCD中,CB=AD,AB= .
求证:四边形ABCD是 四边形.
(1)请补全已知和求证;
(2)请按图②中小红的想法写出证明过程;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题: .
2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.在四边形ABCD中,AB=4 cm,BC=5 cm,当CD= cm,DA= cm时,四边形ABCD是平行四边形.
4.如图所示,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧,再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD为 四边形.
5.用两个全等的三角形(三边都不相等)拼成平行四边形,有 种拼法.
3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6.要使四边形ABCD是平行四边形,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能为 ( )
A.3∶5∶5∶3 B.3∶4∶5∶6
C.3∶3∶5∶5 D.4∶5∶4∶5
7.在下列条件中,不能确定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A.∠A=∠C,∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=90°
C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
D.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°
4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
8.将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD为平行四边形,理由是 .
9.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
10.已知:如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF,四边形DEBF是平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.
11.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,
④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有 ( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.1种
12.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,E是边CD上一点,连接BE并延长,与AD的延长线相交于点F,连接CF,BD,请你只添加一个条件: ,使四边形BDFC为平行四边形. 13.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B,C作射线AD的垂线,垂足分别为E,F,连接BF,CE.
(1)求证:四边形BECF是平行四边形;
(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
14.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD,②AO=CO,
③AD=BC中任意选取两个作为条件,“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题.
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗 若是,请证明;若不是,请举出反例.
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明(命题请写成“如果……那么……”的形式).第2课时 从一组对边的角度判定平行四边形
1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图,在四边形ABCD中,E为BC延长线上一点,AD=BC,∠D=∠DCE.求证:四边形ABCD是平行四边形.
2.(2020岳阳)如图,点E,F分别在 ABCD的边BC,AD上,BE=BC,FD=AD,连接BF,DE.求证:四边形BEDF是平行四边形.
3.(2021郴州)如图,在四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF.连接BE,DF,若BE=DF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
2 平行四边形的判定方法的综合应用
4.(2020衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC
D.OA=OC,OB=OD
5.在 ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 ( )
A.BE=DF B.AE=CF C.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF
6.(2020牡丹江)在四边形ABCD中,AD∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件: ,使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).
3 平行四边形的性质与判定的综合应用
7.(2020陕西)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.
8.如图,分别延长 ABCD的边AB,CD至点E,F,连接CE,AF,其中∠E=∠F.求证:四边形AECF是平行四边形.
9.如图,已知 ABCD,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE.
求证:四边形AECF是平行四边形.
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE交CD于点F,F是CD的中点.
求证:(1)△ADF≌△ECF;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
11.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD=∠DBC,∠AED=90°.
(1)求证:AE∥BD;
(2)过点C作CF⊥BD于点F,连接EF,求证:四边形EFCD是平行四边形.
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6 cm,AD=9 cm.点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动,当一点到达终点时,两点同时停止运动.当点P,Q运动 s时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形.
